2017年澄池杯数学初赛试题
2017 年“澄池杯”数学初赛试题
一、选择题（每小题 5分，共 30 分）
1. 一组数据l、2、2、 3，若添加一个数据 2，则发生交化的统计量是（）
A.平均数
B.中位数
C.众数
D. 方差
2. 若关于x 的方程无解，则 k 为（）
A. B.-2 C.-或-1 D.-l或-2
3.己知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y 与x 之间函数关系的图象是〔）
4. 如图，矩形 ABOC 的顶点 d 的坐标为（－4 , 5) , D 是 OB 的中点，E是
DC 上的一点，当△ADE的周长最小时，点 E的坐标是（）
A.（0，）
B.(0 , )
C.(0，2)
D.(0 ,)
5.如图，在A△ABC中，CA = CB=4 ,∠ACB= 90°，以AB中点 D为圆心，作圆心角为90°的扇形 DEF ，点 C恰好在EF上，下列关于图中阴影部分的说法正确的是〔）
A.面积为.
B.面积为
C.面积为.
D.面积随扇开三位置的变化而变化
6. 将正方形 ABCD 绕点A按逆时针万向旋转30°，得正方形AB
1C
1
D
1
,B
1
C
1
交
CD 于点 E , AB=，则四边形AB
1
ED的内切圆半径为〔〕
A. B. C. D.
二、填空（每小题 5 分，共 30 分）
7. 己知 a2 +3a-1=0 ，化简求值：
8.不等式组的解集是，则a的取值范围是 .
9.原价 100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为 .
10.若关于x的方程 kx2 - 3x -=0有实数根，则实数 k 的取值范围是 .
11.如图，在平面直角坐标系中，A 、E 两点分别在x 轴、y 轴上，OA = 3, OB = 4，连接 AB.点 P 在平面内，若以点 P、A、B 为顶点的三角形与△AOB全等
（点P与点O不重合），则点 P 的坐标为 .
12.如图，在菱形 ABCD中，AB=4cm，∠ADC= 120° , 点 E、F 同时由 A、C 两点出发，分别沿 AB 、CB方向向点 B 匀速移动（到点 B 为止），点 E 的速度为 lcm/s,点F 的速度为 2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，贝t的值为 .
三、解答题（共 4 小题，满分 40 分〉
13.由于雾霆天气频发，市场上防护口罩出现热销某药店准备购进一批口罩，己知 l 个A型口罩和 3个B型口罩共需26 元；3 个A型口罩和2个B型口罩共需29元．
（1）求一个A 型口罩和一个 B型口罩的售价各是多少元？
（2）药店准备购进这两种型号的口罩共 50个，其中 A 型口罩数量不少于35 个，且不多于B型口罩的3 倍，有哪几种购买方案，哪种方案最省钱？
14.为保障我国海内外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和 50吨生活物资。已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：
(1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x 吨，求总运费y（元）与 x〔吨）之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围：
(2〕求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案.
15. 如图，在 Rt △AB C 中，∠ACB= 90°，以AC 为直径作⊙O交 AB 于点 D ,
E 为 BC 的中点，连接 DE 并延长交AC 的延长线于点 F.
〔1）求证，DE 是⊙O的切线；
〔2）若 CF= 2, DF= 4，求⊙O直径的长．
16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=αx2+ bx + l交y轴于点A，交x 轴正半轴于点B〔4，0〕，与过A点的直线相交于另一点 D(3,)，过每 D作 DC⊥x 轴，垂足为 C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN
⊥x轴。交直线AD于M,交抛物线于点N，连接 CM，求△
PCM面积的最大值；
（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是
否存在t，使以点M 、C、D、N为顶点的四边形是平行四
边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
2017 年澄池杯初赛答案〈胡哥解答版）
一、选择题
1. 一组致据1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（）
A. 平均数 B 中位数 C. 众数 D. 方差
【答案】 D ：A 、原来数据的平均数是 2，添加数字 2 后平均数扔为 2 ，故A与要求不符；
B、原来数据的中位数是 2，添加数字 2 后中位数扔为 2，故B 与要求不符；
C、原来数据的众数是 2，添加数字2 后众数扔为 2，故 C 与要求不符，
D、原来数据的方差=（）（）（），
添加数字2后的方差=（）（）（），故方差发生了变化
故选：D
2： C 无解：分为增根和整式方程无解两种情况。
3 、己知等腰三角形的局长是 10，底边长y 是腰长x 的函数，则下列图象中，能正确反映y 与x 且可函数关系的图象是（）
【答案】 D
【解析】解：由题意得，2x + y= 10 ,
所以，y=- 2x + 10,
由三角形的三边关系得，①
②
'
解不等式①得，x > 2.5,
解不等式①的，χ＜ 5 ,
所以，不等式组的解集是 2.5 < x < 5
正确反映y 与x 之间函数关系的图象是 D选项图象．故选 D
4 如图，矩形 ABOC的顶点A的坐标为(-4,5), D是OB的中点，E 是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点 E的坐标是〔）
A.(0,)
B.（0，）
C.（0，2)
D.（0，）【答案】 B
【解析】解：作A 关于y 铀的对称点A'，连续A'D
交y 轴于 E,
则此时，△ADE 的周长最小，∵四边形ABOC 是矩形，
∴AC/ / OB, AC = OB ,
∵A 的坐标为（-4, 5),
∴（，），（，）
∵D是OB的中点，
∴D(- 2 , 0〕，
设直线的解析式为 y = kx + b,
∴∴
∴直线 DA'的解析式为
当 x=0 时，y = ,
∴E（0，）
故选：B .
