矩阵论华中科技大学课后习题答案.docx

习题一

1.判断下列集合对指定的运算是否构成 R 上的线性空间

（1）

V 1

n

{ A (a ij ) n n |

a

ii

0} ，对矩阵加法和数乘运算；

i 1

（2） V 2 { A | A R n n , A T

A} ，对矩阵加法和数乘运算；

（3） V 3 R 3 ；对 R 3 中向量加法和如下定义的数乘向量： R 3 , k R, k0 ；

（4）

V 4

{ f ( x) | f ( x)

0} ，通常的函数加法与数乘运算。

解：

（1）、（ 2）为 R 上线性空间 （3）不是，由线性空间定义，对 0 有 1 = ，而题（ 3）中 1

（4）不是，若 k<0，则 kf (x)

0 ，数乘不满足封闭性。

2.求线性空间 V { A R n n | A T

A} 的维数和一组基。

解： 一组基

1

0 1 0

1

1

1

1 0

1

.

.

. .

.

.

.

.

.

. . . .

. . .

.

.

1

1

0 dimW=n(n+1)/2

3.如果 U 1 和 U 2 都是线性空间 V 的子空间，若

dimU 1=dimU 2 ，而且 U 1

U 2 ，证明： U 1=U 2。

证明 ：因为 dimU 1=dimU 2 ，故设

1 ,

2 ,

, r 为空间 U 1 的一组基，

1 , 2

,,

r

为空间 U 2 的一组基

U 2 ，有

1

2

r

X

而

1

2

r

12

r

C ， C 为过渡矩阵，且可逆

于是

1 2 r

X

1 2

r C

1

X

12

r

YU

1

由此，得

U 2U 1

又由题设U1U 2，证得U1 =U2。

111

4.设A213，讨论向量(2,3,4) T是否在R(A)中。

315

111|2111|2

解：构造增广矩阵 A |213|3011|1

315|4000|0

矩阵 A 与其增广矩阵秩相同，向量可由矩阵 A 的 3 个列向量线性表示，在列空间 R(A)中。

5.讨论线性空间P4[x] 中向量32，32，

P x x x 1P22x x 3x

1

P34x3x25x 2 的线性相关性。

102

解： P1 P2 P3(1 x x2 x3 )135 111 124

而

102102

135011 11100，该矩阵秩为 2

124000

所以向量组 P1,P2,P3线性相关。

6.设A R m n，证明dimR(A)+dimN(A)=n。

证明： R( A)L{ A1 , A2 ,, A n } ， N ( A){ X | AX0, X R n}

假定 dimR(A)=r，且设A1, A2,, A r为 R(A)的一组基

则存在 k1i , k2i , , k ri(i r1,,n)，其中 k1i , k2i , , k ri不全为零

使 k1i A1k

2i

A

2

k

ri

A

r A i0 (i r 1, , n)

显然

k

1 r,

1k

r 1 ,

2

k n 1 ,

k

2 r,

1k

r2 ,

2

k

n 2 ,

k

r , r

1k

r r ,

2

k

r n ,N ( A)

