向量的坐标形式
19 向量的坐标形式
【高考要求】：平面向量的坐标表示(B)
【教学目标】：了解平面向量的基本定理及其意义．
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； 理解用坐标表示的平面向量共线的条件（对线段定比分点坐标公式不作要求）．
【教学重难点】：用坐标表示的平面向量共线的条件
【知识复习与自学质疑】
【问题】
1．平面向量的基本定理内容是什么？
2．向量坐标的概念是什么？
3．平面向量的加法、减法、数乘的坐标运算是什么？
4．平面向量的数量积的概念是什么？什么是两个向量的夹角？平面向量数量积的几何意义是什么？
【练习】
1．已知(1,3)A -和(8,1)B -，若点(21,2)C a a -+在直线AB 上，则a = ． 2．设点(2,3),(5,4),(7,10)A B C ，点P 满足()AP AB AC R λλ=+∈ ．当λ= 时，点P 在第一、三象 限角平分线上；当λ∈ 时，点P 在第四象限．
3．已知向量(1,1),(1a b == ，则向量,a b 的夹角为 ． 4．设(,3),(2,1)a x b ==- ，若,a b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 ． 5．已知(3,1),(1,2)a b =-=- ，若(2)()a b a kb -+⊥+ ，则实数k = ．
【例题精讲】
向量的坐标运算
例1．已知向量x -=+===2,2),1,(),2,1(，根据下列情形求x ：（1）//； (2) ⊥．
例2．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-= ． （1）求32a b c +- ； （2）求满足a mb nc =+ 的实数,m n ； （3）若()//(2)a kc b a +- ，求实数k ； （4）设(,)d x y = 满足()//(),1d c a b d c -+-= ，求d ．
求向量的夹角
例3．已知)sin ,(cos ),3,0(),0,3(ααC B A ． (1)若1-=?，求)4sin(πα+
的值；
(2)点O 13=+其中),0(πα∈，求OB 与OC 的夹角．
例4．已知)2,12(),3,2(-+=+-=m m m m ，且a 与b 的夹角为钝角，求实数m 的取值范围．
向量坐标运算的运用
例5．已知向量(1,2),(2,1),,a b k t ==- 为正实数，向量21(1),x a t b y ka b t =++=-+ ． （1）若x y ⊥ ，求k 的最小值； （2）是否存在,k t ，使//x y ？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【矫正反馈】 1．已知(1,2),(,1)a b x == ，若2a b + 与2a b - 平行，则x = ． 2．已知(3,5),(1,2),(5,25)a b c ==-=- ，若用,a b 来表示c ，则c = ．
3．已知(3,0),(,5)a b k == ，,a b 的夹角是34π，则k 的值为 ． 4．已知向量(1,1),(2,3)a b ==- ，若2ka b - 与a 垂直，则实数k = ．
5．已知向量(cos ,sin ),1)a b θθ==- ，则2a b - 的最大值为 ．
6．若向量(,2),(3,2)a x x b x ==- ，且,a b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 ． 7．设ABC ?的三个内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，向量(,),(,)p a c b q b a c a =+=-- ，若//p q ，则
角C 的大小为 ． 8．已知坐标平面内(1,5),(7,1),(1,2),OA OB OM P === 是直线OM 上一个动点，当OP = 时， ?取最小值，此时COS APB ∠= ．
四、【迁移应用】 9．在△ABC 中，(2,1),(3,2),(3,1),A B C BC ---边上的高为AD ，则AD 的坐标 ．
10．若11),(,22
a b =-= ，且存在实数,k t ，使得2(3),x a t b y ka tb =+-=-+ ，且,x y ⊥ 试求2
k t t
+的最小值．
例2、已知(1,2),(2,)a b n ==- ，,a b 的夹角是045． （1）求b ； （2）若c 与b 同向，且c a - 与a 垂直，求c ．
1、已知o 为坐标原点，)6,4(),2,0(B A ，t t 21+=．
（1）求点M 在第二或第三象限的充要条件；
（2）求证：当11=t 时，不论2t 为何实数A,B,M 三点都共线；
（3）若21a t =，求当⊥且ABM ?的面积为12时a 的值．
2、已知向量1212,43a e e b e e =-=+ ，其中12(1,0),(0,1)e e == ． （1）试计算a b ? 及a b + 的值； （2）求向量a 与b 的夹角大小．
平面向量的坐标运算(教案)
