第二讲：简单的等差数列求和【三年级秋季解答】
第二讲：简单的等差数列求和【三年级秋季解答】
知识导航
被人们誉为“数学王子”的高斯在年幼的时候，就用一种非常简便、快速的方法算出了1＋2＋3＋4＋…＋49＋50的结果。高斯，真是一个神童！现在我们就来揭秘这其中的奥秘吧！
数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：
等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2，
=（大+小）×个数÷2，
但是往往在求和时，项数或者末项还不清楚，所以还需记住以下两个公式：
最大数=小数＋公差×（个数－1）；或最小数=大数-公差×（个数－1）
个数比公差数多1，所以个数=（大－小）÷公差＋1
精典例题
例1：下面算式求和，你有妙招吗？
1＋2＋3＋4＋5＋……＋17＋18＋19＋20
思路点拨：方法一：凑整法。从1到20总共有20个数，我们发现1+19=20，2+18=20，3+17=20，……，9+11=20，
每两个数为一组，每组和为20，最后不要忘记加上10和20哦！方法二：配对求和：可用最大加最小，次大加次小等培对的办法，每两个数为一对，每对和都是21，共10对。
方法一：凑整法。
1＋2＋3＋4＋5＋……＋17＋18＋19＋20
=（1+19）+（2+18）+（3+17）+……+（9+11）+10+20
=20+20+20+……+20+10
=20×10+10
=210
方法二：配对求和。
1＋2＋3＋4＋5＋……＋17＋18＋19＋20
=（1+20）+（2+19）+（3+18）+……+（9+12）+（10+11）
=21+21+21+……+21+11
=21×10
=210
模仿练习计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19
=（1+19）×10÷2
=20×5
=100
例2：你能迅速算出下列算式的结果吗？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=（）
思路点拨
如果我们还是按照配对求和的方法，1+9，2+8，3+7，4+6，那么还剩下5就不能配对了，为了解决这样的问题，高斯又发现了有新的绝招：
现在你该知道怎么写算式了吧！快快行动吧！
方法一：等差数列求和法。和=（大+小）×个数÷2
=（1+9）×9÷2
=45
方法二：等差数列个数是奇数个时，中间数就是它们的平均数，所以和=中间数×个数
=5×9
=45
模仿练习
（1）1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1
可以配对思考，两个数组成一对，和为6.共6个6，所以爬山数列的和=山顶数×山顶数=6×6
=36
（2）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1
同理配对思考，两个数组成一对，和为10.共10个10，所以爬山数列的和=山顶数×山顶数=10×10
=100
例3：光头强伐木场将粗细均匀的圆木堆放一起，最上面一层堆4根，下面每层都比上面每层多1根，最下面一层堆了23根圆木，你知道这堆圆木共有多少根吗？
思路点拨：本题是用配对求和的方法解决生活中的实际问题。在解决这类题时，要能够根据题意，把对应的算式写出来。小朋友，边读边试试吧！
圆木总根数：4+5+6+7+8+……+22+23，即等差数列求和。知道了大数和小数，先求个数。
即层数：（23-4）÷1+1=20层，即20个数。
所以共有：（4+23）×20÷2
=27×10
=270（根）答：共有270根。
模仿练习
熊熊电影院有8排座位，第一排有10个座位，以后每排总比前排多2个座位，最后一排有24个座位，熊熊电影院一共有多少个座位？
电影院座位总数：10+12+14+16+……+24
有8排座位，所以有8个数相加。
总座位数：（10+24）×8÷2
=34×4
=136（个）答；电影院一共有136个座位。
学以致用
A级
1.1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
2.2＋4＋6＋8＋……＋16＋18＋20
这列数有10个个数：（20-2）÷2 +1=10个
=(1+10)×10÷2 =(2+20)×10÷2
=11×5 =22×5
=55 =110
3.61＋63＋65＋……＋79＋81
4.203＋207＋211＋215＋219
这列数有（81-61）÷2 +1=11个共有5个数，奇数个，中间数就是平均数。
=（61+81）×11÷2 =211×5
=142×11÷2 =1055
=71×11
=781
B级
5.21＋22＋23＋24＋……＋50
6.（995＋993＋991＋989）－（994＋992＋990＋988）
个数：（50-21）÷1 +1=30个分组配对思想。
=（21+50） =（995-994）+（993-992）+……+（989-988）
=71×30÷2 =1+1+1+1
=2130÷2 =4
=1065
7.1500―71―29―72―28―73―27―74―26―75―25―76―24―77―23―78―22―79―21
运用连减，减去和的性质进行计算
=1500―（71+29+72+28+73+27+74+26+75+25+76+24+77+23+78+22+79+21）
=1500-100×9
=1500-900
=600
8.8000―100－99－98－97－96－95－……－3－2－1
=8000-（100+99+98+97+……+3+2+1）
=8000-（100+1）×100÷2
=8000-5050
=2950
C级
9.1＋2＋3＋……＋98＋99＋100＋99＋98＋……＋3＋2＋1
=100×100
=10000
10.所有的两位数中，十位数字大于个位数字的数共有多少个？
所有的两位数，最小的是10，最大的是99，在这些两位数中，十位数字大于个位数字的数，可以分类计数：十位上是1：10 有1个
十位上是2：21 20 有2个
十位上是3：30，31，32 有3个
……
十位上是9：90，91，92，93，94，95，96，97，98。有9个
所以符合条件的两位数共：1+2+3+4+……+9=45个。
答：共有45个。
(强烈推荐)等差数列求和公式题型的四个境界
