材料科学和工程基础第三章答案解析

3.8 铁具有BCC晶体结构，原子半径为0.124 nm，原子量为55.85

g/mol。计算其密度并与实验值进行比较。

答：BCC结构，其原子半径与晶胞边长之间的关系为：

a = 4R/3= 4?0.124/1.732 nm = 0.286 nm

V = a3 = (0.286 nm)3 = 0.02334 nm3 = 2.334?10-23 cm3

BCC结构的晶胞含有2个原子，

∴其质量为：m = 2?55.85g/(6.023?1023) = 1.855?10-22 g

密度为ρ= 1.855?10-22 g/(2.334?10-23 m3) =7.95g/cm3 3.9 计算铱原子的半径，已知Ir具有FCC晶体结构，密度为22.4

g/cm3，原子量为192.2 g/mol。

答：先求出晶胞边长a，再根据FCC晶体结构中a与原子半径R的关系求R。FCC晶体结构中一个晶胞中的原子数为4，

ρ= 4?192.2g/(6.023?1023?a3cm3) = 22.4g/cm3，求得a = 0.3848 nm

由a = 22R求得R = 2a/4 = 1.414?0.3848 nm/4 = 0.136 nm

3.10 计算钒原子的半径，已知V 具有BCC晶体结构，密度为5.96

g/cm3，原子量为50.9 g/mol。

答：先求出晶胞边长a，再根据BCC晶体结构中a与原子半径R的关系求R。BCC晶体结构中一个晶胞中的原子数为2，

ρ= 2?50.9g/(6.023?1023?a3cm3) = 5.96 g/cm3，求得a = 0.305 nm

由a = 4R/3求得R = 3a/4 = 1.732?0.305 nm/4 = 0.132 nm

3.11 一些假想的金属具有图3.40给出的简单的立方晶体结构。如

果其原子量为70.4 g/mol，原子半径为0.126 nm，计算其密度。

答：根据所给出的晶体结构得知，a = 2R =2?0.126 nm = 0.252 nm 一个晶胞含有1个原子，

∴密度为：ρ= 1?70.4g/(6.023?1023?0.2523?10-21cm3)

= 7.304 g/cm3

3.12 Zr 具有HCP晶体结构，密度为6.51 g/cm3。

(a) 晶胞的体积为多少? 用m3表示

(b) 如果c/a之比为1.593，计算c和a值。

答：

V c=nM Zr

A

对于HCP，每个晶胞有6个原子，M Zr = 91.2g/mol. 因此：

V c=

6×91.2

6.51×106×6.02×1023

=1.396×10-28m3/晶胞

(b) V c=3×a×sin60×a×c=3×a2×√3×1.593a=4.1386a3

=4.1386a3=1.396×10-28，

求得a =3.231?10-10 m = 0.323 nm, c=1.593a =0.515 nm

3.13 利用原子量，晶体结构，和书中给出的原子半径数据，计算Pb, Cr, Cu和Co的理想密度，并与书中的实验数据做比较。Co的c/a 之比为1.623。

3.14 铑(Rh)的原子半径为0.1345 nm，密度为12.41 g/cm3。确定其晶体结构是否为FCC或BCC晶体结构。

3.15 下面列出的表为3种假定合金的原子量，密度和原子半径。判断每种合金，其晶体结构是否为FCC，BCC，或简单立方，并证明你的结论。简单立方晶胞示在图3.40中。

合金

原子量

(g/mol)

密度

(g/cm3)

原子半径

(nm)

A 77.4 8.22 0.125

B 107.6 13.42 0.133

C 127.3 9.23 0.142

答：（1）单个原子质量：77.4/(6.02?1023) = 1.2857?10-22 g 则：n/V C = 8.22?10-21g/(1.2857?10-22 g ?nm3) = 63.934 nm-3

（2）单个原子质量：107.6/(6.02?1023) = 1.787?10-22 g 则：n/V C=13.42?10-21g/(1.787?10-22g ?nm3) = 75.098 nm-3