100 01

0 001

上述 n-r 个向量线性无关，而k1 , k2 ,, k s 1 ,1,0,

T

0 ，s

A1 , A2 ,, A r线性无关矛盾，故

dimN(A)=n-r

所以

dimR(A)+dim N(A)=n

1130

7.设A2121，求矩阵 A 的列空间 R(A)和零空间 N(A)。

1152

解：通过矩阵的行初等变换将矩阵 A 化为行阶梯形

11301130

A21210141

11520000

矩阵 A 的秩为 2，从 A 中选取 1、 2 列（线性无关）作为R(A)的基，于是

R( A ) L 12T T

1 , 1 11

由 AX0 ，X( x1 , x2 , x3 , x4 )T，rank(A)=2，有

x1x2 3 x3

x2 4 x3 x4

分别取 x31, x40 和 x30, x4 1 ，求得齐次方程AX 0 解空间的一组基

141

T

, 110 1

T 0

所以 A 的零空间为

T T N ( A ) L 1 4 1 0 , 1 1 01

8.在R2 2中，已知两组基

10010000

E1

0， E2， E3

10

， E4

1

0000 01101111

G1

1， G2， G3

01

， G4

1111

求基 {E i}到基 {G i }的过渡矩阵，并求矩阵

0 1

2 3

在基 {G i}下的坐标X。

解： G1G2G3G4E1 E2E3 E4C1C2C3 C4 , C i R4由此，得过渡矩阵

0111

C 1011 1101 1110

再由

010*******

2 3x

1 1 1

x

2 1 1

x

3 0 1

x

4 1 0

解得

X012T 3

9.判别下列集合是否构成子空间。

（1）W1{( x, y, z) | x2y 2z21, x, y, z R} ；（2）W2{ A | A2I , A R n n } ；

（3）R3中，W3

t

2

{( x1 , x2, x3 ) | ( x1x2x3 } d0} ；

m n

（4）

W4{ A (a ij )m n |

a

ij0}

。

i 1j1

解：（ 1）不是R3子空间，对加法及数乘运算不封闭。如取k=2，(1 0 0)T，

k

T

，而

x

2

y

2

z

2

4 1

，

k W1

。( 2 0 0 )

（2）不是子空间，因为 W2中没有零元。（3）、（ 4）为子空间。

10. 设

(1,2,1,0)T

，

( T ， 1 (2, 1,0,1)T ， 2 (1, 1,3,7)T

，

1

2

1,1,1,1)

W 1 span{

1 ,

2} ， W 2 span{

1 ,

2} ，求 W 1

W 2 和 W 1 W 2 。

解： 设

W 1 W 2 ，则

x 1 1 x 2

且

x

3 1

x

4 2

2

于是，有

x 1

1

x 2

2 x

3 1x

4

2 1 1 2 1 x 1 0 2 1 1

1

x 2

即

1 0

3

x 3

1

1

1

7

x 4

而

1

1 2 1 1 1 2 1 A

2 1 1

1

0 1 1 7

1 1 0 3

0 0 1 3

1

1 7

取 x 4 1，得

x 1

1 , x 2

4 ,x 3

3 x,4

1

所以

W 1 W 2

L 1 1

4 2

L 3 12

由于 rank(A)=3

则W 1

W 2 L ,1

,

21

11.在矩阵空间

R 2 2 中，子空间

V 1 { A

x 1 x 2 | x 1 x 2 x 3 x 4

0} ， V 2 L{ B 1 , B 2 } ，其中 B 1

1 0 x 3 x 4

2 ，

3

B 2

0 2 ，求

1

（1） V 1 的基和维数；

（2） V 1 V 2 和 V 1 V 2 的维数。

解：（ 1） V 1 中， A

x 1 x 2 x 2 x 3 x 4

x 2 x 2

1 1 x 3

1 0 x 4

1 0 x 3

x 4 x 3 x 4

0 0

1 0

0 1

令

A 1

1 1 , A

2 1 0 , A

3 1 0 ，可验证 A 1 ， A 2，A 3 线性无关，它们构成空间

0 0 1 0 0 1

V 1 的一组基，空间 V1 的维数 dimV 1=3。

（2） V 2

L{ B 1 , B 2} 中， B 1 与 B 2 线性无关，它们是 V 2 的一组基，故 dimV 2=2，而

V 1 +V 2 = L{A 1,A 2 ,A 3} + L{B 1,B 2 } = L{ A 1,A 2,A 3,B 1,B 2 }

在 R 2 2 的标准基 E 11， E 12， E 21，E 22 下， A 1,A 2 ,A 3,B 1,B 2 对应的坐标 X 1,X 2,X 3,X 4,X 5 排成矩阵

1 1 1 1 0 1 1 1 1 0

X 1 X 2

X 3 X 4

X 5

1 0

0 0 2 0 1 1 1 2

0 1

0 2 0 0 0 1 3 2

1 3

1

1

于是 dim(V 1+V 2 )=4，由维数定理

d i mV(

V )

d iVm

dVi m

dVi m V(

) 3

2 4

1

1

2

1

2

1

2

12.设 W 1 和 W 2 为 V n

( x 1 , x 2 , , x n )T |

n

的子空间， W 1 {

x i

0} ，

i 1

W 2 {( x 1 , x 2 ,

, x n )T | x 1 x 2 x n } ，证明 V n W 1 W 2 。

证明： 对 W 1 ，由 x 1

x 2

x n 0 ，解得

T

T

T

X 1 k 1 1 1 0 0

0 k 2

1 0 1 0

0 n k 1

1 0 0 0

1

显然 W 1 的维数 dimW 1=n-1，而向量组

1 1 0 0

T

T

0 n , 1

T

1

1

0 ,2

1 0 1 0

1 0 0 0

为 W 1 的一组基。

对 W 2，由 x 1

x 2 x n ，解得

X 2 k 1

1 1 1

T

1

W 2 的基为 1 1 1 1

T

1 ， dimW 2=1

于是

W 1 W 2

L

1 , 2

,,

n 1

L L 1 , 2 , , n 1 ,

这里

1 1 1 1 1

0 0 1

d e t (1 ,2 , n , 1 , 0)