作A关于y 轴的对称点A'，连接 A'D 交y 轴于 E，则此时，△ADE的周长最小，
根据 A的坐标为（-4，5），得到A'（4，5）、B（-4，0），D（-2，0），求出直线DA'的解析式为，即可得到结论.
此题主要考查轴对称一最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．
5.如图，在A△ABC中，CA = CB=4 ,∠ACB= 90°，以AB中点 D为圆心，作圆心角为90°的扇形 DEF ，点 C恰好在EF上，下列关于图中阴影部分的说法正确的是〔）
A.面积为.
B.面积为
C.面积为.
D.面积随扇开三位置的变化而变化
［答案】 C
【解析】解：连接 CD,
证明：△ BDH ≌△CDG,
∴图中阴影部分的面积=扇形△BCD即可。
6. 将正方形 ABCD 绕点A按逆时针万向旋转30°，得正方形AB
1C
1
D
1
,B
1
C
1
交
CD 于点 E , AB=，则四边形AB
1
ED的内切圆半径为〔〕A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】解：∠DAF 与∠AB
1G的角平分线交于点O，过 O作OF⊥AB
1
，
则∠OAF=30°，∠AB
1
O=45°
故B
1
F=OF=
设B
1
F=x，则AF=
故（）（）
解得或（舍去）
∴四边形 AB
1
ED 的内切圆半径为，故选＇A.
作∠DAF 与∠AB
1G的角平分线交于点O，则O即为该圆的圆心，过O作 OF⊥AB
1
,
AB =，再根据直角三角形的性质便可求出 OF 的长，即该四边形内切圆的圆心.
填空题
7：己知，化简求值：
8：不等式组的解集是 x>-1，则α的取值范围是 .
【答案】【解折】解：解不等式，得,
解不等式，得，∵不等式组的解集为
则
故答案为
9. 原价 100 元的某商品，连续两次降价后售价为 81 元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为 .
【答案】 10%
【解析】解：设这两次的百分率是x，根据题意列方程得
100 ×（1-x)2 = 81,
解得x
1 = 0.1= 10%, x
2
= 1.9（不符合题意，舍去）
答：这两次的百分率是 10%.
故答案为：10%.
先设平均每次降价的百分率为x，得出第一次降价后的售价是原来的（1-x），第二次降价后的售价是原来的（1-x）2，再根据题意列出方程解答即可。
本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法若设变化前的量为α，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为.
10.若关于x的方程有实数根，则实数 k 的取值范围是( )
【解析】解:当k= O时，方程化为，解得;
当时，（）（），解得,
所以k 的范围为.
讨论：当k=0时，方程化为 0，方程有一个实数解；当时，（）（），然后求出两个中请况下的k的公共部分即可。
11.如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在x 轴、y轴上，OA= 3, OB = 4，连接 AB.点P 在平面内，若以点P、A、B为顶点的三角形与△AO B全等（点P 与点O不重合），则点 P的坐标为 .
【答案】（3, 4）或（，）或（，）
【解析】解：如图所示：
①∵ OA = 3 , OB = 4 ,
〔3, 4) ,
∴P
1
②连结 OP
,
2
设 AB的解析式为 y= kx+ b，则
解得
故 AB 的解析式为.
则OP
的解析式为
2
联立方程组得
解得
（，）
则P
2
③连结P
2P 3
∴. (3 + 0) ÷ 2 = 1.5,
(0 + 4)÷ 2 = 1.5 ,
∴E〔1.5, 2) ,
∴1.5×2－＝－
2×2－＝－
∴P3(，)
故点P 的坐标为（3, 4）或（，）或（，）
故答案为：（3, 4）或（，）或（，）
由条件可知AB这两三角时公共边，且为直角三角形，当△AOB和△APB全等时，则可知△APB为直角三角形，再分三种情况进行讨论，可得出 P 点的坐标。
本题考查了全等三角形的性质及坐标与图形的性质，做这种题要求对全等三角形的判定方法熟练掌握.
