复变函数 部分内容的总结与习题

复变函数部分内容的总结与习题

复变函数部分内容的总结与习题

基本的幂级数展开式：11zz2zn(z1)1zz2zne1z(z)

2!n!zz3z2n1nsinzz(1)(z)

3!(2n1)!2nz2nzcosz1(1)(z)2!(2n)!幂级数的重要性质：逐项求导

设f(z)01(zz0)2(zz0)2n(zz0)n则f(z)122(zz0)nn(zz0)n1

应用：从已知函数的幂级数展开式求它的导数的幂级数展开式，例如，

112n112z3znz2(1z)1z求函数在指定点z0幂级数展开式:1.2.

1，z0b，abza1，z0b，ab2(za)(zb)33.，z0b，ab

za4.

zziizzi，提示：0z22z1(z1)2(z1)2z22z1zz21，z01提示：

(z1)(z2)(z1)(z2)z2z15.6.

1，z012z1

洛朗级数展开式

{“Error”:{“code”:”8”,”Message”:”badrequest”,”LogId”:”108 4180571”}}6.

1，0z22z(z2)1z(z2)37.

z0注意：在R1zR2内展开的结果必须是zz0的正幂或负幂的和，即具有n，0z22(zz)形式。nn08.

1，0z222z(z2)9.

10z21

(z1)2(z2)10.求下列函数在孤立奇点的去心邻域内的洛朗展式：

ze，(z1)e，ze21z21z21z1111，(z1)e，z2sin，z2sin，(z1)2sin，

zz1z21z1111，(z1)2cos，(z22z)cosz2cos，z2coszz1zz

复变函数的积分

一、不解析函数的积分

利用曲线的参数方程，化成定积分计算。

起点是a，终点是b的直线段的参数方程:z(t)(1t)atb，0t1圆zar的参数方程：z(t)areit，0t2圆zr的参数方程：z(t)reit，0t2

设C是起点是1i，终点是23i的直线段或圆z1，计算1.2.3.4.

xdz，即Rezdz，

CCCydz，即Imzdz

Czdz

C(xiyC2)dz

二、解析函数在不闭合曲线上的积分，用原函数上下限计算，也可用参数方程化

定积分计算。1.

2iicoszdz

2.设C是圆z1从1到1反时针方向。z（11），lnz（ln10)是去掉原点和正实轴的复平面内的单值解析函数分支，计算

Czdz，lnzdz

C三、解析函数在闭合曲线上的积分，用留数计算，等于曲线所围成的区域内所有奇点的留数之和乘以2i。1.

z1z1dz3z(z4)e6z2.2dz

z16z5z13.

z21zdz2sinz221z4.

z1(1zz)edz

无穷限广义积分的计算

一、有理函数，分母在实轴上不等于0，分母比分子至少高二次，从到

积分，等于上半平面奇点的留数之和乘以2i。1.

x(x21)(x22x2)dx

2. 01x2dx41x二、在实轴上没有零点的有理函数和三角函数的乘积公式当f(x)是偶函数时，f(x)cosxdxf(x)eixdx，

当f(x)是奇函数时，f(x)sinxdxif(x)eixdx

f(x)eixdx等于f(z)eiz在上半平面奇点的留数之和乘以2i。

xcosxx22x10dxxsinx2.dx

0x29

保形映射

1.映射的保角性指的是什么？什么映射具有保角性？

1.2.为什么分式线性函数具有保角性？

3.如果一个保形映射把ABC映射成FDE，那么BC映射成FDE的哪条边？BA映射成FDE的哪条边？

C ED3030BAF

单叶（即一对一）解析函数的重要性质：

把区域映射成区域，区域的边界映射成边界。

要确定映射成什么区域，首先确定它的边界映射成什么曲线了。区域映射成曲线的内或外，或左，或右。

问题：

z1一、对于w，回答以下问题。

z11.把实轴映射成什么？2.把实轴上[1,1]映射成什么？3.把实轴上[,1]映射成什么？4.把实轴上[1,]映射成什么？5.把z1映射成什么？6.把z1映射成什么？7.把z1映射成什么？

8.把半圆z1,Imz0映射成什么？9.把半圆z1,Imz0映射成什么？

10.把上半平面圆的外部区域z1,Imz0映射成什么？11.把虚轴Rez0映射成什么？

z1二、对于w，回答以下问题。

zi1.把实轴映射成什么？2.把虚轴映射成什么？3.把z1映射成什么？辐角●下面的条件分别表示什么集合？

argz0，argz，argz4，arg(zi)4，arg(zi)5，0argz44，0argz，0argz2

4●求值（写出实部、虚部）

0arg(zi)1i111i2i2i23i(13i)，(13i)/，esin(2i)，ecos(2i)，Lne，

22111212Ln(33i)

●求ez把区域映射成什么区域，就是求ez的模和辐角的取值范围；●求lnz 把区域映射成什么区域，就是求lnz的实部和虚部的取值范围；

●下面的函数在什么点有导数？求出导数。

2z1，zn，zz，x2yi(y2x)z2●求z(t)对t的导数。

z(t)eit，z(t)t2it3

●设lnz（ln10）是Lnz的一个解析分支，问ln(1i)可能的两个值是什么？●设lnz（ln12i）是Lnz的一个解析分支，问ln(1i)可能的两个值是什么？

提示：两种割线

扩展阅读：关于复变函数积分求解总结

关于求积分的各种方法的总结

摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要总结归纳求积分的各种方法.其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式和用留数定理求积分等方法.现将这些方法逐一介绍.关键词：积分，解析，函数，曲线

1.利用定义求积分

例1、计算积分xyix2dz，积分路径C是连接由0到1i的直线段.

c解：yx0x1为从点0到点1i的直线方程，于是

xyixdz2cxyixdxiy

201ixxixdxix

20xx011iixdx1i3.