若为简单立方：V C= a3 =(2R)3 =(2?0.133)3 = 0.01882 nm3

则：n = 1.41 与简单立方晶胞存在1个原子不符，

故不是简单立方结构。

若为面心立方：V C = a3 =(2√2R)3 =(2?1.414?0.133)3 = 0.0532 nm3

则：n = 3.996 与面心立方晶胞存在4个原子相符，

因此是面心立方结构。

3.16 锡晶胞具有四方(tetragonal)对称，晶格常数a和b各为0.583和0.318 nm。如果其密度，原子量和原子半径各为7.30 g/cm3，118.69 g/mol和0.151 nm，计算其原子致密度。答：晶胞体积为：V C= a2b =0.5832?0.318 = 0.1081 nm3 四方晶胞有几个独立原子：

3.17 碘具有正交晶胞，其晶格常数a, b, 和c各为0.479, 0.725 和0.978 nm。(a) 如果原子致密度和原子半径各为0.547和0.177 nm, 确定晶胞中的原子数。(b) 碘的原子量为126.91 g/mol；计算其密度。

答：(a) 单个原子体积：

V = 4

3πR

3= 4×3.14×0.177

3

3

=0.0232 nm3

晶胞体积：V C= ab c = 0.479?0.725?0.978 = 0.3396nm3晶胞中的原子数为：

n = APF×V C

V =

0.547×0.3396

0.0232

= 8原子/晶胞

(b) 单个原子体积：

ρ = n×m

V C = 8×126.91

0.3396×6.02×1023

=4.96×10-21g/nm3 = 4.96g/cm3

3.18 Ti具有HCP晶胞，其晶格常数之比c/a为1.58。如果Ti原子的半径为0.1445 nm，(a) 确定晶胞体积，(b) 计算Ti的密度，并与文献值进行比较。

3.19 Zn具有HCP晶体结构，c/a之比为1.856，其密度为7.13

g/cm3。计算Zn的原子半径。

3.20 Re具有HCP晶体结构，原子半径为0.137 nm, c/a之比为

1.615。计算Re晶胞的体积。

答：Re具有HCP晶体结构，则a = 2R = 2?0.137 = 0.274nm 六边形底面积A：A = a sin60??a?3 = 0.2742?3?√3/2 =

0.195 nm2

晶胞的体积：A ? c = 0.195?1.615 a =0.195?0.274? 1.615

= 0.0863 nm3

3.21 下面是一个假想金属的晶胞，(a) 这一晶胞属于哪个晶系？

(b) 属于哪个晶体结构？(c) 计算材料的密度，已知原子量为141 g/mol。

答：属正方晶系，体心正方结构。晶胞体积：0.4?0.3?0.3 = 0.036 (nm3)

单个原子质量：141g/(6.02?1023) = 2.342? 10-22 (g)

密度：2.342? 10-22/0.036 =

3.22金属间化合物AuCu3晶胞为：

（1）边长为0.374 nm的立方晶胞

（2）Au原子位于立方体的所有8个角上

（3）Cu原子位于立方体6个面的中心。

3.23 金属间化合物AuCu晶胞为：

（1）四方晶胞，边长a = 0.289 nm；c = 0.367 nm

（2）Au原子位于立方体的所有8个角上

（3）Cu原子位于立方体中心。

3.24 画出体心和正交晶体结构的草图。

3.25 对于陶瓷化合物，决定晶体结构的组元离子的两个特征是什么？

答：离子半径和电荷决定晶体结构

3.26 证明配位数为4时，阳离子与阴离子半径之比最小值为0.225。答：

∠CBD =109?28'

∠BCD =∠BDC = (180?-109?28')/2=35?16'

BC = BD = r A + r C；CD = 2r A

sin109.47

CD =

sin35.27

BD

0.944 2r A= 0.577 r A+r c

1.154 r A = 0.944 r A + 0.944 r C

等式两边用r A相除，并整理得：0.21 = 0.944(r C/r A)

即有：r C/r A = 0.223

3.27证明配位数为6时，阳离子与阴离子半径之比最小值为0.414。提示：利用NaCl晶体结构，并假设阴离子和阳离子在立方体边和面对角线相切。

答：如图所示：考虑GHF三角形，

则有：

GH = r A + r C = HF

GF =2 r A ;