12 如图，在菱形ABCD 中，AB = 4cm，∠ADC= 120°，点E、
F 同时由A、C 雨点出发，分别沿 AB 、CB 方向向点B 匀速
移动（到点B 为止），点E 的速度为 lcm/s, 点F 的速度为 2
cm/ s，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为
【答案】
【解析】
解：延长 AB至M，使 BM = AE ，连接 FM,
∵四边形 ABCD 是菱形，∠ADC= 120°
∴ AB = AD , ∠A= 60°,
∵BM = AE ,
∴AD = ME ,
∵△AEF为等边三角形，
∴∠DAE = ∠DFE = 60°, DE = EF = FD ,
∴∠MEF +∠DEA\ 120°, ∠ADE +∠DEA = 180°∠A=120°,
∴∠MEF = ∠ADE ,
∵在△DAE和△EMF中，
∠∠
∴△DAE≌△EMF（SAS）
∴AE = MF , ∠M = ∠A = 60°,
又∵BM = AE ,
∴△BMF是等边三角形，
∴ BF = AE ,
∴AE = t, CF = 2t,
∴BC = CF + BF = 2t +t = 3t,
∵ BC = 4 ,
∴3t=4
∴ t =
故答案为：
延长AB至M，使 BM=AE，连接 FM ，证出△DAE≌△EMF，得到△EMF是等边三角形，再利用菱形的边长为4 求出时间t的值.
本题主要考查了菱形的性质全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出△BMF是等边三角形。
三、解答题
13 由于雾霾天气频发，市场上的防护口罩出现热销，某药店准备购进一批口罩，已知 1个A 型口罩和 3 个B 型口罩共需 26 元；3 个A型口罩和 2 个B 型口罩共需 29 元.
（1）求一个A 型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？
(2〕药店准备购进这两种型号的口罩共 50 个，其中A型口罩数量不少子 35 个，
且不多于 B型口罩的 3 倍，有哪几种购买方案，哪种方案最省钱？
【答案】解：(1）设一个d 型口罩的售价是α元，一个 B型口罩的售价是 b 元，
依题意有：
＋
解得
答：一个A 型口室的售价是 5 元，一个 B 型口罩的售价是 7 元.
(2)设A 型口罩 x 个，依题意有：
（）
解得,
∵ x 为整数，∴ x = 35, 36, 37
方案如下：
设购买口罩需要y 元，则 y= 5x + 7(50 -x) =-2x + 350 , k =- 2 < 0 ,
∴y 随x 增大而减小，
∴ x = 37 时，y 的值最小
答：有 3 种购买方案，其中方案三最省钱．
【解析】（1）设一个A 型口罩的售价是α元，一个 B型口罩的售价是 b元，
“ 1 个A 型口罩和 3 个 B 型口罩共需 26 元；3 个A型口罩和 2 个B 型根据：
口罩共需 29 元”列方程组求解即可：
(2）设A型口罩 x 个，根据A型口罩数量不少子 35 个，且不多子 B型口罩的
3 倍" 确定x 的取值范围，然后得到有关总费用和A 型口罩之间的关系得到函
数辉析式，确定函数的最值即可．
此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用等知识，根
据题意得出正确的等量关系是解题关键.
14.为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过 A 港口、B 港口分别运送100 吨和50吨生活物资.己知该物资在甲仓库存有 80 吨，乙仓库存有 70 吨，若从甲、乙丙仓库运送物资到港口的费用（元／吨）如表所示：
(1）设从甲仓库运送到 A 港口的物资为x 吨，求总运费 y（元）与 x （吨）之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；
(2〕求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案．
【答案】解（1）设从甲仓库运 x 吨往 A港口，则从甲仓库运往 B港口的有（80 -x）吨，从乙仓库运往A 港口的有〔100 - x）吨，运往 B港口的有 50-〔80 - x〕＝(x - 30〕吨，所以 y = 14x + 20(100 - x ）+10(80 - x) + 8( x - 30) =- 8x + 2560,
x 的取值范围是.