学习等差数列求和公式的四个层次 等差数列前n 项和公式d n n na n a a S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= ,是数列部分最重要公式之一,学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次: 1.直接套用公式 从公式d n n na n a a n a a S m n m n n 2 ) 1(2)(2)(111-+=+=+= +-中,我们可以看到公式中出现了五个量,包括,,,,,1n n S n a d a 这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求. 例1 设等差数列{}n a 的公差为d,如果它的前n 项和2 n S n -=,那么( ). (A)2,12-=-=d n a n (B)2,12=-=d n a n (C)2,12-=+=-d n a n (D)2,12=+-=d n a n 解法1 由于2n S n -=且1--=n n n S S a 知,,12)1(2 2+-=-+-=n n n a n ],1)1(2[121+---+-=-=-n n a a d n n ,2-=d 选(C). 解法2 ,2 ) 1(21n d n n na S n -=-+ =Θ对照系数易知,2-=d 此时由2 1)1(n n n na -=--知,11-=a 故,12+-=n a n 选(C). 例2 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知331S 与441S 的等比中项为551S ,331S 与44 1S 的等差中项为1,求等差数列{}n a 的通项n a . 解 设{}n a 的通项为,)1(1d n a a n -+=前n 项和为.2 ) 1(1d n n na S n -+= 由题意知?????=+=? 241 31)51(4131432543S S S S S , 即?????=?++?+?+=?+??+ 2)2344(41)2233(3 1)2455(251)2344(41)2233(31112111 d a d a d a d a d a 化简可得,2252053121?? ???=+=+d a d d a 解得???==101a d 或?????=- =45121a d 由此可知1=n a 或.5 12532)512)(1(4n n a n -=- -+= 经检验均适合题意,故所求等差数列的通项为1=n a 或.5 12 532n a n -= 2.逆向活用公式 在公式的学习中,不仅要从正向认识公式,而且要善于从反向分析弄清公式的本来面目.重视逆向地认识公式,逆向运用公式,无疑将大大地提高公式的解题功效,体现了思维的灵活性. 例3 设,N n ∈求证:.2 ) 3()1(32212)1(+<+++?+?<+n n n n n n Λ 证明 ,3212 ) 1(n n n ++++=+ΛΘ 又,211?<,322?< ,)1(,+ 1、20+4X=6X-24 2、5(X-1)=X+1 3、3(3X-2)=10-0.5(X+3.5) 4、2(3X-1)=10 5、10X-2X+X=117 6、3(2X-1)+5=32 7、3(X+2)-2(X-1)=19 8、6(2X-7)=5(X+8)-5 9、0.4(X-0.2)+1.5=0.7X-0.38 10、(0.6+420)?(X+20)=3 11、某班有男生30人，比女生的2倍少10人，这个班女生有多少人, 12、小明父亲今年36岁，比小明的5倍少4岁，小明2年前多少岁, 13、一辆汽车从甲地开往乙地，去时每小时行50千米，返回时每小时行60千米，回来共用5.5小时，甲、乙两地相距多少千米, 14、两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下铁丝第一根是第二根的3倍，原来两根铁丝各长多少厘米, 等差数列练习题 【知识点】: 求若干个数的和时，我们应该首先判断这些数是否为等差数列，只有为等差数列时才能使用求和公式。 数列和=(首项+末项)×项数?2 末项=首项+公差×(项数-1) 项数=(末项-首项)?公差+1 什么叫等差数列呢,我们先来看几个例子: ?l，2，3，4，5，6，7，8，9，… ?1，3，5，7，9，11，13. ?100，95，90，85，80，75，70. ? 20，18，16，14，12，10，8. 练习: 1、1+2+3+......+50 2、101+102+103+......198+199 2、40+41+42+......+80 4、1+3+5+......+49 3、5+10+15+......+95+100 6、27+34+41+48+55+......+97+104 4、1+2+3+...+49+50+49+...+3+2+1 5、(1+3+5...+2003)-(2+4+6+ (2002) 6、101+102+103+104+…+999 7、1+5+9+13+17+…+1993 ＊数学故事： 一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题 目，一位小男孩即刻把写着答案的小石板交了上去。 1+2+3+4+......+98+99+100= 老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于那 个男孩时，才大吃一惊。 而更使人吃惊的是男孩的算法...... 老师发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50 对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等差数列的方法，高斯的才华 使老师——彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教这位男孩的了。 此男孩叫高斯，是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基 米德、牛顿并列，同享盛名。 ＊数列的基本知识： （1）1、2、3、4、5、6……公差：（2）2、4、6、8、10、12……公差： （3）5、10、15、20、25、30……公差： 像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列，数列中的每一个数称为一项； 第1项称为首项；最后1项称为末项；在第几个位置上的数就叫第几项；有多少项称为项 数；通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都是 相等的，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。 