第一章 高等数学预备知识

第一章 高等数学预备知识

1.1集合

一般地说，具有某种指定性质的事物的总体称为一个集合，组成这个集合的事物称为这个集合的元素,例如：一个班级的人数是一个集合，一批零件是一个集合，等等.集合论是数学的基本理论.

若S 是一个集合，s 是其中的一个元素，而t 不在S 中，则称s 属于S ，记为S s ∈，t 不属于S ，记为S t ?.

⑴ 全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集），记作N .例如：0、1、2…；

⑵ 所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作+N 或+N .例如：1、2、3…； ⑶ 全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z .例如：…-2、-1、0、1、2、3…； ⑷ 全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q （有理数:小数部分有限或为循环，即可写作两整数数之比）；

⑸ 全体实数组成的集合叫做实数集，记作R （不是虚数的数都是实数）； 1.1.1集合的表示方法

⑴列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合， 例如：由元素n a a a ,,,21 组成的集合A ，可以表示为{}n a a a A 21,=；

⑵描述法：把集合中所有元素的共同特征表述出来，写在“｛｝”内表示集合, 例如：所有满足条件1≤x 的实数x 组成的集合B ，可以表示为}{1≤=x x B ； (3)图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部内容表示集合，(基本不用). 1.1.2集合间的基本关系

⑴子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，那么就说A 、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作B A ?； (2)真子集：如集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 是集合B 的真子集，记作

；

(3)相等：如集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，即集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作B A =；

⑷空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作φ.并规定，空集是任何集合的子集.

1.1.3集合的基本运算

⑴交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集,记作A ∩B.如图1.1，即：

}{B x A x x B A ∈∈=?且,；

⑵并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素共同组成的集合称为A 与B 的并集，记作A ∪B.如图1.2，

即：}{B x A x x B A ∈∈=?或,；

⑶差集：由A 中不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集，记作A-B.如图1.3，即：

}{B x A x x B A ?∈=-且,.

1.2区间和邻域 (1)区域

区间的名称 区间的满足的不等式 区间的记号 区间在数轴上的表示 闭区间 b x a ≤≤ []b a ,

开区间

b x a <<

),(b a

半开区间 b x a b x a <≤≤<或

(][)b a b a ,,或

以上所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：

[)+∞,a ：表示不小于a 的实数的全体，也可记为：+∞<≤x a ；

()b ,∞-：表示小于b 的实数的全体，也可记为：b x <<∞-； ()+∞∞-,：表示全体实数，也可记为：+∞<<∞-x ，

其中∞-和∞+，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号. (2)邻域

设a 与δ是两个实数，且0>δ，满足不等式δα<-x 的实数x 的全体称为点a 的

δ邻域，记为()δ,a U ，其中点a 称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径；若不等式为δα<-

. 为了说明函数在一侧附近的情况，还要用到左﹑右邻域的概念，开区间()a a ,δ-称为点a 的左δ邻域，()δ+a a ,称为a 的右δ邻域. 1.3一元函数

如果当变量x 在其变化范围内任意取定一个数值时，量y 按照一定的法则总有唯一的数值与它对应，则称y 是x 的函数.变量x 的变化范围叫做这个函数的定义域,通常x 叫做自变量，y 叫做函数值或因变量，变量y 的变化范围叫做这个函数的值域.为了表明y 是x 的函数，我们用记号()x f y =、()x g y =等等来表示,这里的字母“f ”、“g ”表示y 与x 之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的.

注：多元函数类似,例如()y x f z ,=. 1.3.1一元函数的简单性质 ⑴ 函数的有界性

如果对属于某一区间I 的所有x 值总有()M x f ≤成立，其中M 是一个与x 无关的常数，那么我们就称()x f 在区间I 为有界函数，否则便称无界函数.例如：函数x sin 在()+∞∞-,内是有界函数. ⑵ 函数的单调性

如果函数()x f 在区间),(b a 内随着x 增大而增大，即：对于),(b a 内任意两点2x 及

1x ，当21x x <时，有 ()()21x f x f <，则称函数()x f 在区间),(b a 内是单调增加的.如果函数()x f 在区间),(b a 内随着x 增大而减小，即：对于),(b a 内任意两点1x 及

2x ，当21x x <时，有()()21x f x f >，则称函数()x f 在区间),(b a 内是单调减小的. ⑶ 函数的奇偶性

如果函数()x f 对于定义域内的任意x 都满足()()x f x f -=，则()x f 叫做偶函数；如果函数()x f 对于定义域内的任意x 都满足()()x f x f --=，则()x f 叫做奇函数. 注：偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称. ⑷ 函数的周期性

对于函数()x f ，若存在一个不为零的数l ，使得关系式()()x l f x f +=对于定义域内任何x 值都成立，则()x f 叫做周期函数，l 是()x f 的周期.