GFsin45?= GH,

则有2 r A?√2/2 = r A + r C

B

等式两边用r A相除：

√2=1+ r C/r A，即有：r C/r A = 1.414-1 = 0.414 3.28证明配位数为8时，阳离子与阴离子半径之比最小值为0.732。答：

3.29 根据离子电荷和离子半径预测下列材料的晶体结构：

(a) CsI (b) NiO (c) KI (d) NiS，证明结果。

答：r(Cs+)：0.170；r(Ni2+)：0.069；r(K+)：0.138；

r(I-)：0.220；r(O2-)：0.140；r(S2-)：0.184；

（1）0.732 < r Cs+

r

I-=0.170

0.22

=0.773 < 1.0；根据阳离子与阴离子之比，

每个阳离子的配位数是8，预测的晶体结构是氯化铯型晶体结构。

（2）0.414 < r(Ni+)/r(O2-) = 0.069/0.14 = 0.493 < 0.732；根据阳离子与阴离子之比，每个阳离子的配位数是6，预测的晶体结构是氯化钠型晶体结构。

（3）0.414 < r(K+)/r(I-) = 0.138/0.220 = 0.627 < 0.732；根据阳离子与阴离子之比，每个阳离子的配位数是6，预测的晶体结构是氯化钠型晶体结构。

（4）0.225 < r(Ni2+)/r(S2-) = 0.069/0.184 = 0.375 < 0.414；根据阳离子与阴离子之比，每个阳离子的配位数是4，预测的晶体结构是闪锌矿型。

3.30 表3.4中哪些阳离子能够形成氯化铯型晶体结构的碘化物。

氯化铯型晶体结构中，阳离子的配位数为8，要求阳离子与阴离子的半径之比的范围在 0.732

则 0.732?0.220

3.31 计算阳离子与阴离子半径之比为r A /r C = 0.732的氯化铯型晶

体结构的致密度。

答：r A /r C = 0.732表明，阴离子与阳离互为相切，阴离子之间也相切。因此立方体八个角上的阴离子与体心的阳离子组成的晶胞的边长a=2r C ，则晶胞的体积为V = (2r C )3 = 8r C 3，晶胞中有一个独立的阳离子和阴离子，它们所占的体积为：

43π(r A 3+r C 3) = 43

π[(0.732r C )3+r C 3] = 5.829r C 3

致密度：

APF =

5.829r C 38r C

3 = 0.73

3.32 表3.4给出了K +和O 2-离子半径各为0.138和0.140 nm 。每

个O2-离子的配位数为多少？简单描述K2O的晶体结构。解释为什么称为反荧石结构？

3.33 画出PbO的三维晶胞：

（1）四方晶胞，a = 0.397 nm，c = 0.502 nm；

（2）氧离子位于立方体中心及两个正方形面中心；

（3）一个氧离子位于其他两个相对面（长方形）上坐标为（0.5a, 0.237c）坐标的位置。

（4）其他两个相对的正方形面上，氧离子位于（0.5a, 0.763c）坐标的位置。

3.34 计算FeO的密度，给出其具有岩盐结构。

答：0.414 < r(Fe2+)/r(O2-) = 0.077/0.140 = 0.55 < 0.732 阳离子的配位数为6，具有岩盐结构。

3.35 MgO具有岩盐晶体结构，密度为3.58 g/cm3。

(a) 确定晶胞边长

(b) 假定Mg2+和O2-沿着边长正好相切时的边长长度为多少？

答：(a) ρ = (m A+ m C)/a3 = 3.58;

4×(24.312+15.999)

= 3.58×10-21

6.02×1023×a3

3 = 0.421nm

求得：a = √0.0748

(b) a= 2(r Mg2++r O2-) = 2?(0.072+0.140) =2?0.212 =

0.424 nm

3.36 计算金刚石的理论密度。C—C键长与键角为0.154 nm和

109.5°。理论值与测理值进行比较。

答：首先我们需要根据键长确定晶胞的边长，图中给出了立方体晶胞的8分之1处C原子的八面体键合情况。

φ =109.5?/2 = 54.75?

X =a/4，Y = 键长= 0.154

nm

则Y cos(54.75?) = a/4

求得：a=

4?0.154?cos(54.75?)

= 0.356 nm

金刚石晶胞中存在8个独立原子，其质量为：

m=８?12.011/(6.02?1023) = 1.5961?10-22 (g)

晶胞的体积为: V = a3 =0.3563 = 0.0451 nm3

∴密度为：m/V = 1.5961?10-22/(0.0451?10-21) = 3.54 g/cm3实验测量的密度为3.51 g/cm3

3.37 计算ZnS的理论密度。Zn—S键长与键角为0.234 nm和109.5°。理论值与测量值进行比较。

答：ZnS的晶体结构与金刚石

结构相同。

求得：a=

4?0.234?cos(54.75?)