通项公式：某一项=首项+（项数-1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差 + 1 求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2 例题1：已知数列2、5、8、11、14……求它的第10项是多少它的第98项是多少【思路导航】这个等差数列的首项是2，公差是3，项数是10.要求第10项，可根据， 某一项=首项+（项数-1）×公差进行计算。第10项：2+3×（10-1）=29 第98项： 2+3 ×（98-1）=293 练习1：某一项=首项+（项数-1）×公差 （1）求等差数列：1、3、5、7、9……它的第21项是多少 （2）求等差数列：2、6、10、14、18……它的第60项是多少 （3）求等差数列：7、12、17、22……它的第100项是多少 例题2：已知数列2、5、8、11、14……35，这个数列共有多少项 选讲1 等差数列求和 一、知识要点 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项;数列中,项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 二、精讲精练 【例题1】有一个数列：4，10，16，22…，52.这个数列共有多少项？ 练习1： 1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差= 2.这个等差数列共有多少项？ 2.有一个等差数列：2, 5，8，11…，101.这个等差数列共有多少项？ 3.已知等差数列11, 16，21, 26，…，1001.这个等差数列共有多少项？ 【例题2】有一等差数列：3, 7，11, 15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 练习2： 1.一等差数列，首项=3.公差= 2.项数=10，它的末项是多少？ 2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。 3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。 【例题3】有这样一个数列：1, 2, 3, 4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 练习3： 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。 练习4：计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270 巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2 例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？ 练习: 1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？ 2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？ 3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？ 例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习: 1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？ 2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。 3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。 例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 练习: 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。 练习: 计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270 例5：计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99) 练习: 用简便方法计算下面各题。 （1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994） （2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999) （3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998) 例6:如果一个等差数列第4项为21，第6项为33，求他的第8项。（1）一个等差数列的第5项是19，第8项是61，求他的第11项。。（2）如果一个等差数列的第3项是10，第7项是26，求他的第12项。（3）如果一个等差数列的第2项是10，第6项是18，求他的第110项。 数列求和的几种情形 11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-= =+ ()-n m n d =-m a a 一、分组法 例1 求1 1357(1)(21)n n S n -=-+-++--L . 变式练习1：已知数列{}n a 的前n 项和2 50n S n n =-，试求： （1）n a 的通项公式; （2）记n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T 二、倒序相加 ()1112()() n n n n n S a a a a a a =++++++644444474444448L 个 1() n n a a =+ 1 ()2 n n n a a S += 例2 求22 2 2 o o o o sin 1+sin 2+sin 3+.......sin 89 三、错位相减 1 1n n a a q -= 11(1)(01) n n n a a q a q S q q --==≠≠且1-q 1-q 例3 21123(0) n n S x x nx x -=++++≠L 变式练习3（1）已知数列{}n a 的通项.2n n a n =， 求其n 项和n S （2）已知数列{}n a 的通项 ()121.3n n a n ?? =- ? ?? ，求其 n 项和n S 四、裂项相消 例4 已知数列1 {},n n a a 的通项公式为求前n 项和. n （n+1） 变式练习4:（1）1111132435(2) n n ++++????