高考数列压轴题的“分形数列”式解法
高考数列压轴题的“分形数列”式解法
南昌外国语学校 梁懿涛
高考真题(2013年江苏23):设数列{}n a :111,2,2,3,3,3,4,4,4,4,,(1),,(1)k k k k --------???-???-,…,即当*(1)(1)()22
k k k k n k N -+<≤∈时,1(1)k n a k -=-,记*12()n n S a a a n N =++???+∈.对于*l N ∈,定义集合{|l n P n S =是n a 的整数倍,*n N ∈且1}n l ≤≤.
(1)求集合11P 中元素的个数;
(2)求集合2000P 中元素的个数.
对于以上数列{}n a :111,2,2,3,3,3,4,4,4,4,,(1),,(1)k k k k --------???-???-,
…,我们可把它叫做分形数列.比如数列“31
1,1,2,2,2,2,2,,,,...,n n n n -??????”以及“1,1,1,2,3,3,3,4,5,5,5,6,???”之类,都是典型的分型数列.分
形数列的特点是数列可化分为具有明显特征的数列段.以上数列{}n a 的第1段为{1},第2段为{2,2}--,第3段为{3,3,3},…,第k 段为11{(1),,(1)}k k k k ---???-,….
对于分形数列,一般要求我们求出数列的通项n a 及前n 项和n S . 例1:(2010年浙江省预赛题)设数列112123
12,,,,,,,,
,,,12132111k k k ?????????-,问: (1)这个数列第2010项的值是多少?
(2)在这个数列中,第2010个值为1的项的序号是多少?
【解析】:(1)将数列分段:1
1212312{},{,},{,,},,{,,,},12132111
k k k ?????????-,假设数列的第2010项位于第k 段12{,,,}11k k k ???-中,前k 段共有(1)122k k k +++???+=项,(1)(1)201022
k k k k -+∴<≤,解得63k =,且前63段共有2016项,所以第2010项位于第63组倒数第7项,根据数列的特点,得第2010项为577
. (2)由以上分段可以知道,只有每个奇数段中最中间的项为1,所以第2010个1出现在第4019段,而第4019组中的1位于该段中最中间的位置,即第2010位.所以第2010个值为1的项的序号为(1+2+3+…+4018)+2010=809428.
【评注】求分形数列的某一项n a 的值,关键是确定n a 位于哪一段中的第几位数.这可以先假定其位于第k 段,通过项数n 与段数k 的关系来确定.如本例就是(1)(1)201022
k k k k -+<≤.值得提醒得是,此不等式无需解,只要先估计,再验证确定即可.
例2:(2013年南昌外国语学校高一竞赛题)数列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2,…,其相邻的两个1被2隔开,第n 对1之间有n 个2,求此数列的前2013项的和.
【解析】:将数列分段:{1,2},{1,2,2},…,{1,2,2,,2}k ???个 ,….前k 段共有
(21)(3)22
k k k k +++=项.假设第2013项位于第k 段,则有(1)(2)(3)201322k k k k -++<≤.因为6164626519522013201522
??=<≤=,所以 62k =.从而此数列的前2013项中只有62个1,其它全为2,即前2013项的和为20132623964?-=.
【评注】求分形数列的前n 项的和n S 的值,关键同样是确定n a 位于哪一段中的第几位数.再根据分形数列的特点求和即可.
例3. (2005年上海交通大学保送、推优生试题改编)对于数列{}n a :1,3,3,3,5,5,5,5,5,…,
即正奇数k 有k 个,试求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项的和n S .
【解析】:将数列分段:{1},{3,3,3},{5,5,5,5,5},…,{21,21,,21}k k k k --???-个
,….因为前k 段共
有213521k k +++???+-=项,所以21n a k =-的充要条件是22(1)1k n k -+≤≤
1k ≤
111[0,1)n +-
=,k ∴
是1的整数部分,
即1k =+.从而
2]1
n a =-. 又因为前k 段内各数之和为222111(1)(21)(1)(41)(21)4444623k k k
i i i k k k k k k k i i i k k ===+++--=-+=-+=∑∑∑,所以前n 项的和222(1)[4(1)1](21)(3)[(1)](21)33
n k k k n k k S n k k
----+-=+---=,其中1k =+. 【评注】从此例可看出,只有深刻理解数列{}n a 中项数n 的双重作用,即项数n 既确定数列{}n a 中各项的值,又决定着它的段数,才能正确解答此类问题.另外,利用高斯函数[]x 求解决某些难度大的数列的通项公式与前n 项和的问题时,往往能起到常规方法无能为力的作用.