平面向量的坐标运算（一）（教案） 教学目标： 知识与技能：（1）理解平面向量的坐标概念；（2）掌握平面向量的坐标运算. 过程与方法：（1）通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力； （2）通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力； （3）通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力. 情感、态度与价值观:（1）让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养； （2）使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质； （3）让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律. 教学重点和教学难点： 教学重点：平面向量的坐标运算； 教学难点：平面向量坐标的意义. 教学方法：“引导发现法”、“探究学习”及“合作学习”的模式. 教学手段：利用多媒体动画演示及实物展示平台增加直观性，提高课堂教学效率. 教学过程设计： 一、创设问题情境，引入课题. 同学们，我们知道，向量的概念是从物理中抽象出来的，人们最初对向量的研究是从几何的的角度来进行的，但是随着问题的不断深入，我们发现用图形来研究向量有一些不便之处，那么，有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢？ 我国著名数学家华罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。”图形关系往往与某些数量关系密切联系在一起，数与形是互相依赖的，所以我们想到了用数来表示向量. 思路一：用一个数能否表示向量？（请学生回答） （不能，因为向量既有大小，又有方向）
思路二：用两个数能否表示向量？（引导学生思考） 在平面直角坐标系内，一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系，那么，向量是否也能找到与之对应的实数呢？ 让我们先来探讨这样一个问题： 探究一：如图，为互相垂直的单位向量，请用,i j 表示图中的向量,,,.a b c d 使1122=a e e λλ+ ，其中的1e ，2e 称为平面的一组基底. 强调：基底不唯一，只要不共线，就可作为基底，而一旦基底选定，任一向量在基底方向的分解形式就是唯一的. 二、理解概念，加深认识. 根据平面向量基本定理，我们知道，在选定基底的情况下，所给,,,.a b c d 四 个向量在基底方向的分解形式是唯一的，也就是说，这几个向量用基底、来表示的形式是唯一的，每个向量对应的这对实数对我们就将其称之为向量的坐标. 推广到平面内的任意向量，我们怎样来定义向量的坐标？（引导学生思考，请学生尝试给出定义） 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 a xi yj =+ …………○ 1 我们把),(y x 叫做向量的（直角）坐标，记作
高中数学人教A版必修四第二章 6平面向量数量积的坐标表示 Word练习题含答案
§6 平面向量数量积的坐标表示 , ) 1．问题导航 (1)向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗？ (2)向量有几种表示方法？由于表示方法的不同，计算数量积的方法有什么不同？ (3)由向量夹角余弦值的计算公式可知，两个向量的数量积和两个向量夹角的余弦值有什么关系？ 2．例题导读 P 96例1.通过本例学习，学会利用平面向量数量积的坐标表示计算两向量夹角的余弦值． 试一试：教材P 99练习T 1你会吗？ P 98例2，P 99例3.通过此二例学习，体会向量在解析几何中的应用，学会利用平面向量的数量积求曲线的方程． 试一试：教材P 100习题2－6B 组T 6你会吗？ P 99例4.通过本例学习，学会利用向量的夹角公式求两条直线的夹角． 试一试：教材P 100习题2－6A 组T 6你会吗？ 1．向量数量积的坐标表示 向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．简记为“对应相乘计算和”． 2．两个向量垂直的坐标表示 向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ?a ·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0. 给定斜率为k 的直线l ，则向量m ＝(1，k )与直线l 共线，把与直线l 共线的非零向量m 称为直线l 的方向向量． 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线x ＋2y －1＝0的方向向量为(1，2)．( ) (2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则向量a ，b 的夹角θ满足cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2 x 21＋y 21x 22＋y 2 2 .( ) (3)若A (1，0)，B (0，－1)，则|AB → |＝ 2.( ) 解析：(1)错误．直线x ＋2y －1＝0的方向向量为(1，－1 2 )．
最新25平面向量数量积的坐标表示汇总
25平面向量数量积的 坐标表示
平面向量数量积的坐标表示（1） 教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式。 ⑶能用所学知识解决有关综合问题。 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与ｂ，作?Skip Record If...?＝a，?Skip Record If...?＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫a与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cosθ， （０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0。 C 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积。 4．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1）e?a = a?e =|a|cosθ；2）a⊥b?a?b = 0 3）当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = -|a||b|。 特别的a?a = |a|2或?Skip Record If...? 4）cosθ =?Skip Record If...?；5）|a?b| ≤ |a||b|