+L . （2）求数列, (1) 1 ,...,321,321,211+++++n n 的前n 项和n S 等差数列求和公式的 问题1：著名数学家高斯10岁时，曾解过一道题：1+2+3+…+100=?你们知道怎么解吗？ 问题2：1+2+3+…+n=? 在探求中有学生问：n是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？并引导学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡 设=1+2+3+…+n ,又有= + + +…+1 = + + +…+ ，得= 问题3：等差数列= ？ 学生容易从问题2中获得方法（倒序相加法）。但遇到= = =…=呢？利用等差数列的定义容易理解这层等量关系，进一步的推广可得重要结论：m+n=p+q 问题4：还有新的方法吗？ （引导学生利用问题2的结论），经过讨论有学生有解法：设等差数列的公差为d，则= +（）+（）+…+[ ] = = （这里应用了问题2的结论） 1 ————来源网络整理，仅供供参考 问题5：= = ？ 学生容易从问题4中得到联想：= = 。显然，这又是一个等差数列的求和公式。 等差数列的求和对初学数列求和的离学生的现有发展水平较远，教师通过“弱化”的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内，由于学生的最近发展区是不断变化的，学生解决了问题2，就说明学生的潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在新的现有发展水平基础上教师提出了问题3，学生解决了问题3，他们潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在此基础上教师提出了问题4，这个案例的设计体现教师搭“脚手架”的作用不可低估,教师自始至终都应坚持“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”(《礼记·学记》),诱导学生自己探究数学结论, 处理好“放”与“扶”的关系。 ————来源网络整理，仅供供参考 2 第四讲等差数列 一、知识点： 1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。 3、常用公式 等差数列的总和=（首项+末项）?项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+公差?（项数-1） 首项=末项-公差?（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 等差数列（奇数个数）的总和=中间项?项数 二、典例剖析： 例（1）在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？ 分析：（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。 （2）根据公式：末项=首项+公差?（项数-1） 解：项数=（201-3）÷3+1=67 末项=3+3?（201-1）=603 答：共有67个数，第201个数是603 练一练： 在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？ 答案: 第48项是286，508是第85项 例（2 ）全部三位数的和是多少？ 分析：：所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、 (998) 999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。 解：（100+999）?900÷2 =1099?900÷2 =494550 答：全部三位数的和是494550。 练一练： 求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。 答案: 1000 例（3）求自然数中被10除余1的所有两位数的和。 分析一：在两位数中，被10除余1最小的是11，最大的是91。从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。它的项数是9，我们可以根据求和公式来计算。解一：11+21+31+……+91 =（11+91）?9÷2 =459 分析二：根据求和公式得出等差数列11、21、31、……91的和是459，我们可以求得这9个数的平均数是459÷9=51，而51恰好是这个等差数列的第五项，即中间的一项(称作中项)，由此我们又可得到S=中项?n，但只能是项数是奇数时，等差数列有中项，才能用中项公式计算。 解二：11+21+31+……+91 =51?9 =459 答：和是459。 练一练： 求不超过500的所有被11整除的自然数的和。 答案: 11385 例（4）求下列方阵中所有各数的和： 1、2、3、4、……49、50； 2、3、4、5、……50、51； 3、4、5、6、……51、52； …… 49、50、51、52、……97、98； 50、51、52、53、……98、99。 分析一：这个方阵的每一横行（或竖行）都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行（或竖行）数列之和，再求出这个方阵的和。 解一：每一横行数列之和： 第一行：（1+50）?50÷2=1275 第二行：（2+51）?50÷2=1325 小学五年级方程练习题 班别：姓名：座号：成绩：家长签名：. 1、20+4X=6X-24 2、5（X-1）=X+1 3、3（3X-2）=10-0.5（X+3.5） 4、2（3X-1）=10 5、10X-2X+X=117 6、3（2X-1）+5=32 7、3（X+2）-2（X-1）=19 8、6（2X-7）=5（X+8）-5 9、0.4（X-0.2）+1.5=0.7X-0.38 10、（0.6+420）÷（X+20）=3 11、某班有男生30人，比女生的2倍少10人，这个班女生有多少人？ 