注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期.例如：函数x x cos ,sin 是以π2为周期的周期函数；函数x tan 是以π为周期的周期函数. 1.3.2反函数 (1)反函数的定义

如果()x f y =)(A x ∈的值域是C ，根据这种函数中x ,y 的关系，用y 把x 表示出，得到()y g x =)(C y ∈，因此我们把()x g y =)(C x ∈等类似形式称作函数

()x f y =)(A x ∈的反函数(单值函数).

例如：63-=x y 的反函数为23

1

+=x y 或231+=v u 等类似形式.

(2)反函数的性质

①互为反函数的两个函数的图象关于直线x y =对称且在相应区间上单调一致. ②反函数存在的条件：x 和y 一一对应. 例如：2x y =没有反函数. 1.3.3复合函数

复合函数的定义：若y 是x 的函数：()x f y =，而x 又是t 的函数：()t x ?=，且()t ?的函数值的全部或部分在()x f 的定义域内，那么，y 通过x 的联系也是t 的函数，我们称后一个函数是由函数()x f y =及()t x ?=复合而成的函数，简称复合函数，

记作())(t f y ?=，其中x 叫做中间变量.

注：并不是任意两个函数就能复合.例如：函数x y arcsin =与函数22t x +=会不可以复合成一个函数的.因为对于22t x +=的定义域()+∞∞-,中的任何t 值所对应的x 值都大于或等于2，使x y arcsin =都没有定义. 1.3.4显函数与隐函数

解析式中明显地用一个或多个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数.例如：3x x y +=.

各个变量都混在一起方程称为隐函数.例如：0=+xy x .

隐函数不一定是“函数”，即隐函数不一定可以写成显函数形式.例如：

1=+xy e y 、()10 0sin <<=--εεy x y .

注：多元函数类似,例如：2x xy z +=为显函数. 1.3.5初等函数 (1)基本初等函数

最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数.下面用表格来把它们总结一下： 函数名称 函数的记号

函数的图形

函数的性质

指数函

数

()10≠>=a a a y x ，

1)不论x 为何值,y 总为正

数； 2)当0=x 时,1=y .

对

数函数

()1

log≠

>

=a

a

x

y

a

，

1)其图形总位于y轴右侧,

并过(1,0)点；

2)当1

>

a时,在区间(0,1)的

值为负，在区间()∞

+

，

1的值

为正；在定义域内单调增.

幂

函数

a

x

y=，a为任意实数

令n

m

a/

=

1)当m为偶数n为奇数时,y

是偶函数；

2)当m,n都是奇数时,y是

奇函数；

3)当m奇n偶时,y在()0

-，

∞

无意义.

三角函数正弦函数

R

x

x

y∈

=,

sin

余弦函数

R

x

x

y∈

=,

cos

1)正余弦函数都是以2π为

周期的周期函数；

2)正弦函数是奇函数，余弦

函数是偶函数.

正切函数x

y tan

=，

?

?

?

?

?

?

∈

?

?

?

?

?

+

-

∈Z

n

n

R

xπ

2

1

正切函数是奇函数.

反

三角函数

反正弦函x y arcsin =，

[]11，-∈x

由于此函数为多值函数,因

此我们此函数值限制在[]2,2-ππ上,并称其为反正

弦函数的主值.

反余弦函数

x y arccos =，[]11，-∈x

由于此函数为多值函数,因此我们此函数值限制在[]π,0上,并称其为反正弦函数的主值.

反正切函数

x y arctan =, ()+∞∞-∈,x

由于此函数为多值函数,因此我们此函数值限制在

()

2

,2-ππ上,并称其为反正切函数的主值.

(2)初等函数

由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.例如：)5ln(cos 32x x x y -+=是初等函数. 1.4数列

数列是以正整数集或它的有限子集{

}n ，， 3,2,1为定义域的函数，是一列有序的数.数列中的每一个数都叫做这个数列的项.排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项，通常用n a 表示.