5． 平面向量数量积的运算律 交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(?Skip Record If...?a )?b =?Skip Record If...?(a ?b ) = a ?(?Skip Record If...?b ) 分配律：(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课： ⒈平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，试用 ?Skip Record If...?和?Skip Record If...?的坐标表示?Skip Record If...?。 设?Skip Record If...?是?Skip Record If...?轴上的单位向量，?Skip Record If...?是?Skip Record If...?轴上的单位向量，那么 ?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 所以?Skip Record If...??Skip Record If...? 又?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 所以?Skip Record If...??Skip Record If...? 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 即?Skip Record If...??Skip Record If...? 2.平面内两点间的距离公式 （1）设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?或?Skip Record If...?。 （2）如果表示向量?Skip Record If...?的有向线段的起点和终点的坐标分别为?Skip Record If...?、?Skip Record If...?，那么?Skip Record If...?(平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定 1)
平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算 一、知识精讲 1．平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝xi ＋yj ，则把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标．记作a ＝(x ，y)，此式叫做向量的坐标表示． (2)在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)． 3．平面向量的坐标运算 向量的 加、减法 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 实数与向量的积 若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的 坐标 已知向量 AB 的起点 A (x 1，y 1)，终点 B (x 2，y 2)，则 AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的终点的坐标减去始点的坐标 4．两个向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ∥b ?a ＝λb ?x 1y 2－x 2y 1＝0. [小问题·大思维] 1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即a ＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b ＝(0，y )． 2．已知向量OM ＝(－1，－2)，M 点的坐标与OM 的坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同；OM ＝(－1，－2)，而M (－1，－2)．
平面向量内积的坐标运算
课 题：平面向量数量积的坐标表示 教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式 ⑶能用所学知识解决有关综合问题 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a 与b ，作＝a ，OB ＝b ，则∠A ＯB ＝θ（０≤θ≤ π）叫a 与b 的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是 θ，则数量|a ||b |c os θ叫a 与b 的数量积，记作a ?b ，即有a ?b = |a ||b |c os θ， （０≤θ≤π）.并规定0 与任何向量的数量积为0 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |c os θ的乘积 4．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量 1?e ?a = a ?e =|a |c os θ；2?a ⊥b ? a ?b = 0 3?当a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ?b = -|a ||b | 特别的a ?a = |a |2或a a a ?=||