1 0 1 0

1

1

所 以

1 ,

2 ,

, n

1 ,

为 W 1

2 的 基 ， 则

dim (W 1

2

)=n ， 由 维 数 定 理 可 知

+W

+W dim( W 1 W 2 ) 0 ，故有

V n W 1 W 2

13. R n

中， (

1 ,

2 ,

, n )T ，

( 1 ,

2 , , n )T

，判别下面定义的实数

( , ) 是否

为内积。

（1） (

n

, )

i

i

；

i 1

n

（2） (

, )

i

i i

；

i 1

（3） ( , )

T

A

，其中 A 为正定矩阵。

解：（ 1）不是 R n

a 1 a 2 a n T

a 1 a 2

T

上的内积。设 1

， 2

a n

b 1

b 2

b n

T

于是

n

n

n

n

1

2,

(a i a i )b i

a i

b i

a i

b i

a i

b i

ab ii

( 1 ,

2, )

i 1

i

1

i 1

i 1

内积的线性性不满足。

（2）与（ 3）是 R n 上的内积。可验证对称性、线性性及正定性都满足。

13. 设 {

1, 2 ,

, 5 } 是 V 5

的 标 准 正 交 基 ， 又 1

1

5

， 213

4

，

3

2

1

2

3 ，求 W

L{ 1 , 2 , 3 } 的标准正交基。

解： W 的标准正交基

1 T

1 T

1

T

1

2

1 0 0 0 1 ,

1 02 2

1 ,

1 1 1 0

1 0

2

14.在欧氏空间 R4中，求子空间W L{(1,1,1,1)T ,(1, 1, 1,1)T } 的正交补子空间W⊥。

解：设 Xx1x2x3

T

W x4

令1(1 1 1 1)T , 2(1 1 1 1)T 由

X1,

X2

得

x1x2x3x40

x1x2x3x40解得

11

X 0

,

0 10 01

所以

T T

W L 1 0 1 0 , 1 0 01

15.判断下列变换哪些是线性变换

（1） R2中，T (x1, x2)T( x11, x22 )T；

（2） R3中，T (x1, x2, x3)T( x1x2 , x1x2 ,2 x3 )T；

（3）R n n中， A 为给定 n 阶方阵，X R n n，T ( X )AX A ；

（4）R22中， T ( A) A ，A为A的伴随矩阵。

解：（ 1）不是，该变换为非线性变换

设

T T

1

x1 x2，2y1 y2

则

T(

T 2

T

2T2T

1 2) T(x1 y1 x

2 y2)x1 y1 1 (x2 y2)x1 1 x2y1 1 y2T( 1) T( 2)

（2）是线性变换（3）不是，因有T 00（4）是线性变换

A

a 1

a 2 , B

b 1

b

2

R 2 2

a 3 a 4

b 3 b 4

而

a b 1

a

2

b

2

a

4

b

4

a b

2

a a

2

b

b

2

1

2

4

4

B *

T ( A) T (B )

T ( A B ) T

b 3 a 4 b 4

a 3

b 3

a 1

b 1

a 3

a 1

b 3

b 1 A *

a 3

T (kA ) T ka 1

ka 2 ka 4 ka 2 k a 4

a 2 kA * kT ( A)

ka 3 ka 4

ka 3

ka 1

a 3

a 1

16.设 R 3 中，线性变换 T 为： T

i

i ， i=1,2,3 ，其中 1

(1,0, 1)T ， 2

(2,1,1)T ，

T

， 1

T

，

( 1,1,0)T

， 3 T

，求

3 (1,1,1) (0,1,1) 2

(1,2,1)