2.利用柯西积分定理求积分

柯西积分定理：设fz在单连通区域

D内解析，C为D内任一条周线，则

fzdzc0.

D柯西积分定理的等价形式：设C是一条周线，

DDC上解析，则fzdz0.

c为C之内部，fz在闭域

例2、求coszzidz，其中C为圆周z3i1，

c解：圆周C为z3z1，被积函数的奇点为i，在C的外部，

于是，

coszzi在以C为边界的闭圆z3i1上解析，

coszzidz0.

故由柯西积分定理的等价形式得c如果D为多连通区域，有如下定理：

设D是由复周线CC0C1C2Cn所构成的有界多连通区域，fz在D内解析，在DDC 上连续，则fzdz0.

c例3.计算积分dzz16z3z1.

1分析：被积函数Fzz3z1在C上共有两个奇点z0和z，在z1内

31作两个充分小圆周，将两个奇点挖掉，新区域的新边界就构成一个复周线，可应用上定理.

解：显然，

1z3z11z33z1

为心，充分小半径r16任作以z0与以z12:zr313的圆周1:zr及

，将二奇点挖去，新边界构成复周线C12C:z1.

dzz3z1z1z3z12dz

12z3z1z3z1

1dzdzdzz13dz3z11dzz2z3dz3z12

dzdzz1dz1z31dz221z3

0. 3.利用柯西积分公式求积分

设区域D的边界是周线或复周线C，函数fz在D内解析，在DDC上连续，则有fz12icfz2dzD，即fcd2ifz.

z例4.计算积分2zz1z1cdz的值，其中C:z2

解：因为fz2z2z1在z2上解析，

z1z2，由柯西积分公式得2zz1z22z12dz2i2zz1.

设区域D的边界是周线或复周线C，函数fz在D内解析，在DDC上连续，则函数fz在区域D内有各阶导数，并且有fnzdn12iczn!fzDn1,2即c例5.计算积分coszdzdn1zf2in!fnz.

czi3，其中C是绕i一周的周线.

解：因为cosz在z平面上解析，

所以e1coszczii.

dz32i2!cosz|ziicosi

e2例6.求积分c921d，其中C为圆周2.

解：

c921didc92

5 另外,若a为周线C内部一点，则dzdz2icza

zacn0（n1，且n为整数）.

4.应用留数定理求复积分

fz在复周线或周线C所围的区域D内，除a1,a2,an外解析，在闭域DDC上除a1,a2,an外连续，则fzdz2iResfz.

ck1zakn设a为fz的n阶极点，fzzzan，其中z在点a解析，a0，则

Resfzzaa.

n1!5z2z2n1例7.计算积分zz12dz

解：被积函数fz5z2zz12在圆周z2的内部只有一阶极点z0及z1，

Resfzz05z2z22|z02

25z2Resfz||2z12z1z1zz因此，由留数定理可得

5z2z2zz12dz2i220.

例8.计算积分解：fzz13coszz1z3dz.

cosz只以z0为三阶极点，

12Resfzz02!coszz0

由留数定理得coszz1z31dz2ii.

25.用留数定理计算实积分

某些实的定积分可应用留数定理进行计算，尤其是对原函数不易直接求得的定积分和反常积分，常是一个有效的办法，其要点是将它划归为复变函数的周线积分.5.1计算Rcos,sind型积分

02令ze，则cos2izz21，sinzz2i1，ddziz，

此时有0zz1zz1,Rcos,sindRz122idziz.例9.2dacos0a1

12解：令zei，则cosI2izz，d1dziz，

zzz1dz，其中aa21，aa21，

1,1,1，

应用留数定理得I2a12.

若Rcos,sin为的偶函数，则Rcos,sind之值亦可用上述方法求之，

0因为此时Rcos,sind01Rcos,sind，仍然令ze.2i例10.计算taniad（a为实数且a0）

0分析：因为tania1eie2iai2iai11，

直接令e2iaiz，则dze2iai2id，

于是tania解：I11z1iz1.

iz12izcz11dz1dz2zz1cz1应用留数定理，当a0时，Ii当a0时，Ii.5.2计算PxQxdx型积分

例11.计算xdx423xz24.

23424解：函数fz2323z在上半平面内只有zi一个四阶极点，令ia，zat则fzz3444z4223z44

zaza

ta44443tt2a144a4at6at4att4322343223343t16a32a24at8att 211tt4423t168a32aResfzza1332a43

i5766即Resfzz23i133242i33

故 xdx423x242ii57662886.