数列的一般形式可以写成 ，

，，321a a a ，简记为{}n a . 1.4.1数列的分类

（1）项数有限的数列为“有穷数列”；

2

1

-x

（2）项数无限的数列为“无穷数列”； （3）数列的各项都是正数的为“正项数列”；

（4）从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做“递增数列”.例如：1，2，3，4，5，6，7；

（5）从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做“递减数列”.例如：8，7，6，5，4，3，2，1；

（6）从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做“摆动数列”.例如：5,7,6,2,8,12；

（7）一个数列每一项的绝对值都小于某个正数这个数列是“有界数列”，反之为“无界数列”；

（8）各项呈周期性变化的数列叫做“周期数列”.例如：三角函数； （9）各项相等的数列叫做“常数列”.例如：2，2，2，2，2. 1.4.2数列的两种特殊表示 (1)具有通项公式的数列

如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子()n f a n =来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，如：()2

12+-=n a n n .

注：数列的通项式不唯一且不是每个数列都有通项式. (2)具有递推公式的数列

如果数列{}n a 的第n 项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.例如：n

n a a n n ++

=+211

. 注：①数列的递推公式不唯一且不是每个数列都有递推公式； ②有递推公式不一定有通项公式. 1.4.3递推公式求通项式 (1))(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解. (2)n n a n f a )(1=+

解法：把原递推公式转化为)(1

n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解. (3)q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，0)1(≠-p pq ）

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p

q t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解.

(4) n

n n q pa a +=+1(其中p ，q 均为常数，0)1)(1(≠--q p pq ),或

1n n n a pa rq +=+,(其中p ，q, r 均为常数） 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1

+n q ，得q q a q p q

a n n n n 1

11+?=++引入辅

助数列{}n b （其中n n n q a b =

），得q

b q p b n

n 1

1+=+再用待定系数法解决. (5)递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++

其中s ，t 满足?

??-==+q st p

t s

解法二(特征根法)：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。若21,x x 是特征方程的

两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1

211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1

211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为1

1)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1

1)(-+=n n x Bn A a ，得到

关于A 、B 的方程组）.

(6)递推公式为数列{}n a 的前n 项n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)

解法：这种类型一般利用???≥???????-=????????????????=-)2()1(11n S S n S a n n

n 与

)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去

n a 进行求解.

(7) b an pa a n n ++=+1（01，

≠p ,0≠a ） 解法1：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为

{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列.

注：若 c bn an pa a n n +++=+21（01，≠p ,0≠a ），则可设z yn xn a b n n +++=2

.

解法2：根据b an pa a n n ++=+1和()b n a pa a n n +-+=11-，两式相减得：

()a a a p a a n n n n +-=--+11，令n n n a a b -=+1，得a pb b n n +=1-，再根据待定系数

法和逐差相加法求出n a .

(8)r

n n pa a =+1)0,0(>>n a p

解法：等式两边取对数后转化为q rb b n n +=+1(其中n c n a b log =，p q c log =)，再利用待定系数法求解.

(9))

()()(1n h a n g a n f a n n

n +=

+

解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pb b n n +=+1（其中令

n n a b 1=

、()()n f n h p =、()()

n f n g q =）. (10)h

ra q

pa a n n n ++=

+1

解法：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h

ra q pa a n n n ++=

+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h

a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程

h rx q

px x ++=

,当特征方程有且仅有一根0x 时,则01n a x ????-??

是等差数列;当特征方程

有两个相异的根1x 、2x 时，则12n n a x a x ??

-??-??

是等比数列.

(11)q pn a a n n +=++1或n

n n pq a a =?+1

解法：这种类型一般可转化为{}12-n a 与{}n a 2等差或等比数列求解. (12)数学归纳法

解法：通过计算出前面几项，发现规律写出通项式，再用适当的方法证明通项式符合题意. 1.5坐标系

为了说明质点的位置、运动的快慢、方向等，必须选取其坐标系.在参照系中，为确定空间一点的位置，按规定方法选取的有次序的一组数据，这就叫做“坐标”.坐标系的种类很多，常用的坐标系有：笛卡尔直角坐标系、平面极坐标系、柱面坐标系（或称柱坐标系）和球极坐标系(或称球坐标系)等. 1.5.1笛卡尔直角坐标系 (1)平面直角坐标系