（ 1） T 在基 { 1 , 2 , 3 } 下的矩阵；

（ 2） T 在标准正交基下的矩阵。

解：（ 1）由 T 1

2 3

1 2 3

A 及 T 1

2 3

1

23

得

1

2

3 A

1 2 3

于是

1 2 1 1

1 1 0 1 1

0 A

1

1 1

1 1

2 1

3 2 1

2 3 1

2

3

1 1 1

1

0 1

2

4

4

（2） 3

e

1

T ,e

0 1 0 T

0 T

中标准基正交基

0 0

,e

0 1

R

1

2

3

由

T e 1 e 2 e 3

e 1 e 2 e 3 A

T

i

i

, i

1,2,3

得

T 1 T e 1

e 2 e 3 1 0 1

T

e 1 e 2 e 3 A 1

1

T 2

T e 1

e 2

e 3

T e 1 e 2 e 3 A 2

2 1 1

2

T 3

T e 1

e 2

e 3

T

e 1 e 2

e 3 A 3

1 1 1

3

因为

e 1

e 2 e 3

I 3

故有

A

1 2 3 1 2 3

于是

A

1

1

2

3

1

2

3

17.设线性变换 R 4

R 3 ，有

0 1 1 1 2 1

2 5 2 1 1

1 2 0 1 1 1 5 2

1 0

1

1

1 1

1

4

2

T ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )T ( x 1 x 2 x 3

x 4 , x 1 2 x 2 x 4 , x 1 x 2 3x 3 x 4 )T ，求 N(T)和 R(T)。 解：由 N T { X | T ( X )

0, X

(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )T } ，得下述齐次方程组

x 1 x 2 x 3 x 4

0 x 1

2x 2 x 4

x 1 x 2 3x 3 x

4

解得 X k

2 3 1

T

4

所以

N T {

T

X = k 2 3 1 4 }

由 R T

{Y | Y T ( X ), X

( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )T } ，得

x 1 x 2 x 3 x 4 1

1 1 1

Y

x 2 x x

x 1

x 2

x 0

x 1

1

2

4

1

2

3

4

x 1 x 2 3 x 3

x 4 1

1

3

1

1

1 1 1

故有 R(T )

k 1 1

k 2 2

k 3 0

k 4

1

1 1 3 1

1

1

1 或 R(T )

k 1 1 k 2 2

k 3 0

1

1

3

18.在欧氏空间 R n

中，设有两组基

1 ,

2 ,

, n 与 1 , 2 , ,

n ，满足关系式

( 1 , 2 , , n ) ( 1, 2 ,

, n )P ， P R n n

证明：（ 1）若

1 ,

2 ,

, n 与

1 ,

2 ,

, n 都是标准正交基，则

P 是正交阵；

（ 2）若 1 , 2 , , n 是标准正交组， P 是正交阵，则

1, 2 ,

,

n 是标准正交组。

证明：（ 1）将矩阵 P 按列分块，有

( 1 , 2 ,

,n

) (1

,2 , n , p )1p

2, p,n

,

其中

i1

2 n

p i , i

1,2, , n

于是

i ,

j

T T

T

p j T

p j

1, i

j

ij

p i

1

n

1

n

p i 0, i

j

故矩阵 P 为正交矩阵。

（2）与（ 1）证明过程类似，可证明

1,

2 , , n 是标准正交基。

习题二

1.设 A 、B 为 n 阶方阵，

1 ,

2 ,

, n 是 A 的特征值，证明

（ 1） tr( AB)=tr( BA)；

（2） tr ( A k

)

n i k

； i 1

（3）若 P 1 AP

B ，则 tr ( A) n

tr ( B)

i

。

i 1

证明：（ 1）设 A

a ij n ， B b

ij n ，则

n

n

n

n

n

n

tr AB

a ij

b

ji

b ji

a

ij

tr (BA)

i 1j 1

j 1 i 1

（2）因为 AX i

2

A AX i

2

X i ， ??

k

k

X i

i

X i ， A X i i

AX ii ， A X i

i

故 1k , 2k ,

,

n k 为 A k

的特征值，于是

k

n

k

)

tr ( A

i

i 1

（ 3）由结论（ 1），得

t r( B)

t (r 1P A)P t r 1 P

A P t r

1

A P P( ) t r A

n

1，i=1,2,?