12、小明父亲今年36岁，比小明的5倍少4岁，小明2年前多少岁？ 13、一辆汽车从甲地开往乙地，去时每小时行50千米，返回时每小时行60千米，回来共用5.5小时，甲、乙两地相距多少千米？ 14、两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下铁丝第一根是第二根的3倍，原来两根铁丝各长多少厘米？ 等差数列练习题 【知识点】： 求若干个数的和时，我们应该首先判断这些数是否为等差数列，只有为等差数列时才能使用求和公式。 数列和=（首项+末项）×项数÷2 末项=首项+公差×（项数-1） 项数=(末项-首项）÷公差+1 什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子： ①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13. ③100，95，90，85，80，75，70. ④ 20，18，16，14，12，10，8. 练习： 1、1+2+3+......+50 2、101+102+103+......198+199 3、40+41+42+......+80 4、1+3+5+......+49 5、5+10+15+......+95+100 6、27+34+41+48+55+......+97+104 7、1+2+3+...+49+50+49+...+3+2+1 8、（1+3+5...+2003）-（2+4+6+ (2002) 9、101+102+103+104+…+99910、1+5+9+13+17+…+1993 等差数列求和 教学目标 1.掌握等差数列前项和的公式，并能运用公式解决简单的问题. （1）了解等差数列前项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式； （2）用方程思想认识等差数列前项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值； （3）会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值. 2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法. 3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. 4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题. 教学建议 （1）知识结构 本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题． （2）重点、难点分析 教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路． 推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重 要．等差数列前项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想． 高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上． （3）教法建议 ①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用. ②前项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活. ③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法. ④补充等差数列前项和的最大值、最小值问题. ⑤用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式. 等差数列的前项和公式教学设计示例 教学目标 1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题. 2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想. 教学重点，难点 教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路. 教学用具 实物投影仪，多媒体软件，电脑. 教学方法 讲授法. 学习等差数列求和公式的四个层次 黑龙江大庆实验中学(163311)毕明黎 等差数列前n 项和公式d n n na n a a S n n 2 )1(2 )(11-+ =+= ,是数列部分最重要公式之一,学习 公式并灵活运用公式可分如下四个层次: 1.直接套用公式 从公式d n n na n a a n a a S m n m n n 2 )1(2 )(2 )(111-+ =+= += +-中,我们可以看到公式中出现了五 个量,包括,,,,,1n n S n a d a 这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求. 例1 设等差数列{}n a 的公差为d,如果它的前n 项和2 n S n -=,那么( ).(1992年三南高考试 题) (A)2,12-=-=d n a n (B)2,12=-=d n a n (C)2,12-=+=-d n a n (D)2,12=+-=d n a n 解法1 由于2n S n -=且1--=n n n S S a 知,,12)1(2 2+-=-+-=n n n a n ],1)1(2[121+---+-=-=-n n a a d n n ,2-=d 选(C). 解法2 ,2 ) 1(2 1n d n n na S n -=-+ = 对照系数易知,2-=d 此时由2 1)1(n n n na -=--知,11-=a 故,12+-=n a n 选(C). 例2 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知33 1S 与 44 1S 的等比中项为 55 1S , 33 1S 与 44 1S 的等 差中项为1,求等差数列{}n a 的通项n a .(1997年全国高考文科) 解 设{}n a 的通项为,)1(1d n a a n -+=前n 项和为.2 )1(1d n n na S n -+= 由题意知?????=+=? 