4?c os θ =| |||b a b a ? ；5?|a ?b | ≤ |a ||b | 5． 平面向量数量积的运算律 交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(λa )?b =λ(a ?b ) = a ?(λb ) 分配律：(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课： ⒈平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a ? 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么 j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=?2211221221j y y j i y x j i y x i x x +?+?+= 又1=?i i ，1=?j j ，0=?=?i j j i 所以b a ?2121y y x x += 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即b a ?2121y y x x += 2.平面内两点间的距离公式 （1）设),(y x a = ，则222||y x a += 或 ||a = （2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-= (平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定 设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥ ?02121=+y y x x
苏教版数学高一《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》精品教案
§2.4平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ?b ，即有a ?b = |a ||b |cos θ， （０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 4．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1? e ?a = a ?e =|a |cos θ； 2? a ⊥b ? a ?b = 0 3? 当a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ?b = -|a ||b |. 特别的a ?a = |a |2或 a a a ?=|| 4? cos θ = | |||b a b a ? ；5?|a ? b | ≤ |a ||b | 5．平面向量数量积的运算律 交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(λa )?b =λ(a ?b ) = a ?(λb ) 分配律：(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课： ⒈ 平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ?. C
平面向量坐标运算
ξ10向量的数量积.平移 一．知识精讲 1． 数量积的概念 （1） 向量的夹角：如图，已知两个向量a 和b ，使=a,=b 。则)1800( ≤≤=∠θθAOB 叫做响亮a 与b 的夹角，记为
最新向量数量积的坐标运算
向量数量积的坐标运 算
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 《向量的数量积的坐标运算与度量公式》预习案 【学习目标】： （1）灵活运用向量数量积的坐标运算公式，夹角余弦的坐标表达式； （2）体会公式中体现的数形结合的思想 【学习重难点】 重点：向量数量积的坐标运算与度量公式 难点：灵活运用公式解决有关问题 【知识链接】 1.两向量数量积定义：?Skip Record If...? 2.向量数量积的性质： 【知识重现】 1. 已知?Skip Record If...?，?Skip Record If...?在?Skip Record If...?方向 上的正射影的数量是3，则?Skip Record If...? 2. 在?Skip Record If...? 中，?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? 【知识点梳理】 1.数量积的坐标表达式 ?Skip Record If...? 2、用向量的坐标表示两个向量垂直的条件： （2）与向量?Skip Record If...?垂直的向量可以写成 。
3、向量的长度、距离和夹角公式推导 向量的长度公式： ?Skip Record If...? 距离公式：?Skip Record If...? 两向量夹角余弦公式的坐标表达式： ?Skip Record If...? 自学课本P113--P114例1—例4，完成自学检测 【自学检测】 1.已知?Skip Record If...?则?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 2.已知?Skip Record If...?则?Skip Record If...? 3.判断下面各对向量是否垂直 （1）?Skip Record If...?（2）?Skip Record If...? 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5
向量的概念及表示优秀教案