如图1.4，平面直角坐标系（Plane Rectangular Coordinate System ）是指在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方

向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x 轴，垂直的数轴叫做y 轴，x 轴y 轴统称为坐标轴，它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点.对于平面内任意一点P ，过点P 分别向x 、y 轴作垂线，交于x 轴、y 轴上的对应点a ,b 分

别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对()b a ,叫做点P 的坐标，记作()b a P ,. （2）空间直角坐标系

如图1.5,空间直角坐标系（Space rectangular coordinate system ）是指过空间定点O 作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点，具有相同的单位长度,这三条数轴分别称为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z

轴（竖轴）,统称为坐标轴.各轴之间的顺序要求符合右手法则,即以右手握住z 轴,让右手的四指从X 轴的正向以90°的直角转向y 轴的正向,这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向.这样的三个坐标轴构成的坐标系称为右手空间直角坐标系.与之相对

应的是左手空间直角坐标系.一般在数学中更常用右手空间

直角坐标

系，在其他学科方面因应用方便而异。对于空间内任意一点M ,过点M 分别作垂直并相交于x 、y 、z 轴的直线，交于x 、y 、z 轴上的对应点a ,b ，c 分别叫做点P 的横坐标、纵坐标和竖坐标，有序实数组()c b a ,,叫做点M 的坐标，记作

()c b a M ,,.

1.5.2平面极坐标系

如图1.6，在平面内取一个定点O 叫极点，引一条水平射线Ox 叫做极轴，以O 为圆心所做的任意的圆（一般不显示）的半径叫做极径.平面上任一点p 的位置就可以用

所处圆的半径P r (极径)以及按逆时针从极轴Ox 到OP 的角度P θ(极角)来确定，有序数对()P P r θ,就称为p 点的极坐标，记为()P P r P θ,.

平面极坐标系与平面直角坐标系的关系为：θcos r x =，θsin r y =. 1.5.3柱面坐标系

如图1.7，柱面坐标系就是平面极坐标系加上垂直于极坐标平面的z 轴.设M 为空间内一点，并设点M 在极坐标面上的投影P 的

极坐标为()M M r θ,（从z 轴的正方向来看）；过点M 作垂直并相交于z 轴的直线，交于z 轴上的对应点

M z ，M z 叫作点M 的柱面坐标.有序数对

()M M M z r ,,θ就称为点M 的柱面坐标，记为()M M M z r M ,,θ.

柱面坐标系与空间直角坐标系的关系为：θcos r x =，θsin r y =，z z =. 1.5.4球极坐标系

如图1.8，球极坐标系是指过空间定点O 作一条射线Ox ，再做一条过定点O 并

垂直于射线Ox 所在的某一平面∏的射线Oz ，以O 为圆心所做的任意球面（一般不显示）的半径叫做极径.设M 为空间内一点，OM 的长度为M r ,M zOM ?=∠（π?≤≤M 0）,并设点M 在平面∏上的垂直投影为点P ，从z 轴的正方向来看，按逆时针从极轴Ox 到

OP 的角度为M θ.有序数对()M M M r θ?,,就称为点M 的球极坐标，记为

()M M M r M θ?,,.

球极坐标系与空间直角坐标系的关系为：θ?cos sin r x =，θ?sin sin r y =，

?cos r z =.

1.6三种重要的常数圆周率π、自然常数e 和欧拉常数γ

(1)圆周率π

先人在计算圆的周长时，发现圆的周长与直径之比为一定值.著名科学家刘徽利用割圆法开启了寻求此未知数的重要开端.

如图1.9，设圆的圆心为O ,半径为1；正多边形的中心为O ，半径为1，边数为n 23?（ 3.2,1=n ）的正多边形的边长为n a . 通过观察得知：

()

2

2

2

2

22222112???

???????? ??

--+??? ??=-+=+=AB AB OD OC AD CD AD AC , 则有递推公式：21-42n n a a --=，

则有边数为123+?n 的正多边形的周长为21-n 4223n n a PC --?=， 由于当正多边形的边数+∞→?n 23时，接近于半径为1的圆， 所以有： 1415926535.32

==

n

PC π（+∞→n ）. (2)自然常数e

通俗的说e 就是增长的极限. 以银行复利为一个简单的例子：

设本金1，银行一年复利一次，利率为r = 100%，则得到一年后的本息之和为：

()21111

=+?=S .

