统计学第三章---课后习题

1?略

2 ?某技术小组有12人，他们的性别和职称如下，现要产生一名幸运者。试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率：(1)女性；(2)工程师；(3)女工程师，(4)女性或工程师。并说明几个计算结果之间有何关系

解设=女性，程师，=女工程师，=女性或工程师

(1)P(A)= 4/12= 1/3

(2)P(B)= 4/12 = 1/3

(3)P(AB)= 712 = 1/6

(4)P(A+B)= P(A)+ P(B)— P(AB= 1/3 + 1/3- 1/6= 1/2

3?向两个相邻的军火库发射一枚导弹，如果命中第一个和第二个军火库的概率分别是、，而且只要命中其中任何一个军火库都会引起另一个军火库的爆炸。试求炸毁这两个军火库的概

率有多大。

解：本题考查互斥事件的概率，是一个基础题，解题的关键是看清楚军火库只要一个爆炸就

可以，所以知军火库爆炸是几个事件的和事件.

P(A)=+=

4.某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会(即允许在第一次脱靶后进行第二次射

击)。某射击选手第一发命中的可能性是80%,第二发命中的可能性为50%。求该选手两发

都脱靶的概率。

解:设A =第1发命中。B=命中碟靶。求命中概率是一个全概率的计算问题。再利用对立事件的概率即可求得脱靶的概率。

P(B)= P(A)P(B | A) P(A)P(B | A)

=X 1 x=

脱靶的概率=1—=

或(解法二)：P(脱靶)=P(第1次脱靶)X P第2次脱靶)=x=

5.已知某产品的合格率是98%,现有一检查系统，它能以的概率准确的判断出合格品，而

对不合格品进行检查时，有的可能性判断错误，该检查系统产生错判的概率是多少

解：考虑两种情况，一种就是将合格品判断错误，概率为98%* ()=

另一种情况就是将不合格品判断错误，概率为( 1-98%) *=

所以该检查系统产生错判的概率是+=

6.有一男女比例为51:49的人群，一直男人中5%是色盲，女人中％是色盲，现随机抽中了一个色盲者，求这个人恰好是男性的概率

解：A抽到男性，A抽到女性。B抽到色盲

P(B) P(A1)P(BAJ P(A2)P(BA2)

0.51 0.05 0.49 0.0025 0.026725

P(AJP(B|A1)0.51 0.05

0.954163

P(A1 B)

P(B) 0.026725

7.消费者协会经过调查发现，某品牌空调器有重要缺陷的产品数出现的概率分布如下:

根据这些数值，分别计算：

(1 )有2到5个(包括2个与5个在内)空调器出现重要缺陷的可能性。 (2 )只有不到2个空调器出现重要缺陷的可能性。 (3)有超过5个空调器出现重要缺陷的可能性。 解：离散型随机变量的概率分布

8. 已知某地区男子寿命超过 55岁的概率为84%，超过70岁以上的概率为63%。试求任一 刚过55岁

生日的男子将会活到 70岁以上的概率为多少 解：设人=活到55岁，B =活到70岁。所求概率为：

P(AB)

P(B) 0.63

P(B|A)=

=

= =0.75

P(A)

P(A) 0.84

9. 某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。据对同行的调查得知，采用新生产

管理流程后产品优质率达 95 %的占四成，优质率维持在原来水平(即 80% )的占六成。该

企业利用新的生产管理流程进行一次试验， 所生产5件产品全部达到优质。问该企业决策者

会倾向于如何决策

解:这是一个计算后验概率的问题。

设人=优质率达95%, A =优质率为80%, B =试验所生产的5件全部优质。

P(A)=, P( A )=, P(B|A)=, P(B| A )=，所求概率为:

决策者会倾向于采用新的生产管理流程。

10.

某公司从

甲、乙、丙三个企业采购了同一种产品，采购数量分别占总采购量的

25%、

30%和45%。这三个企业产品的次品率分别为 4%、5%、3%。如果从这些产品中随机抽出

一件，试问：(1)抽出次品的概率是多少(2)若发现抽出的产品是次品，问该产品来自丙 厂的概率是多少

解:令A 1、A 2、A 3分别代表从甲、乙、丙企业采购产品，

B 表示次品。由题意得： P(A”=,

P(A 2) = , P(A 3)=； P(B|A 1) = , P(B|A 2)=, P(B| A 3)=;因此，所求概率分别为：

(1) P(B)= P(A 1)P(B|A0 P(A 2)P(B|A 2)P(A 3)P(B| A 3)

=X+X+X=

11.