,n ，证明 A 的每一个特征值

2.设 n 阶方阵 A

(a ij )

n n

，且

a

ij

的绝对值

1 。

j 1

证明： 设有 AX X ， X

x 1 x 2

T

x 2

x n

x n ，并设 x k max x 1 对 AX

X 中第 k 个方程

n

x k

j 1

a k j

x

j

于是

n

n

x k

a

kj

x j

a

kj

x j

j 1

j 1

即有

n

x j

n

j 1

a

kj

x k

j 1

a

kj

1

3.设三阶方阵

1

1 1 A

x 4

y 3

3 5

的二重特征值 2 对应有两个线性无关特征向量，

（1）求 x 与 y ；

（2）求 P ，使 P 1 AP 。

解：（ 1）因齐次方程 2I A X

0 的解空间维数为 2，则矩阵 2I

A 的秩为 1

而

1

1 1 1 1 1 2I

A

x 2 y 0 x 2

x y

3

3

3

因 rank 2I A 1

故有 x

2, y

2 。

1 1 1 （2） A

2

4

2

3 3

5

2

A 的特征多项式

I A

2

6

特征值

1 2

2 ， 3

6

2I A X 0

1 1 0 T

1 0

T

由 ，求得特征向量 1

, 2 1

由 6I A X

0 ，求得特征向量

1

2 3 T

3

于是

1 1 1

P

1 0 2

0 1

3

且有

2 0 0 P 1 AP

0 2 0

0 6

4.设 a 1 与 a 2 是 A n n 的两个不同特征值，且有

r (a 1 I A) r (a 2 I

A) n

证明矩阵 A 可对角化。

证明： 设 rank (a 1I A) r , rank ( a 2 I A) n r

对于 (a 1 I A) X 0 有 n - r 个线性无关特征向量

对于 (a 2 I

A) X 0 有 r 个线性无关特征向量

于是矩阵 A 有 n 个线性无关特征向量，所以矩阵 A 可对角化。

5.设 R 3 中， (x 1, x 2 , x 3 )T R 3 ，线性变换 T

T ( x 1 , x 2 , x 3 )T

(x 1 2x 2

2x 3 ,2 x 1 x 2 2x 3 ,2 x 1 2x 2

x 3 )T

求一组基，使 T 在此基下的矩阵为对角阵，并求出此对角阵。

解： 取 R 3 中的一组标准基

1 ,

2 ,

3 ，则有

x 1

x 1

x 1 2x 2 2x 3 1 2 2 x 1 T ( ) T

1

2

3

x 2 1

2

3

A x

2

2x 1 x 2 2x 3 2 1 2 x 2

x 3

x 3

2x 1

2x 2 x 3

2 2 1 x 3

得线性变换 T 在基

1 ,

2 ,

3 下的矩阵

1

2 2 A 2

1 2 2

2 1

A 的特征多项式 I A

12

5

特征值

1 2

1， 3

5

I A X

1 1 0

T

T

由 ，解得特征向量

1

,

2

1 0 1

由 5I A X

1 1 T

，解得特征向量

3

1

于是

1 1 1

1

P

1

2

3 1 0 1， P 1 AP

1

1

1

5

矩阵 P 为从基 1,

2 ,

3 到所求基

1 ,

2 ,

3 的过渡矩阵，于是

1 1

1

1

2

3

1

2

3

P

1 0 1 0 1 1

1

线性变换 T 在基

1 ,

2 ,

3 下的矩阵为

1

。

5

6.求可逆矩阵 P 及 J ，使 P 1 AP

J ，其中

2 1 1 A

2

1

2

1

1

2

解： A 的特征多项式

I

A (

1)3

特征值为

1

2 3 1

1 1 1 x 1 0 再由

I A X

2 2 2

x 2

1

1

1 x 3

解得特征子空间 V

1 1 0 T

0 1 T

1 的一组基 1

,

2

1

特征向量k

1 1k2k1k1k2k2

T

2

k2

由 I A k1k2

k3

111k1111k2

得增广矩阵222k1k2000k2k1

1 1 1k20 0 0k1k2

若方程组 I A有解（相容，rank ( I A)rank I A | ），则有k1=k2。

取 k1 = k2 = 1，得

T 1 2 1

由 I A12 1 T

解得广义特征向量10 0

T

111

取 P1120

010

则有

1

P 1 AP11J

1

7.设W L{e x , xe x , x2 e x , e2 x } 为函数向量e x, xe x, x2e x,e2x生成的 4 维空间，T 为导数变换，（1）求 T 在基e x, xe x, x2e x, e2 x下的矩阵；