241 3 1)51(4131432 54 3S S S S S , 第3讲等差数列 一、知识点： 1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。 3、常用公式 等差数列的总和=（首项+末项）?项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+公差?（项数-1） 首项=末项-公差?（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 等差数列（奇数个数）的总和=中间项?项数 二、典例剖析： 例（1）在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？ 答案：共有67个数，第201个数是603 练一练：在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？ 答案: 第48项是286，508是第85项例（2 ）全部三位数的和是多少？ 答案：全部三位数的和是494550 练一练：求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。 答案: 1000 例（3）求自然数中被10除余1的所有两位数的和。 答案：和是459 练一练：求不超过500的所有被11整除的自然数的和。 答案: 11385 例（4）求下列方阵中所有各数的和： 1、2、3、4、……49、50； 2、3、4、5、……50、51； 3、4、5、6、……51、52； …… 49、50、51、52、……97、98； 50、51、52、53、……98、99。 答案：这个方阵的和是125000 练一练： 求下列方阵中100个数的和。 0、1、2、3、……8、9； 1、2、3、4、……9、10； 2、3、4、5、……10、11； …… 9、10、11、12、……17、18。 答案: 900 例（5）班级男生进行扳手腕比赛，每个参赛男生都要和其他参赛选手扳一次。若一共扳了105次，那么共有多少男生参加了这项比赛? 答案：有15个男生参加了比赛 练一练：从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？ 答案： 625种 例（6）若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？ 答案：最外圈有102人，最内圈有12人 练一练：若干人围成8圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次少4人，如果共有304人，最外圈有几人？ 答案： 52人 巩固练习三： 一、填空题（每小题5分） 1、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4，这串数中第2003 按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 女口：2、5、8 11、14、17、20、?从第二项起，每一项比前一项大3，递增数列 100、95、90、85、80、?从第二项起，每一项比前一项小5，递减数列 二、等差数列与公差 一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的 差叫做公差。 三、常用公式 等差数列的总和=（首项+末项）项数亠2 项数=（末项-首项）“公差+1 末项=首项+公差（项数-1） 首项=末项-公差（项数-1） 公差=（末项-首项）“（项数-1） 等差数列（奇数个数）的总和=中间项项数 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与 末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数. 考点一：等差数列的基本认识 例1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。 ①6，10，14，18，22, (98) ②1, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6; ③1, 2, 4, 8, 16, 32, 64; ④9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2; ⑤3, 3, 3, 3, 3, 3 , 3 , 3; ⑥1, 0, 1 , 0 , I, 0, 1, 0; 例2、把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少? 例3、已知一个等差数列第9项等于131 ,第10项等于137 ,这个数列的第1项是多少？第19项是多少? 例4、2、4、6、8、10、12、-是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320 ,求它们中最小的一个. 例5、5、8、11、14、17、20、-,这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项? 等差数列求和 引例：计算 1+2+3+4++97+98+99+100 一、有关概念 : 像1、2、3、4、5、6、7、8、9、这样连起来的一串数称为数列；数列中每一个数叫这个数列的一项，排在第一个位置的叫首项，第二个叫第二项，第三个叫第三项，，最后一项又叫末项；共有多少个数又叫项数；如果一个数 列，从第二项开始，每一项与前一项之差都等于一个固定的数，我们就叫做等差数列。这个固定的数就叫做“公差”。 二、有关公式： 和 =（首项 +末项）×项数÷ 2 末项 =首项 +公差×（项数 -1） 公差 =（末项 -首项）÷（项数 -1） 项数 =（末项 -首项）÷公差 +1 三、典型例题： 例 1、聪明脑筋转转转： 判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项、公差及项数写出来，如果不是请打“×” 。 判断首项末项公差项数 （1） 1、2、4、8、16、 32.（）（）（）（）（）（2） 42、49、56、63、70、77.（）（）（）（）（）（3） 5、1、4、1、3、1、2、1.（）（）（）（）（）（4） 44、55、66、77、88、99、110（）（）（）（）（） 练习 1、填空： 数列首项末项公差项数2、5、8、 11、14 0、4、8、 12、16 3、15、27、39、51 1、2、3、 4、5、、 48、49、 50 2、4、6、 8、、 96、 98、100 例 2、已知等差数列 1,8,15, , 78.