= 0.540 nm

ZnS的晶体结构中有4个独立的ZnS分子。晶胞中分子的质量为：

m=4?(65.37+32.064)/(6.02?1023) = 6.474?10-22 (g) 晶胞的体积为: V = a3 =0.543 = 0.157 nm3

∴密度为：ρ = m/V = 6.47?10-22/(0.157?10-21) = 4.12 g/cm3实验测量值为：ρ = 4.10 g/cm3

3.38 CdS具有立方晶胞，从X—射线衍射数据可知，晶胞边长为0.582 nm。如果测量的密度值为

4.82 g/cm3，每个晶胞中的Cd2+和S2-离子数量为多少？

答：晶胞的体积为: V = a3 =0.5823 = 0.197 nm3

一个晶胞所含分子的质量为：

m =ρ V= 4.82?10-21?0.197 = 0.950?10-21 g CdS的分子量为：112.4+32.064 = 144.464 g/mol

∴晶胞中的分子个数为：

0.950?10-21?6.023?1023

=3.96 ≈ 4

144.464

即每个晶胞中含有4个Cd2+和4个S2-离子。

3.39 (a) 利用表3.4中的离子半径计算CsCl密度。提示：修改3.4题中的结果。(b) 密度测量值为3.99 g/cm3，如何解释密度的计算值和测量之间的差异。

答： A(Cs) Cs 位于体心，Cs 和Cl 相切，

故AB = r Cs + r Cl = 0.170+0.181 = 0.351 nm

(Cl)B C AC = a /2 BC = √2a /2 根据勾股定理：AB 2 = AC 2 + BC 2

0.3512 = (a /2)2 + (√2a /2)2 = 3a 2/4，求得：a = 0.405 CsCl 的分子量为：132.91+35.45 = 168.36 g/mol ， 晶胞体积为：V = 0.4053 = 0.0664 nm 3 每个晶胞含有1个CsCl 分子，则密度为：

ρ =

168.36 g

6.023×1023

×0.0664×10

-21

cm 3

=4.21 g/cm 3

3.40 利用表3.4中的数据，计算具有荧石结构的CaF 2的密度。 答：r Ca = 0.100 nm r F = 0.181 nm

AC = 2r F + 2r Ca =2?(0.100+0.181) = 0.562 nm

AC = a /2， BC = √2a /2 根据勾股定理：AC 2 = AB 2 + BC 2

0.5622 = (a /2)2 + (√2a /2)2 =

3a 2/4，

求得：a = 0.487 nm

晶胞体积为：V = (0.487nm)3 = 0.1155 nm 3 =1.155?10-22

cm 3

1个晶胞中含有8个Ca 和4个F ，

A B

C

质量为：m = 8?40.08+4?18.998=396.632 g/mol

ρ =

396.632 g

6.023×1023×1.155×10-22cm3

=5.70 g/cm3

3.41 假想的AX类型陶瓷，其密度为2.65 g/cm3，立方对称的晶胞边长为0.43 nm。A和X元素的原子量各为86.6和40.3 g/mol。由此判断，其可能的晶体结构属于下列哪一种：岩盐结构，氯化铯结构或者闪锌矿结构？

答：晶胞的质量为：

m= 2.65?10-21?0.433 = 0.211?10-21g

晶胞中的独立分子数为：

0.211×10-21×6.023×1023

（86.6+40.3）

=1

因此，属于氯化铯结构。

3.42 具有立方对称的MgFe2O4(MgO-Fe2O3)的晶胞边长为0.836 nm。如果材料的密度为

4.52 g/cm3，根据表3.4中的离子半径数据计算其原子致密度。

答：晶胞的质量为：m= 4.52?10-21?0.8363 = 2.64?10-21g MgFe2O4的分子量为：

M= 24.312+2?55.847+4?15.999=200.002g/mol

晶胞中的独立分子数为：

2.64×10-21×6.023×1023

200.002

≈ 8

根据表3.4中的离子半径数据，得出：

r Mg= 0.072 nm，r Fe= 0.077 nm，r O= 0.140 nm

各对应的原子体积为：V Mg = 4π?(0.072)3/3= 1.562?10-3 nm3

V Fe = 4π?(0.077)3/3= 1.911?10-3 nm3

V O = 4π?(0.140)3/3= 1.149?10-2 nm3晶胞体积为：V = (0.836nm)3 = 0.5843 nm3

APF=8×(V Mg+2V Fe+4V O)