向量的概念及表示 执教:张亮点评:孔凡海 【教学目标】 一、通过对实例的引入，了解向量概念产生的实际背景； 二、理解平面向量和向量相等的概念； 三、掌握向量的几何表示； 四、了解向量的长度、零向量、单位向量、平行向量等概念。 【重点难点】 重点：向量的概念和向量的几何表示； 难点：向量概念的理解 【点评】 知识技能，数学思考，问题解决，情感态度。目标明确有效，重点突出。为组织、引导学生开展有效学习活动奠定了方向。 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何的工具。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质。由于向量的几何性质，以及向量、点、序偶之间的对应关系，于是，可以把图形的基本结构转化为向量运算，把图形的基本性质转化为向量的运算律，这就是几何问题代数化处理。这样，几何中添线、补图等技巧让位于代数中的通法，也就是作为思辩数学的几何问题让位于作为算法数学的代数问题。 【教学过程】 一、设置情境 情景在如图所示的情景中，猫能否追上老鼠？ 合作探究看下面哪些量是与众不同的：
（1）线段的长度（2）物体的质量 （3）物体的体积（4）物体所受重力 （前三个都是数量，即只有大小，而物体所受重力是矢量，既有大小又有方向） 【点评】 根据学生的生活经验，通过问题、设疑来创设思维的情境，引起认识的需要；通过揭露矛盾来引发思考，激发学习的兴趣。通过学生活动，感知数学，进行意义建构。 物理中的力、速度、加速度以及几何中的有向线段等概念是向量概念的原型。由物理上的位移、速度等引入向量概念，贴近学生已有的经验，比较自然，也体现了“最近发展区”原理的运用。 二、探索研究 问题一情景中向我们呈现了一个新的量，那么我们怎样用数学的形式对这一量进行描述呢？ 1．向量的定义 既有大小又有方向的量叫向量。 师：你还能举出一些向量的例子吗？ 师：在这一概念中你认为关键词有哪些？ 板书向量的二要素大小和方向 师：我们怎样用符号来表示向量呢重力加速度是一个向量，那么在物理中我们是用什么表示它的呢？
向量的定义和计算
向量的定义和计算 设物体在常力的作用下沿直线从点移到点，用表示位移向量 ，力在位移方向上的分力大小为，力所作的功为： 抛开这一问题的物理背景，我们可以给出一般地向量的数量积定义： 设是两向量，且它们之间的夹角为，称数量为向量的数量积，并记作 ，即 注明：记号又可称之为“点乘”。 据此定义，上例所求的功实际上是力与位移的数量积，即 。 因 是在向量方向上的投影，若用来记这个投影，便有： 类似有： 这表明： 两向量的数量积等于其中一向量的模与另一向量在该向量方向上 的投影的乘积。 这一事实的力学意义是十分鲜明的。 F M 1M 2 r M M 12 F r θcos F F θ ??=cos r F w a b θ a b ?cos θ a b a b ? a b a b ?=?cos θ a b ? a ? b w F r w F r =? b cos θ b a prj b a a b a prj b a ?=? a b b prj a b ?=?
2、数量积的性质 (1)、 事实上，与的夹角， 故 (2)、设，为非零向量，若，那么与垂直( 记作 )；反 之，若，那么。 证明： (3)、(交换律) 事实上， (4)、(分配律) 事实上， (5)、(数乘向量的结合律) 证明： 设向量与之间的夹角为， 若 ，与同方向，故与 的夹角仍为 ，于是 若 ， 与反方向， 故与 的夹角仍为， 于是 a a a ?=2 a a θ=0 a a a a a a a ?=??=?=cos02 a b a b ?=0 a b a b ⊥ a b ⊥ a b ?=0 a b a b a b ?=???=≠≠0000cos (,) θ而?=∈?= ?⊥cos ([,])θθπθπ 002 又 a b a b b a ?=? a b a b b a b a ?=??=??=?cos cos θθ a b c a b a c ?+=?+?() a b c a prj b c a prj b prj c a a a ?+=?+=?+()()()=?+?=?+? a prj b a prj c a b a c a a ()()()λλλ a b a b a b ?=?=? a b θλ>0λ a a λ a b θ()cos ()cos λλθλθ a b a b a b ?=??=???=???=???=?()cos (cos )() λθλθ a b a b a b λ<0λ a a λ a b πθ-()cos()()(cos ) λλπθλθ a b a b a b ?=??-=???-
平面向量坐标运算及其数量积习题
平面向量坐标及数量积练习 1. 已知e 1→,e 2→是一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( ) A. e 1→, e 1→+e 2→ B. e 1→—2e 2→, e 2→—2e 1→ C. e 1→—2e 2→, 4e 2→—2e 1→ D. e 1→+e 2→, e 1→—e 2→ 2. 若a →,b →不共线且λa →+μb →=0→(λ , μ ∈ R), 则 ( ) A. a →=0→,b →=0→ B. λ=μ=0 C. λ=0, b →=0 D. a →=0→, μ=0 3. 如图1，ΔABC 中，M, N, P 顺次是AB 的四等分点, CB →=e 1→, CA →=e 2→, 则下列正确的是( ) A. CN →=12e 1→+12e 2→, CM →=14e 1→+34e 2→ B. AB →=e 1→—e 2→, CP →=14e 1→+34 e 2→ C. CP →=34e 1→+14e 2→, AM →=14(e 1→+e 2→) D. AM →=14 (e 1→—e 2→), AB →=e 1→+e 2→ 4. 若|a →|=1,|b →|=2,c →=a →+b →且c →⊥a →, 则向量a →与b →的夹角为 ( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 5. 已知单位向量i →与j →的夹角为60°,则2j →—i →与i →的关系为 ( ) A. 相等 B. 垂直 C. 平行 D. 共线 6 下列命题中真命题的个数为 ( ) ①|a →·b →|=|a →|·|b →|；②a →·b →=0 ? a →=0→或b →=0; ③ |λa →|=|λ|·|a →|; ④ λa →=0→ ? λ=0或a →=0→ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设a →,b →,c →是单位向量，且a →·b →=0，则(a →—c →)·(b →—c →)的最小值为 ( ) A. —2 B. 2—2 C. —1 D. 1— 2 8. 