最后我们运用以上方法来解本文之初的高考题:
设数列{}n a 的前k 段的和为k T ,则2222121234(1)k k T k -=-+-+???+-,当k 为偶数时,222222(12)(34)[(1)](371121)k T k k k =-+-+???+--=-+++???+-(1)2
k k +=-;当k 为奇数时,21(1)(1)22k k k k k k k T T a k --+=+=-
+=.所以1(1)(1)2
k k k k T -+=-. 因为11(1)[](1)2k n k k k S T n k ---=+--,所以21(1)(1)(1)[](1)22
k k n k k k k S n k ----=-+--= 21(1)(1)(1)2k k k k nk ---+-,从而212
n n S k n a -=-.显然只有当k 为奇数时,212k -为整数,n n S a 才是整数.也即只有位于奇数段中的n a ,才满足n S 是n a 的整数倍.
由以上分析,当11l =,11a 位于第5段中第1项,前11项中位于奇数段的,第1段中1项,第3段中3项,第5段中1项,1315++=,所以集合11P 中元素的个数为5;同理,当2000l =时,由626319532?=< 6364200020162
?≤=可知,2000a 位于第63段中第47项,135+++???+63571008+=,所以集合2000P 中元素的个数为1008.
2011高考数学压轴题专题训练
2011高考数学压轴题专题训练--数列(36页WORD ) 第六章 数列 高考题 三、解答题 22.(2009全国卷Ⅰ理)在数列{}n a 中,1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ (I )设n n a b n = ,求数列{}n b 的通项公式 (II )求数列{}n a 的前n 项和n S 分析:(I )由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) (II )由(I )知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型, 易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析:09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.(2009北京理)已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ;对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤,i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . (Ⅰ)分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ,并说明理由;
高考数学压轴专题专题备战高考《数列》难题汇编及答案
数学高考《数列》试题含答案 一、选择题 1.已知等比数列{a n },a n >0,a 1=256,S 3=448,T n 为数列{a n }的前n 项乘积,则当T n 取得最大值时,n =( ) A .8 B .9 C .8或9 D .8.5 【答案】C 【解析】 【分析】 设等比数列{a n }的公比为q ,由a n >0,可得q >0.根据a 1=256,S 3=448,可得256(1+q +q 2)=448,解得q .可得a n ,T n ,利用二次函数的单调性即可得出. 【详解】 设等比数列{a n }的公比为q ,∵a n >0,∴q >0. ∵a 1=256,S 3=448, ∴256(1+q +q 2)=448, 解得q 12= . ∴a n =2561 1()2 n -?=29﹣n . T n =28?27?……?2 9﹣n =2 8+7+…+9﹣n ()217 289[)89242 2 22 n n n ??--- ?+-? ?==. ∴当n =8或9时,T n 取得最大值时, 故选C . 【点睛】 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 2.已知等比数列{}n a 满足13a =,13521a a a ++=,则357a a a ++=( ) A .21 B .42 C .63 D .84 【答案】B 【解析】 由a 1+a 3+a 5=21得24242 1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2 135()22142q a a a ++=?=,选B. 3.数列{}n a 的通项公式为( )n a n c n N * =-∈.则“2c <”是“{}n a 为递增数列”的( ) 条件. A .必要而不充分 B .充要 C .充分而不必要 D .即不充分也不必要
高考数列压轴题选讲
高考数列压轴题选讲 1、已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ,记()*3,.f n n a n N =∈ (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)设n n n n n b b b T a b +++== 21,2 ,若)(Z m m T n ∈<,求m 的最小值; (3)求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n 对一切*N n ∈均成立的最大实数p . 解:(1)由题意得???=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ,解得? ??