现在把问题复杂化，银行一年复利2次，年化利率r 仍为100%，现在一年后的本息之和变成了：

25.221112

=??

?

??+?=S .

若银行一年复利4次，其他条件不变，则：

44140625.241114

=??

?

??+?=S .

若银行一年复利12次，其他条件不变，则：

61303529.21211112

=??

? ??

+?=S .

若银行一年复利365次，其他条件不变，则：

71456748.2365111365

≈?

?

? ??

+?=S .

那么，如果一年的复利次数越来越大，收益的增加在逐渐变缓并接近常数

590457182818284.211lim =???

??++∞

→n

n n ，把此数称为自然常数e . 注：具体证明见2.3节. （3）欧拉常数γ

欧拉常数是一个主要应用于数论的数学常数.它的定义是调和级数与自然对数的

差值，记为：??

?

??-++++=∞→n n n ln 131211lim γ. 设n n

S n ln 1

31211-++++

= , 由于0>x 时，()1ln +>x x ，

所以()()???

??+=-+=-??? ??+++??? ??+++>n n n n n n S n 1ln ln 1ln ln 11ln 211ln 11ln ， 则01ln lim lim =???

??+>∞

→∞→n n S n n n ，即n S 有下界. ()??

? ??++=+-++=

-+n n n n n S S n n 11ln -111ln ln 111. 由于当0>x 时，??? ??++x x 11ln -11为增函数，且01-1111ln -11lim <+=???

??

???? ??++∞→n n n n n ， 所以n S 单调的递减,

根据单调有界数列极限定理，可知n S 必有极限，

即??

?

??-++++∞→n n n ln 131211lim 存在.

则有 5772156649.0ln 131211lim =??

?

??-++++∞→n n n . 1.7常用公式的证明

(1)() sin cos cos sin sin b a b a b a ?±?=±，()b a b a b a sin sin cos cos cos ?=±,

()b

a b a b a tan tan 1tan tan tan ?±=

± .

证明：如图1.4，在直角坐标系xOy 中作单位圆C ，并

作出角a ，b ，与b -，使角a 的开边为Ox 交圆C 于点1P ，终边交圆C 于点2P ；角b 的始边为2OP ，终边交圆C 于点3P ；角b -的始边为1OP ，终边交圆C 于点4P 。则

(

)

011，P ，()a a P sin cos 2，， ()()()b a b a P ++sin cos 3，，()()()b b P --sin cos 4，

. 由4231P P P P =及两点间距离公式得：

()[]()()[]()[]2222sin sin cos cos sin 1cos a b a b b a b a --+--=++-+,

展开整理得

()b a b a b a sin sin -cos cos cos ??=+，则：

()()()()()b a cob a b a b a b a b a sin sin cos -sin sin -cos cos -cos -cos ?+?=?-?=+= 根据诱导公式：

ααπsin 2cos =??

?

??-，则：()()b a b a b a b a sin cos cos sin 2cos sin ?+?=??

?

???+-=+π，则：

()()()b a b a b a b a b a sin cos cos sin sin cos cos sin -sin ?-?=-?+-?= ()()b

a b

a b a b a b a b a b a b a b a tan tan 1tan tan sin sin cos cos sin cos cos sin cos sin )tan(?±=???±?=±±=

±

(2)余弦定理b BC AB BC AB AC cos 2222??-+=。

证明：平面几何证法：在任意ABC ?中做BC AD ⊥，则

b AB BD cos ?=，b AB AD sin ?=，

??? ?

?

≤

≥>-?=-=2 cos ππc BC b AB BC BD CD

根据勾股定理可得：

.

cos cos cos sin 22222222

22b BC AB BC AB b AB b BC AB BC b AB CD AD AC ??-+=?+??-+?=+= (3)欧拉公式x i x e ix sin cos ±=±(e 是自然对数的底，i 是虚数单位)

证明：由麦克劳林公式（见4.5节泰勒公式）得 ++++

+=!

4!3!214

32x x x x e x

； !6-421cos 642x x x x ！！+-=； !

7!5!3sin 7

53x x x x x -+-=.

在x e 的展开式中把x 换成ix ±，得：

x i x x x x i x x x ix x ix e ix

sin cos !5!3!4!21!4!3!215342432±=???? ??+-±???? ?

?+-=+-±=± .