共 12 项，和是多少？（博易 P27例 2）（看 ppt,推出公式） 例 3、计算 1+3+5+7++35+37+39 练习 2：计算下列各题 （1）6+10+14+18+22+26+30 （3）1+3+5+7++95+97+99 （2）3+15+27+39+51+63（4）2+4+6+8++96+98+100 （3）已知一列数 4,6,8,10 ，，64，共有 31 个数，这个数列的和是多少？ 例 5、有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有 10 根，每向下一层增加一根，共堆了 10 层。这堆圆木共有多少根？（博易 P27例 3）（看 ppt） 练习 3： 丹丹学英语单词，第一天学了 6 个单词，以后每一天都比前一天多学会一个，最后一天学会了 26 个。丹丹在这些天中共学会了多少个单词？ 等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2 或Sn=a1*n+n(n-1)d/2 注：an=a1+(n-1)d 转换过程：Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2 应该是对于任一N均成立吧（一定）,那么Sn-Sn-1=[n(a1+an)-(n-1)(a1+an-1)]/2=[a1+n*an-(n-1)*an-1]/2= an 化简得(n-1)an-1-(n-2)an=a1,这对于任一N均成立 当n取n-1时式子变为,(n-3)an-1-(n-2)an-2=a1=(n-2)an-(n-1)an-1 得 2(n-2)an-1=(n-2)*(an+an-2) 当n大于2时得2an-1=an+an-2 显然证得它是等差数列 和＝（首项＋末项）×项数÷2 项数＝（末项-首项）÷公差＋1 首项=2和÷项数-末项 末项=2和÷项数-首项 末项=首项+（项数-1）×公差 性质：等差数列求是求数列中所有项的和 若m、n、p、q∈N ①若m＋n=p＋q，则am+an=ap+aq ②若m+n=2q，则am+an=2aq 二、例题 例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析∵要求的数去除30、60、75都能整除， ∴要求的数是30、60、75的公约数。 又∵要求符合条件的最大的数， ∴就是求30、60、75的最大公约数。 解：∵ （30，60，75）=5×3=15 这个数最大是15。 例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？ 分析由题意可知，要求的数是3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。 解：∵［3，4，5］=3×4×5=60， ∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。 四年级奥数专题 巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 这一周学习“等差数列求和”。需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。 通项公式：第n项=首项+ （项数—1）x公差 项数公式：项数=（末项—首项）十公差+ 1 求和公式：总和=（首项+末项）X项数十2 例1 ：有一个数列：4, 10, 16, 22,…，52,这个数列共有多少项？ 分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。 项数=（52- 4）十6+仁9,即这个数列共有9项。 练习一 1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？ 2,有一个等差数列：2, 5, 8, 11,…，101，这个等差数列共有多少项? 3,已知等差数列11, 16, 21, 26,…，1001，这个等差数列共有多少项? 例2:有一等差数列：3, 7, 11, 15,……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差X(项数—1)”进行计算。 第100 项=3+4 X( 100—1) =399 练习 1,一等差数列,首项=3,公差=2,项数=10,它的末项是多少？ 2,求1, 4, 7, 10……这个等差数列的第30项 3,求等差数列2, 6, 10, 14……的第100项 例3:有这样一个数列：1, 2, 3, 4,…，99, 100o请求出这个数列所有项的和。 分析与解答：如果我们把1, 2, 3, 4,…，99, 100与列100, 99,…，3, 2, 1相加，则得到 (1+100) + (2+99) + (3+98) +…+ (99+2) + (100+1),其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101 相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。 1+2+3+…+99+100= (1+100)X 100*2=5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=(首项+末项)X项数* 2 这个公式也叫做等差数列求和公式。 练习三 计算下面各题。 (1) 1+2+3+…+49+50 (2) 6+7+8+…+74+75 (3) 100+99+98+…+61+60 例4:求等差数列2, 4, 6,…，48, 50的和 精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 C-等差数列求和计算 C -等差数列求和应用 C-等差数列求和拓展 授课日期及时段 教学内容 1、请讲解示范循环小数化成分数的方法。 2、计算： 1＋3 61＋512 1＋7201＋9301＋11421＋13561＋15721＋17901 课堂导入 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 我们也常把数列求和的计算称为“高斯求和”。 