V

=

8×(1.562+2×1.911+4×11.149)×10-3

0.5843

=0.68

3.43 Al2O3具有六方晶系，晶格常数为a = 0.4759 nm, c = 1.2989 nm。如果材料的密度为3.99 g/cm3，根据表3.4中的离子半径数据计算其原子致密度。

答：晶胞体积为：

a sin60??a?3?c = 0.4759?0.4759?√3/2?1.2989=0.2548 nm3

晶胞的质量为：m= 3.99?10-21?0.2548 = 1.017?10-21g Al2O3的分子量为：

M = 2?26.982+3?15.999=101.961g/mol 晶胞中的独立分子数为：

1.017×10-21×6.023×1023

101.961

≈ 6

根据表3.4中的离子半径数据，得出：

r Al= 0.053 nm，r O= 0.140 nm

各对应的原子体积为：V Al = 4π?(0.053)3/3= 6.233?10-4 nm3

V O = 4π?(0.140)3/3= 1.149?10-2 nm3

APF=6×(2V Al+3V O)

V

=

6×(2×6.233+3×114.9)×10-4

0.2548

= 0.84

3.44 计算金刚石立方晶体结构的原子致密度（图3.16）。假定成键

原子相互接触，键角为109.5?，晶胞内部的每个原子与最近邻晶胞面心之间的距离为a/4（a为晶胞边长）。

答：φ =109.5?/2 = 54.75?

X =a/4，

Y = 2r C

则Y cos(54.75?) = a/4

求得：

a= 4?2r C?cos(54.75?) = 4.617 r C

晶胞的体积为: V = a3 = (4.617r C)3 = 98.419 r C3

金刚石晶胞中存在8个独立原子，其体积为：

V C=８?4π? r C3/3 = 33.493r C3

∴ APF = 33.493r C3/98.419 r C3= 0.340 g/cm3

3.45 利用表3.4的离子半径数据，计算氯化铯的原子致密度。假设

离子沿着体对角线相切。

答：

r Cs= 0.170 nm，r Cl = 0.181 nm

AC = 2r Cs + 2r Cl = 0.702 nm，A

AC = √2a AB = a

根据勾股定理：AC2 = AB2 + BC2

0.7022 = a2 + (√2a)2，求得：a = 0.405 nm

每个晶胞中含有一个独立的分子，其体积为：

V CsCl= 4?π?(r Cs)3/3 + 4?π?(r Cl)3/3 = 4?π?(0.170)3/3 + 4?π?(0.181)3/3

= 4?π?0.00491/3 + 4?π?0.00593/3 = 0.0454 nm3

晶胞体积为：V = a3 = (0.405)3 nm3 = 0.0664 nm3

∴ APF = V CsCl/V = 0.0454/0.0664 = 0.68

3.46 根据成键，解释硅酸盐材料为何具有相对低的密度。

答：空间结构不如金属的空间结构排列的那么紧密；O，Si的结合有空间键而且较长，但金属就不同，他们结合的键极短，并且原子量较大，所以没有金属那样较高密度。

3.47 确定SiO44-四面体中共价键之间的键角。

答：共价键之间的键角为：109.5?

3.48 画出正交晶胞及其中的[121?]晶向和(210)晶面。

C

B

3.49 画出单斜晶胞及其中的[01?1]晶向和(002)晶面。

3.50 （a）给出两个向量的指数

晶向1：

x y z

投影：0a 1/2b c 以a,b,c为单位的投影：0 1/2 1 化简为整数：0 1 2 用中括号围起来：[012]

O

z

x

y

晶向2：

x y z

投影：1/2a1/2b-c 以a,b,c为单位的投影：1/2 1/2 -1

化简为整数： 1 1 -2 用中括号围起来：]2

11[

（b）给出两个晶面的指数

晶面1：

x y z

截距：∞a 1/2b ∞c

以a,b,c为单位的截距：

∞1/2 ∞

取倒数：0 2 0

用圆括号围起来：(020)

晶面2：

x y z

截距：1/2a -1/2b c

以a,b,c为单位的截距：

1/2 -1/2 1

取倒数： 2 -2 1

用圆括号围起来：(22?1)

3.51 立方晶胞中画出下列晶向：

3.52 确定下列立方晶胞中的晶向指数：答：