【精品】2021届人教A版文科数学课时试题及解析(58)随机数与几何概型

课时作业(五十八) [第58讲 随机数与几何概型]

[时间：35分钟 分值：80分]

基础热身

1．在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中产生一个均匀随机数，则得到数字8的概率是( )

A.19

B.89

C.13

D.12

2．容量为400 ml 的培养皿里装满培养液，里面有1个细菌，从中倒出20 ml 的培养液，则细菌被倒出的概率是( )

A.1200

B.120

C.1400

D.140

3．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为( )

A.π4

B.34

C.23

D.13

4． 在边长为1的正方形ABCD 内随机选一点M ，则点M 到点D 的距离小于正方形的边长的概率是________．

能力提升

5．在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，则AM 的长小于AC 的长的概率是( ) A.23 B.24 C.22 D.12

6． 在区间(0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为( ) A.14 B.13 C.12 D.23

7． 如图K58－1所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a 2的圆弧围

成的，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是( ) A.π4 B ．1－π4

C ．1－π8

D ．与a 的取值有关

8． 在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )

A ．1－π8

B ．1－π4

C ．1－π2

D ．1－3π4

9．将一条4米长的绳子随机地截成两条，用A 表示所截两段绳子都不短于1米的事件，则事件A 发生的概率是________．

10． 一只蚂蚁在边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率是________．

11．某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，则此人等车时间不多于10分钟的概率为________．

12．(13分) 某班主任统计本班50名学生放学回家后学习时间的数据，用条形图表示(如图K58－2)．

(1)求该班学生每天在家学习时间的平均值；

(2)该班主任用分层抽样方法(按学习时间分五层)选出10个学生谈话，求在学习时间为1个小时的学生中选出的人数；

(3)假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知甲每天连续学习2小时，乙每天连续学习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率．

难点突破

13．(12分)设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.

(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；

(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

课时作业(五十八)

【基础热身】

1．A [解析] 依据均匀随机数的概念知，在该集合内得到任何

一个整数的概率都是19.故选A.

2．B [解析] 细菌被倒出的概率为P ＝20400＝120，故选B.

3．C [解析] 点B 可以在点A 的两侧来取，距离点A 的最远处时，AB 的弧长为1，根据几何概率可知其整体事件是其周长3，则其

概率是23.故选C.

4.π4 [解析] 如图，点M 落在阴影区域内时，点M 到点D 的距离小于正方形的边长，所以概率为阴影部分的面积与正方形面积的比

值，即π4.

【能力提升】

5．C [解析] 在AB 上截取AC ′＝AC ，于是P (AM

P (AM

6．C [解析] 由sin x ＋3cos x ≤1得sin ? ??

??x ＋π3≤12，当x ∈(0，π]时，解得π2≤x ≤π，所以所求概率为P ＝π－π2π－0＝12

.故选C. 7．B [解析] 阴影部分的面积是边长为a 正方形面积减去一个半径为a 2的圆的面积，所以概率为a 2－a 24πa 2＝1－π4.

8．B [解析] 由已知，有－π≤a ≤π，－π≤b ≤π.函数有零点，则Δ＝4a 2＋4b 2－4π2≥0，即a 2＋b 2≥π2，如图，当两数a ，b 落在正方形内，圆外的四个空白区域内时，满足题设条件，所以概率为P ＝4π2－π·π24π2＝1－π4.故选B.

9.12 [解析] 要满足所截两段都不短于1米，则截点在绳子的中

间2米的区域内，所以概率为P (A )＝24＝12.

10.12 [解析] 以三角形的三个顶点为圆心，1为半径画圆，三角形的三边上在圆外的三条线段上的点到三角形三个顶点的距离都超

过1，这三条线段的长度之和为6，所以概率为P ＝612＝12.

11.16 [解析] 设“等待的时间不多于10分钟”为事件A ，当事件A 恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内，则此人等车时

间不多于10分钟，因此由几何概型的概率公式得P (A )＝60－5060＝16，

即此人等车时间不多于10分钟的概率为16.

12．[解答] (1)平均学习时间为

20×1＋10×2＋10×3＋5×450

＝1.8(小时)． (2)20×1050＝4.

(3)设甲开始学习的时刻为x ，乙开始学习的时刻为y ，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|18≤x ≤21,18≤y ≤20}，面积S Ω＝2×3＝6.事件A 表示“22时甲、乙正在学习”，所构成的区域为A ＝{(x ，y )|20≤x ≤21,19≤y ≤20}，面积为S A ＝1×1＝1，这是一个几

何概型，所以P (A )＝S A S Ω

＝16. [点评] 根据以上的解法，我们把此类问题的解决总结为以下四步：

(1)构设变量．从问题情景中，发现哪两个量是随机的，从而构设为变量x 、y .

(2)集合表示．用(x ，y )表示每次试验结果，则可用相应的集合分别表示出试验全部结果Ω和事件A 所包含试验结果．一般来说，两个集合都是几个二元一次不等式的交集．

(3)作出区域．把以上集合所表示的平面区域作出来，先作不等

式对应的直线，然后取一特殊点验证哪侧是符合条件的区域．计算求解．根据几何概型的概率公式，易从平面图形中两个面积的比求得．

【难点突破】

13．[解答] 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．

当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.

(1)基本事件共12个：

(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．

其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．

事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)＝9

12＝3

4.

(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}．构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．

所以所求的概率为＝3×2－

1

2×2

2

3×2

＝

2

3.