知识点梳理 知识点1：数列的基础知识 （1）数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. （2）项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. （3）通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. （4） 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. （5） 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 （6）数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 知识点2：等差数列 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示． 知识点3：等差数列的简单性质 （1）首尾项性质 如果a 1、 a 2 、……a n ,是等差数列，则a 1+a n =a 2+a 1-n =…… （2）等差中项性质及中项定理 等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2 b a +叫做ａ和ｂ的等差中项． 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数． 知识点4：等差数列求和公式 等差数列的总和=（首项+末项）?项数÷2 等差数列（奇数个数）的总和=中间项?项数 ()11232 n n n ++++= 2)12(531n n =-++++ 一、专题精讲 题型1：简单数列求和 例1：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 分析：这是简单的等差数列，根据首尾性质、求和公式，即可求。 解：=(1+19)+(3+17)+(5+15)+(7+13)+(9+11) =20x5 =100 数列求和（课堂练习） 1、已知等差数列1、3、5、7、……99，这个等差数列共有多少 项？ 2、求等差数列 3、7、11、15……的第99项。 3、请你求出等差列1、2、3、4……49、50中各项相加的和。 4、儿童剧院有30排座位，第一排30个，后面每一排都比前一排 多2个座位，最后一排有88个座位。这个剧院共有多少个座位？ 5、有一堆粗细均匀的圆木，最上面有4根，每一层都比上一层多 1根，最下层有33根。这堆圆木共有几层？一共有多少根？ 6、小明练习写毛笔字，第一天写了4个，以后每天比前一天多写 相同数量的大字，最后一天写了34个，共字了589个大字。问：小明每天比前一天多写几个大字？ 1、已知等差数列200、198、196……100这个等差数列共有多少项？ 2、求数列 3、5、7、9……这个等差数列的第20项是多少？ 3、求和：5+10+150+20……+100 4、晓诚读一本书，第一天读了10页，以后第天都比前一天多读2页。第10天 读28页正好读完。这本书共多少页？ 5、丹丹学英语单词，第一天学会了6个单词，以后每天都比前一天多学会1个， 最后一天学会了26个。丹丹在这些天中共学会了多少个单词？ 6、欣欣电影院共有座位630个，已知第一排有座位18个，最后一排有52个， 而且每相邻两排相差的人数相等，那么相邻的两排相差多少个座位？ 7、等差数列中，首项=7，末项=119，公差=4，它的项数是多少？ 8、求等差数列5、8、11、14……的第50项。 9、学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各比赛一场。如 果有25人参加比赛，问一共要进行多少场比赛？ 10、求自然数中所有两位数的和。 11、养鸡场第一个笼里有4只鸡，第二个笼里有7只鸡，第三个笼里有10 只鸡，每个鸡笼总比前一个多放3只鸡，最后一个鸡笼里有40只鸡。问：一共有几个鸡笼？共多少只鸡？ 12、用1320张纸由少到多地装订不同规格的练习本。已知第一本18页，最 后一本102页，而且前后两本纸张的相差页数相等，那么相邻的前后两本相差多少页？ 13*、100个连续自然数的和是8250，去掉这100个数中的第奇数个数，余下的50个数相加的和是多少？ 14*、莎莎练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是60，但她重复计算了其中一个数字。问：莎莎重复计算了哪个数字？ 等差数列求和 对等差数列a1,a2,a3,…,an,…,如果公差是d,第n项是an,前n项的和是sn(n=1,2,3,……)那么: an=a1+(n-1)d即: 第n项=首项+公差的(n-1)倍 n=( an-a1)÷d+1即: 项数=(末项-首项)÷公差+1 sn=(a1+an)×n÷2即: 前n项和=(首项+末项)×项数÷2 前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)=n2 前n个偶数的和：2+4+6+…+2n=n2+n 例1、有一列数:5,8,11,14,……。①求它的第100项；②求前100项的和。 例2、有一串数：1,4,7,10,……,298。求这串数的和。 例3、1998+1997-1996-1995+1994+1993-1992-1991+……198+197-196-195 例4、1+2+3-4-5-6+7+8+9-10-11-12+……+182+183 例5、写出数列：1,2,3,4,5,6, ……中，第n个偶数和第n个奇数。 例6、分别求自然数列中前n个奇数之和，以及前n个偶数(不包括0)的和。 例7、1+3+5+7+…+99 例8、2+4+6+8+…+100 例9、21+23+25+27+…+99 例10、已知一串数1,5,9,13,17,…,问这串数中第100个数是多少? 例11、1971,1981,1991,2001,2011,…,2091,这几个数的和是多少? 例12、98+97-96-95+94+93-92-91+…-4-3+2+1 例13、1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99 例14、在小于100的自然数中,被7除余3的数的和是多少? 例15、从一点o引出20条不重复的射线共形成多少个锐角? 例16、求所有比11的倍少5的三位数的和? 例17、下图有中的30个方格中各有一个数,每个格子中的数等于同一横行最左边一格和同一竖列最上面一格的数之和(如a=14+17=31)。问这30个数的总和等于多少？小学五年级方程等差数列练习题
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