-==12b a , )12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,123 3N n n a n n ∈-==- (2)由(1)得n n n b 212-=, n n n n n T 2 122322523211321-+-++++=∴- ① 2311113252321222222 n n n n n n n T -+---=+++++ ② ①-②得12311112222212222222n n n n n T -+-=++++ +- 1122111111121()222 222n n n n --+-=+++++-112122123+----=n n n . n n n n n n T 23232122132+-=---=∴-, 设*,232)(N n n n f n ∈+=,则由1512132121)32(252232252) ()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n n 得*,2 32)(N n n n f n ∈+=随n 的增大而减小+∞→∴n 当时,3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立,3min =∴m (3)由题意得*21)11()11)(11(1 21N n a a a n p n ∈++++≤对 恒成立 记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++= ,则 1)1(4)1(2)32)(12(22)11()11)(11(121)11)(11()11)(11(321) ()1(221121-++=+++=+++++++++=++n n n n n a a a n a a a a n n F n F n n n 1)1(2)1(2=++>n n )(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴> 是随n 的增大而增大
高考压轴题瓶颈系列—浙江卷数列50例
高考压轴题瓶颈系列之——浙江卷数列 【见证高考卷之特仑苏】 1. 【2014年.浙江卷.理19】(本题满分14分)已知数列{}n a 和{}n b ()()* ∈=N n a a a n b n 2 2 1 . 若 {}n a 为等比数列,且.6,2231b b a +== (Ⅰ)求 n a 与 n b ; (Ⅱ)设() * ∈-= N n b a c n n n 1 1。记数列{}n c 的前n 项和为n S . (i )求 n S ; (ii )求正整数k ,使得对任意*∈N n ,均有n k S S ≥. 2. 【2011年.浙江卷.理19】(本题满分14分)已知公差不为0的等差数列 {} n a 的首项 1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ,且11a ,21a ,41a 成等比数列 (Ⅰ)求数列 {} n a 的通项公式及 n S (Ⅱ)记 1231111 ...n n A S S S S = ++++ , 212221111...n n B a a a a =++++,当2n ≥时,试比较 n A 与 n B 的大
3. 【2008年.浙江卷.理22】(本题14分)已知数列 {}n a ,0≥n a ,01=a , 22111() n n n a a a n N ?+++-=∈. n n a a a S +++= 21)1()1)(1(1 )1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++= . 求证:当? ∈N n 时,(Ⅰ)1 + 高考数学压轴题:交集数列 数列中一类元素交并问题,实际考查思想方法,如最小公倍数、余数分析法,二项式定理应用. 类型一 两个等差数列取交集数列问题 典例1. 若数列{}n a 的通项公式为232n n a +=- ,数列{b }n 的通项公式为n b 5 34 n =--. 设集合* {|2,}n A x x a n N ==∈, *{|4,}n B y y b n N ==∈.若等差数列{}n c 任一项 1,n c A B c ∈是A B 中的最大数,且10265125c -<<-,求{}n c 的通项公式. 类型二 一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题 典例2已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+,数列{n b }的通项公式为2 n b n =.若将数 列{n a },{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c },则数列{}n c 的通项公式为____. 类型三 一个等差数列和一个指数型数列取交集数列问题 典例3 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为319n a n =-, 2n n b =.将{}n a 与{}n b 中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{}n c . (1)试写出1c ,2c ,3c ,4c 的值,并由此归纳数列{}n c 的通项公式; (2)证明你在(1)所猜想的结论. 1. 设数列{a n }的通项公式为12-=n a n ,数列{b n }的通项公式为b n =3n -2.集合A ={x ∣x =a n ,n ∈N * },B ={x ∣x =b n ,n ∈N * }.将集合A ∪B 中的元素从小到大依次排列, 构成数列c 1,c 2,c 3,…,则{c n }的通项公式为___________. 2. 已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0,设13,,k a a a 是公比为q 的等比数列{}n b 的前三项, (1)若k=7,12a = (i )求数列{}n n a b 的前n 项和T n ; 1 / 16 高考压轴题瓶颈系列之 ——浙江卷数列 【见证高考卷之特仑苏】 1. 【2014年.浙江卷.理19】(本题满分14分)已知数列 {}n a 和{} n b ()()* ∈= N n a a a n b n 221Λ.若{}n a 为等比数列,且. 6,223 1 b b a +== (Ⅰ)求 n a 与 n b ; (Ⅱ)设() * ∈-= N n b a c n n n 11。记数列{}n c 的前n 项和为n S . (i )求 n S ; (ii )求正整数k ,使得对任意* ∈N n ,均有n k S S ≥. 2. 【2011年.浙江卷.理19】(本题满分14分)已知公差不为0的等差数列 {} n a 的首项 1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ,且11a ,21a ,41 a 成等比数列 (Ⅰ)求数列 {} n a 的通项公式及 n S (Ⅱ)记1231111 ...n n A S S S S = ++++ , 212221111...n n B a a a a =++++,当2n ≥时,试比 较 n A 与 n B 的大高考数学压轴题:交集数列
高考压轴题数列50例