某人在每天上班途中要经过 3个设有红绿灯的十字路口。 设每

个路口遇到红灯的事件是

相互独立的，且红灯持续24秒而绿灯持续36秒。试求他途中遇到红灯的次数的概率分布及 其期望值和方差、标准差。

解:据题意，在每个路口遇到红灯的概率是

p = 24/(24+36)=。

P(A| B)= P(A)P(B | A) P(A)P(B | A) P(A)P(B | A)

0.30951 0.50612

=0.6115 (2) P(A 3 |B)=

0.25 0.45 0.03

0.04 + 0.30 0.05+ 0.45 0.03

0.0135

0.0385

=0.3506

设途中遇到红灯的次数=,因此，?。其概率分布如下表:

期望值(均值)=(次)，方差=，标准差=(次)

12.一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人，据测算被保险人一年中的死亡率为万

分之5。保险费每人50元。若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额50000元。试求未来

一年该保险公司将在该项保险中(这里不考虑保险公司的其它费用) ：

(1 )至少获利50万元的概率；

(2)亏本的概率；

(3)支付保险金额的均值和标准差。

解:设被保险人死亡数= X, X?B(20000 ,。

(1)收入=20000 X 50 (元)=100万元。要获利至少50万元，则赔付保险金额应该不

超过50万元，等价于被保险人死亡数不超过10人。所求概率为：P(X <10)=o

(2 )当被保险人死亡数超过20人时，保险公司就要亏本。所求概率为：

P(X>20)= 1 —P(X<20)= 1 -=

(3)支付保险金额的均值= 50000 X曰X)

=50000 X 20000 X(元)=50 (万元)

支付保险金额的标准差=50000 X o(X)

=50000 X (20000 XX 1/2= 158074 (元)

13.对上述练习题的资料，试问：

(1 )可否利用泊松分布来近似计算

(2 )可否利用正态分布来近似计算

(3)假如投保人只有5000人，可利用哪种分布来近似计算

解：(1)可以。当n很大而p很小时，二项分布可以利用泊松分布来近似计算。本例中，入= np=20000 X =1,0即有X?P(10)。计算结果与二项分布所得结果几乎完全一致。

(2)也可以。尽管p很小，但由于n非常大，np和np(1-p)都大于5，二项分布也可以利用正态分布来近似计算。

本例中，np=20000 X =10, np(1-p)=20000 XX =,

即有X?N(10,o相应的概率为：

P(X = P(X=

可见误差比较大(这是由于P太小，二项分布偏斜太严重)。

【注】由于二项分布是离散型分布，而正态分布是连续性分布，所以，用正态分布来近

似计算二项分布的概率时，通常在二项分布的变量值基础上加减作为正态分布对应的区间点，这就是

所谓的“连续性校正”。

(3)由于p=，假如n=5000，则np = <5,二项分布呈明显的偏态，用正态分布来计算

就会出现非常大的误差。此时宜用泊松分布去近似。

14.一条食品生产线每8小时一班中出现故障的次数服从平均值为的泊松分布求：

(1 )晚班期间恰好发生两次事故的概率；

(2 )下班期间发生少于两次事故的概率；

(3)连续三班无故障的概率。

解：(1) P(X=2)=POISSON(2,,0)=

(2)P(X W 1)=POISSON(1,,1)=

(3)P(X=0) - P(X=0) - P(X=0)=[POISSON(0,,1)]A3=A3= 15?假定X服从N=12, n=7, M=5的超几何分布，求：

解：(1) P(X=3)=HYPGE0MDIS ( 3, 7, 5, 12)= (2) P(X W 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

=HYPGEOMDIST(2, 7, 5, 12) +HYPGEOMDIST(1,7,5,12)+HYPGEOMDIST(0,7,5,12) =++=

(3) P(X>3)=1-P(XC 3)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)]

=1-+==

16.某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布，且均值为

200小时，标准差为30小时。

若规定寿命低于150小时为不合格品。试求该企业生产的电池的：

(1)合格率是多少(2)

电池寿命在200左右多大的范围内的概率不小于。 解：(1) P(X 150) P(Z

150

200

)= P(Z 1.6667)=

30

合格率为=或％。

⑵设所求值为K ,满足电池寿命在 200 ± K 小时范围内的概率不小于，即有:

| x 2001 K

P(|X 200| K) P{|Z| =

} 0.9

30

30

K

即: P{Z }

0.95 , K/30>，故 K >o 30

17.某公司决定对职员增发“销售代表”奖，计划根据过去一段时间内的销售状况对月销售 额最高的5%的职员发放奖金。已知这段时间每人每月的平均销售额

(元)服从均值为4000、

方差为360000的正态分布，那末公司应该把“销售代表”奖的最低发放标准定为多少 解：

18. NORMINV,4OOOO,6OO)=

一个具有n 64个观察值的随机样本抽自于均值等于 给出X 的抽样分布(重复抽样)的均值和标准差 描述X 的抽样分布的形状。你的回答依赖于样本容量吗 计算标准正态

z 统计量对应于X 15.5的值。 计算标准正态z 统计量对应于X 23的值。

3 =20, (T =16, X 的抽样分布的均值为

⑴ ⑵ ⑶

⑷ 已知n=64，为大样本， 在重复抽样情况

下，

a. 20, 2

b.近似正态

c.

19. 参考练习18题求概率。 ⑴ X <16;⑵ X >23;⑶ x >25; 解：a. b.

0.0668 c. d.

20. 一个具有n 100个观察值的随机样本选自于

的近似值：

解:

d.

20、 标准差等于16的总体。 ⑷.X 落在16和22之间;

⑸ X <14。

e.

30、 16的总体。试求下列概率