非线性泛函分析试题与答案

一. 名词解释 弱收敛，弱*收敛，,0

()k p

W Ω，强制，Gateaux 可微，Frechet 可微，紧映射，正则点，临界点，正则值，临界值，2

C 映射的Brouwer 度，全连续场，全连续场的Leray -Schauder 度 二. 举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。 三. 求下列函数在(0,0)处沿着12(,)h h 方向的G -微分

212

1222

1212,(,)(0,0)()0,(,)(0,0)x x x x f x x x x x ?≠?=+??=?

四. 证明Poincare 不等式：存在常数0C >使得对任意1,{|,([0,],)}p

p n T

u W

u u u L T R ?

∈=∈，有

1,p T

W u

C u ∞

≤

五. 设n

R Ω?是有界闭集，(,,)k x y u 是2

R Ω?上的连续函数，证明积分算子

:()(), ()()(,,())K C C K x k x y y dy ??Ω

Ω→Ω=?

是全连续算子。

六. 设X 是Banach 空间，:[0,)f X X +∞?→连续，对固定的[0,)t ∈+∞，(,)f t x 关于x 是局部Lipschitz 的，并且Lipschitz 常数对t 在有界区间[0,]α上一致有界，证明：存在0β>，使得下列初值问题在区间[0,]β上有唯一解

(,)

(0)dx

f t x dt

x x ?=???=? 七. 证明Gronwall 不等式：设,,u v w 是[,]a b 上的实函数，其中u 非负且在[,]a b 上Lebesgue 可积，v 在[,]a b 上绝对连续，w 在[,]a b 上连续，若它们满足

()()()(), t

a

w t v t u s w s ds a t b ≤+≤≤?

则

()()exp(())exp(())

t t t

a

a

s

dv

w t v a u s ds u d ds ds

ττ≤+??? 八. 证明Brouwer 度的切除性、Kronecker 存在性定理、连通区性质、边界值性质、Poincare -Bohl 定理、锐角原理、缺方向性质。

九. 设:n n f R R R ?→连续，关于x 是局部Lipschitz 的，关于t 是T 周期的，若存在球(0)n

r B R ?使得

(0),[0,]r x B t T ∈?∈时，1

(,),(,)0n

i i i f t x x f t x x =<>=<∑，证明下列初值问题存在T 周期解

(,)

(0)dx

f t x dt

x x ?=???=? 十. 设n R Ω?是有界闭集，(,,)k x y u 是2R Ω?上的连续函数，并且满足下面的不等式

2|(,,)|||, (,,)k x y u a b u x y u R ≤+?∈Ω?

其中,0,()1a b b mes >?Ω<，证明下列积分方程有连续解

()(,,())x k x y y dy ??Ω

=?

十一. 设22

:f R R →定义为

3223(,)(3,3)f x y x xy x y y =--

证明2deg(,(0),)3f B p =，其中(1,0)p =.

一. 名词解释弱收敛:

弱*收敛:

, 0()

k p

W :

强制:

Gateaux可微:

Frechet可微:

紧映射:

正则点:临界点，正则值，临界值:

2

C映射的Brouwer度

全连续场

全连续场的Leray-Schauder 度

二. 举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。（5页）

三. 求下列函数在(0,0)处沿着12(,)h h 方向的G -微分

212

1222

12

12,(,)(0,0)()0,(,)(0,0)x x x x f x x x x x ?≠?=+??=?

四. 证明Poincare 不等式：存在常数0C >使得对任意1,{|,([0,],)}p p n T

u W

u u u L T R ?

∈=∈，有

1,p

T

W u

C u ∞

≤

五. 设n R Ω?是有界闭集，(,,)k x y u 是2

R Ω?上的连续函数，证明积分算子

:()(), ()()(,,())K C C K x k x y y dy ??Ω

Ω→Ω=?

是全连续算子。(44页)

六. 设X 是Banach 空间，:[0,)f X X +∞?→连续，对固定的[0,)t ∈+∞，(,)f t x 关于x 是局部Lipschitz 的，并且Lipschitz 常数对t 在有界区间[0,]α上一致有界，证明：存在0β>，使得下列初值问题在区间[0,]β上有唯一解

0(,)(0)dx

f t x dt x x ?=???=?（59页）

七. 证明Gronwall 不等式：设,,u v w 是[,]a b 上的实函数，其中u 非负且在[,]a b 上Lebesgue 可积，v 在[,]a b 上绝对连续，w 在[,]a b 上连续，若它们满足（61页）

()()()(), t

a

w t v t u s w s ds a t b ≤+≤≤?

则

()()exp(())exp(())

t t t

a

a

s

dv w t v a u s ds u d ds ds ττ≤+???

八. 证明Brouwer度的切除性、Kronecker存在性定理、连通区性质、边界值性质、Poincare-Bohl定理、锐角原理、缺方向性质。（83页）

九. 设:n n f R R R ?→连续，关于x 是局部Lipschitz 的，关于t 是T 周期的，若存在球(0)n

r B R ?使得

(0),[0,]r x B t T ∈?∈时，1

(,),(,)0n

i i i f t x x f t x x =<>=<∑，证明下列初值问题存在T 周期解（91页）

(,)

(0)dx

f t x dt

x x ?=???=?

十. 设n

R Ω?是有界闭集，(,,)k x y u 是2

R Ω?上的连续函数，并且满足下面的不等式

2|(,,)|||, (,,)k x y u a b u x y u R ≤+?∈Ω?

其中,0,()1a b b mes >?Ω<，证明下列积分方程有连续解

()(,,())x k x y y dy ??Ω

=?

十一. 设2

2

:f R R →定义为

3223(,)(3,3)f x y x xy x y y =--

证明2deg(,(0),)3f B p =，其中(1,0)p =. (春雪给的)