（2）找一组基，使T 在此基下为 Jordan 标准形。

解：（ 1）T

d

，于是

dx

1100

T e x xe x x2e x e2x e x e x xe x2xe x x2 e x2e2 x e x xe x x2 e x e2x 0120 0010 0002

1100

T 在基e x, xe x, x2e x, e2 x下的矩阵

0120 A

010

0002

11001000 0100

（ 2）P1AP0 1 1 0 ，P

001

00102

00020001

1234

e x xe x x x e x e2x P e x xe x1 x2e x e2 x

2

1100

线性变换 T 在基1,2,3

0110 , 4下的矩阵为

010

0002

8.在多项式空间P n[ x]中， T 为是P n[ x]的一个导数变换，证明 T 在任一基下的矩阵不可对角化。

证明： T d

，于是

dx

01

0 02

T 1 x x2x n 1

d 1 x x2x n 10 1 2x(n 1)x n 2 1 x x2x n 10

dx

0n1

00

01

002

A0

0n 1

00

矩阵 A 的特征值为12n

而 rank ( A) n1，故A仅有一个特征向量，所以 A 不可对角化。

211

9.设A212，求 A100。

112

解：由题（ 6），有

1111012 P 1 AP 1 1 ， P 1 20 ， P 10 01

1010111于是

11100

A P1 1 P 1，A100P11100 P 1

11

取 g100

1

100

1 1g(1)g (1)1100 1g

11g(1)1

于是

101100100

A100200199200

100100101

10.设 A 为 n 阶方阵，证明：

（1）若A2 A I0，则 A 可对角化；

（2）若A k I ，k为大于1的整整数，则A可对角化。

证明：（ 1）因为A2A I0 ，则A的化零多项式()2221

无重根， A 的最小化零多项式可整除任意 A 的化零多项式，故 A 的最小多项式无重根，于是A可对角化。

（2）因为A k I ，得A的化零多项式( )k1

即

( )k 1 (1)( k 1k 21)

而( ) 0无重根，于是 A 的最小多项式无重根，所以矩阵 A 可对角化。

习题三

212

1.设A446

67 8

（1）求 A 的 LDV 分解；

（2）设b(102)T，用LDV分解求解方程组AX=b。

解：（ 1）

212100212100212100

A | I4 46010022 2 10022 2 10

678001042301002121

100212

令， P210，则 PA022

121002

这里矩阵 P 为行初等变换矩阵12

P ，12

A PA

PP I PP

21210

1

100 0

令 U PA 022，L P 1 2 10210 002121321

于是

1

1 10021210021

2

A LU 2100222102011LDV

3210023212001

（2）由AX b

得L D V X b

令 D V X Z，则有

L Z b

令VX Y ，则有

D Y Z

由 LZ b

100z11

即 210z20

321z32

解得

T T z1z2z3123

由DY Z

200y11

即 020y22

002y33

解得

T

y1y2y3再由 VX Y

T 1 3

1

22

11

1

x1

1 22

即011x21

001x33

2

解得

T

T x1x2x3713 422

2.求下列矩阵的满秩分解

0011230

(1)211, i1( 2 )0211

2i i01021解：（ 1）

0010010012111

1

2

211211*********

2i i 000i000000000矩阵第 1 列和第 3 列线性无关，于是满秩分解为

00101

11

211212

2i i02i0001

（2）

1230123012301021

11

02110211021101

22 102102110000

0000于是满秩分解为

1230121021

021102

0111

10211022

3.设A C m n

X Y

C r r， rank ( A)rank ( X ) r ，， A 的分块为A，其中X

Z W

W ZX 1Y ，证明 A 有如下形式的满秩分解

A X

X 1Y ) ， A

I r

( X Y) ( I r

ZX 1

Z

证明：因为 rank ( A)rank ( X )r ，矩阵A的前r个列X

是 A 的极大无关列， A 的后Z

n - r 个列

Y X

可由线性表示，即W Z

Y X Y XH

H，

W Z W ZH

故有

A X Y X Y X Y X

X1Y Z W Z Z H

1I r |

Z Z X Y Z

A X I r| X 1Y I r 1 X I

r| X 1Y I r1X | Y

Z ZX ZX

133

4.阵A353的谱分解。

664

解：矩阵 A 的特征多项式 f ( ) (2)2 (4)