若点A 的坐标是(x 1, y 1)，向量AB →的坐标为(x 2, y 2)，则点B 的坐标为 ( ) A ．(x 1—x 2, y 1—y 2) B ．(x 2—x 1, y 2—y 1) C ．(x 1+x 2, y 1+y 2) D ．(x 2—x 1, y 1—y 2) 9. 已知M(3，—2), N(—5,—1)，且MP →=2MN →, 则MP → = ( ) A ．(—8，1) B ．(—4, 12) C ．（—16, 2） D ．(8, —1) 10 与a →=(3,4)垂直的单位向量是 ( ) A. (45, 35) B. (—45, —35) C. (45, —35)或(—45, 35) D. (45, 35)或(—45, —35) 11. A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以ΔABC 为 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 12.已知A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形ABCD 为 ( ) A.正方形 B.菱形 C.梯形 D. 矩形 13.已知a →=(—3,4),b →=(5,2),c →=(1,—1), 则(a →·b →)·c →等于 ( ) A. —14 B. —7 C. (7,—7) D. (—7,7) 14.已知A(—1,1),B(1,2),C(3, 12) , 则AB →·AC →等于 ( ) A. 52 B. 152 C. —52 D. —152 15已知|m →|=6 ,n →=(cos θ,sin θ), m →·n →=9, 则m →, n →的夹角为 ( ) A.150o B.120 o C.60 o D.30 o 16.若a →=(—2,1)与b →=(—1,—m 5 )互相垂直，则m 的值为 ( ) A. —6 B.8 C. —10 D. 10 17. 已知M(3, —2), N(—5,—1)，且MP → = 12 MN →，则P 点的坐标 ( ) A ．(—4, 12) B ．(—1, —32 ) C ．(—1, 32 ) D ．(8, —1) 18. 已知a → = (3, —1), b → = (—1, 2), c → = 2a → + b →, 则 c → = ( ) A ．（6，—2） B ．（5，0） C ．（—5，0） D ．（0，5） 19. 已知a →=(—6, y ), b →=(—2, 1), 且a →与b →共线，则x = ( ) A ．—6 B ．6 C ．3 D ．—3 20. 已知A(2,—1),B(3,1), 与AB →方向相反的向量a →是 ( ) A ．a →=(1, 12) B ．a →=(—6,—3) C ．a →=(—1,2) D ．a → =(—4,—8)
平面向量数量积的坐标表示模夹角
平面向量数量积的坐标表示模夹角 教学目标 1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点) 2．会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题．(难点) 3．分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点) [基础·初探] 教材整理平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 阅读教材P106“探究”以下至P107例6以上内容，完成下列问题．1．平面向量数量积的坐标表示： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 2.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a| 3．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB →＝ 4．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与b夹角为θ，则 cos θ＝ a·b |a|·|b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 . 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0度．()
(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．( ) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( ) 解：(1)×.因为当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 的夹角也可能为180°. (2)√.由向量数量积定义可知正确． (3)×.因为两向量的夹角有可能为180°. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× [小组合作型] 平面向量数量积的坐标运算 (1)(2016·安溪高一检测)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，x )， 且a·b ＝－1，则x 的值等于( ) A ．1 2 B ．－12 C ．32 D ．－32 (2)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，2)，则a·b ＝________，a ·(a －b )＝________. (3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b ·c ＝5，则向量c ＝________. 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解． 解：(1)因为a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，