(2）由〔1）得 y=-8x + 2560y 随x 增大而减少，所以当 x= 80 时总运费最小，当 x = 80 时，y =-8×80+2560 = 1920,
此时方案为：把甲仓库的全部运往A 港口，再从乙仓库运 20 吨往 A 港口，乙仓库的余下的全部运往 B港口．
【解析】（1）根据题意表示出甲仓库和乙仓库分别运往A、B两港口的物资数，再由等量关系：总运费甲仓库运往A 港口的费用＋甲仓库运往 B港口的费用＋乙仓库运往 A港口的费用十乙仓库运往 B港口的费用列式并化简；最后根据不
等式组得出x 的取值：
〔2）因为所得的函数为一次函数，由增减性可知：y随x 增大而减少，则当 x = 80时，y最小，并求出最小值，写出运输方案
本题考查了一次函数的应用，属于方案问题，解答本题的关键是根据题意表示出两仓库运往A、B两港口的物资数，正确得出 y 与x 的函数关系式：另外，要熟练掌握求最值的另一个方法：运用函数的增减性来判断函数的最值问题．
15如图，在 Rt△ ABC中，∠ACE = 90°，以AC 为直径作⊙O交AB 于点 D , E为 BC 的中点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线子点 F.
(T）求汪：DE 是⊙O的切线；
(2）若 CF= 2, DF=4，求⊙O直径的长．
【答案】解：(1〕如图，连接 OD、CD,
∵ AC 为⊙O的直径，
∴△BCD是直角三角形，
∵E为 BC 的中点，
∴ BE = CE = DE ,
∴∠CDE =∠DCE ,
∴OD = OC ,
∴∠ODC = ∠OC D ,
∵∠ACB= 90°,
∴∠OCD+∠PCE =90°
∴∠ODC+∠CDE=90°即OD⊥DE
∴DE是⊙O 的切线：／俨V .
,
〔2）设⊙O的半径为 r
1
∵∠ODF=90°
∴,即（）
解得：r = 3
∴⊙O的直径为 6.
【解析】 (1）连接 OD、CD，由AC为⊙O的重径知△BCD是直角三角形，结合 E 为BC的中点知∠CDE = ∠DCE ，由∠ODC =∠OCD 且∠OCD + ∠DCE = 90°可得答案；
(2）设⊙O的半径为 r，由OD2+ DF2 = 0F2 , 即（）可得r=
3 即可得出答案．
本题主要考查切线的判定与圆周角定理、直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握切线的判定与圆周角定理是解题的关键．
16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=αx2+bx + 1交y 轴于点A ，交 x 轴正半轴子在 B〔4，0〕与过d 点的直线相交于另一点 D ( 3，)，过点D作 DC ⊥x轴，垂足为C.
(1）求抛物线的表达式：
(2）点P 在线段OC上（不与点O、C 重合），过 P 作 PN ⊥x轴，交直线 AD 于 M，交抛物线于点 N，连接 CM ，求△PCM面积的最大值；
(3）若 P 是x 轴正半轴上的一动点，设OP的长为 t，是否存在t，便以点M 、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 r 的值；若不存在，清说明理由.
【答案】解：〔1）把点B（4，0），点 D( 3,），代入 y = ax2 + bx + 1中得，
，解得
∴抛物线的表达式为
(2）设直线AD 的解析式为 y= kx + b,
∵A（0，1）， D（3，）
∴
∴
∴直线AD的解析式为
设 P〔t，0），
∴M（t,）
PM=
∵CD⊥x轴，
∴PC=3-t
∴（）
∴（）
∴△PCM面积的最大值是
（3）∵OP=t
,,
∴点 M、N 的横坐标为 t,
设 M (t,），N（t，）
∴，CD=
如图 1 ，如果以点M、C、D、N 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN = CD ,即.，整理得：3t2 - 9t +10 = 0 ,
∵△=-39
∴方程无实数根，
∴不存在 t,
如图2，如果以点 M、C、D、N 为顶点的四边形是平行四边形，
∴MN= CD , 即
∴时，(负值舍去)，
∴，以点M、C、D、N 为顶点的四边形是平行四边形．
【解析】（1）把 B(4、0），点 D ( 3 ,）代入 y= ax2 +bx + 1即可得出抛物线的解析式：
(2）先用含 t 的代数式表示 P、M坐标，再根据三角形的面积公式求出△P CM 的面积与 t的函数关系式，然后运用配方法可求出P CM面积的最大值：
(3〕若四边形 DCMN为平行四边形，则有 MN= DC，故可得出关于 t 的二元一次方程，解方程即可得到结论．
本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定，正确求出二次函数的解析式、利用配方法把一般式化为顶点式、求出函数的最值是解题的关键，注意菱形的判定定理的灵活运用。
.
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便是有信心的！！！
（本试题集适合：想冲刺长沙四大名校理科实验班的童鞋们。）