高一数学优质课比赛 平面向量数量积的坐标表示教案
平面向量数量积的坐标表示 一、本教学设计主要思考的几个问题： 1、 教材的地位和作用是什么？ 2、 学生在学习中会遇到什么困难？ 3、 如何根据新课程理念，设计教学过程？ 4、 如何结合教学内容，指导学生学法、发挥评价作用、发展学生能力？ 二、教材分析： 1、 向量是近代数学中最重要的概念之一； 2、 向量的几何形式与代数形式的“双重身份”以及它的一套优良的运算系统使它成为“重要工具” 和“桥梁”； 3、 数量积的坐标表示为解决“形”中的长度、角度等问题带来了方便； 4、 有助于理解和掌握 数形结合的思想方法； 5、 为学习物理等其他学科解决实际问题作准备； 三、教学目标分析： ⒈知识目标：(1)掌握数量积和模的坐标； (2)掌握两向量垂直的充要条件(等价条件)、夹角公式． ⒉能力目标：(1)领悟数形结合的思想方法； (2)培养学生自主学习及提出、分析、解决问题的能力． ⒊情感目标：体验探索的乐趣认识世间事物的联系与转化． 四、教学的重点、难点分析： 重点：数量积坐标表示的推理过程． 难点：公式的建立与应用． 五、学生分析： 知识上：学习过向量加减法坐标运算和数量积定义性质运算等； 方法上：研究过向量加减法坐标运算的推理过程； 思维上：由经验型抽象思维逐渐过渡理论性严谨抽象思维； 能力上：主动迁移、主动重组整合的能力较弱. 六、教学方法和教学手段分析： 1、建构主义学习理论认为：学生的认知结构是通过同化和顺化而不断发展，学习不是对教师所授予的 知识被动接受，而是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动的建构过程。学生真正获得知识的消化，是把新的学习内容正确纳入已有的认知结构，使其成为整个认知结构的有机组成部分，所以在教学中，以向量为载体，按照“直观感知----操作确认-----思辩论证”的认识过程展开。通过创设良好的问题情境，不断引导学生观察、实验、思考、探索，通过自己的亲身实践，充分发挥学生学习的主动性，培养学生的自主、合作、探索能力。同时采用电脑课件的教学手段，加强直观性和启发性，提高课堂效益； 2、 运用“导学探究式” 教学方法； 3、 本节课的基调定为，自主探索、民主开放、合作交流、师生对话、分层评价； 4、多媒体信息技术教学手段整合教学过程. 七、学法指导： 1、根据本节课特点及学生的认知心理，把重点放在如何让学生“会学习”这一方面，学生在教师营 造的“可探索”环境里，积极参与、生动活泼地获取知识、善于观察类比、掌握规律、主动发现、积极探索质疑，从而培养学生观察能力、想象能力、探索思维能力，设计转化、分析问题及解决问题的能力； 2、 紧紧围绕数形结合这条主线； 认知主体
平面向量数量积的坐标表示教案
平面向量数量积的坐标表示（1课时） 编写：王大毛 审核：数学组 时间2011 寄语：困境只会让强者更强大 一.教学目标： 1.知识与技能 （1）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. （2）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. （3）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识. 2.过程与方法 通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理解析几何问题是一种有效手段，通过应用帮助学生掌握几个公式的等价形式，然后和同学一起总结方法，最后巩固强化. 3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一个崭新的认识；提高学生迁移知识的能力. 二.教学重、难点 重点: 平面向量数量积的坐标表示以及推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示. 难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题. 三.学法与教学用具 学法：(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】 [展示投影]引入： 请同学们回忆一下实数与向量的乘积的坐标表示以及两向量共线的坐标表示：【探究新知】 平面两向量数量积的坐标又如何表示呢？ 1. 推导坐标公式：设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2)，x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：i ?i = 1，j ?j = 1，i ?j = j ?i = 0. ∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j ∴a ?b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ?j + x 2y 1i ?j + y 1y 2j 2 = x 1x 2 + y 1y 2 从而获得公式：a ?b = x 1x 2 + y 1y 2 2.长度、角度、垂直的坐标表示 ①a = (x , y ) ? |a|2 = x 2 + y 2 ? |a | =2 2y x + ②若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则?→ ?AB =2 21221)()(y y x x -+- ③co s θ = | |||b a b a ??2 2 222 1 2 12121y x y x y y x x +++=
向量的概念及表示
课题：向量的概念及表示 教学目的： 1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示； 2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或出与某一已知向量相等的向量； 3.了解平行向量的概念. 教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示 教学难点：向量概念的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题 向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法 本章共分两大节。第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示等 本节从台湾与大陆直航问题中的距离和方向两个要素出发，以及金钱豹与小狗的追逐问题。抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念 在“向量及其表示”中，主要介绍有向线段，向量的定义，向量的长度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量 教学过程： 一、复习引入： 在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量. 例如：从台湾与大陆直航问题中的距离和方向，以及金钱豹与小狗的追逐问题，方向不同效果不同。抽象出向量的概念，向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念. 二、讲解新课： 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 注意：1?数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小 2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；
向量的概念与性质
一．向量的概念与性质 一．知识点 1．与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“＞”错了，而|a |＞|b |才有意义. ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件. ⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2 x 2y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）. ⑸零向量的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. 2．与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.(平行四边形法则：起点相同，三角形法则：首尾相连) ①当两个向量和不共线时，+的方向与、都不相同，且|+|＜||＋||； ②当两个向量和共线且同向时，+、、的方向都相同， 且=+||||||+； ③当向量a 和b 反向时，若|a |＞|b |，b a +与 a 方向相同 ，且|b a +|=|a |-|b |； 若||＜||时,+与 方向相同，且|＋|=||-||. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.（三角形法则：起点相同，减向量重点指向被减向量的终点） ⑶围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量.
向量的概念 人教版
向量的概念 教案一 课题：6.1向量的概念 教学目标： 1．理解向量的有关概念；掌握向量的表示方法. 2．通过对向量概念的引入，培养学生具体与抽象的数学思维方法. 3．通过本节课的教学，激发学生的学习兴趣和学习热情，促使学生学好本章. 教学重点：向量概念.对相等的向量、位置向量概念的理解. 教学难点：对相等的向量、位置向量概念的理解. 教学方法：讲授法 教学手段：计算机，投影仪 教学过程： 一、导引新课 在现实生活中，我们会遇到很多量.有一些量，在选定单位后，只用一个实数就可以确切地表示它们.如距离、面积等.还有一些量，如小船的位移： 小船由甲向北偏东45°，航行30 mile到达乙地，如果仅指出：小船“由甲地航行30 mile”，而不指明“向东偏北45°”航行，那么小船就不一定到达乙地，这就是说，位移是一个既有大小，又有方向的量，这种量就是我们本章所要学习的向量，利用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，这一章里我们学习向量的性质和运算. （板书课题6.1向量的概念） 二、讲授新知 1．有向线段 在几何学中，点表示位置，连结两点的线段的长度，表示两点的距离，射线表示方向. （教师一边用语言叙述一边在黑板上演示） 在线段的两个端点中，我们规定一个顺序：为始点，为终点（如图6-2），我们就说线段具有 射线的方向. （1）有向线段：具有方向的线段，叫有向线段.（2）有向线段表示方法：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以为始点，以为终点的有向线段记作，（注意顺序）（3）有向线段的长度（或模）.已知， 线段的长度叫做有向线段的长度（或模），的长度记作｜｜.（4）有向线段的三要素：始点、方向和长度.（5）两条有向线段方向相同或相反两条有向线段所在的直线平行（或重合）. 2．向量的概念 重新观察小船的位移，得向量的定义. （1）向量：具有大小和方向是量叫做向量.向量的两要素：大小、方向. （2）向量的表示：A.用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的