2019届江苏省扬州中学高三下学期4月质量检测数学理(含答案)

江苏省扬州中学2019届高三

数学理 I 试题

注意事项：

1．本试卷共160分，考试时间120分钟；

2．答题前，请务必将自己的姓名学校、考试号写在答卷纸的规定区域内； 3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B 铅笔．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1.设集合{}

2|230A x Z x x =∈--<，{}1,0,1,2B =-，则A B =I .

2. 在复平面内，复数

1

1i

-对应的点位于第 象限. 3. “a b >”是“ln ln a b >”的 条件.

(填:充分不必要，必要不充分,充分必要,既不充分也不必要) 4．将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，现场作 的7个分数的茎叶图如图，则5个剩余分数的方差为 .

5．某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个 社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为_________.

6.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 .

7.已知焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为6

p

，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为 .

8．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的

正方形，则该圆柱的表面积为 .

9. 设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =u u u r ，4AD =u u u r

．若点,M N 满足

3BM MC =u u u u r u u u u r ，2DN NC =u u u r u u u r ，则AM NM ?=u u u u r u u u u r

．

10.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是 ．

11. 已知函数e 0()ln 0x x f x x x ?≤=?

>?，，

，，

()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 ．

12．已知公差为d 的等差数列{}n a 满足0d >，且2a 是14a a 、的等比中项；记2n

n b a =(*)n N ∈，则对任意的

正整数n 均有

12111

2n

b b b ++???+<，则公差d 的取值范围是 ． 4

13.已知点Q(0,5)，若P,R 分别是e O: 224x y +=和直线3

4

y x =上的动点， 则QP QR +u u u r u u u r 的最小值为 ．

14.用max {,,}a b c 表示,,a b c 中的最大值, 已知实数,x y 满足01x y ≤≤≤， 设M=max {,1,2}xy xy x y x y xy --++-,则M 的最小值为 ．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤．）

15. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过

点P （34

55

-，-）．

（1）求tan 2α的值； （2）若角β满足sin （α+β）=5

13

，求cos β的值．

16. 如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C 是菱形，1AC 与1A C 交于点O ，E 是棱AB 上一点，且//OE 平面11BCC B . （1）求证：E 是AB 的中点；

（2）若11AC A B ⊥，求证: 1AC CB ⊥.

17.已知椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为6

3以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的

面积为2。

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交与A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆截直线1x =5l 的方程。

图（1）

图（2）

18、如图（1）是某水上乐园拟开发水滑梯项目的效果图，考虑到空间和安全方面的原因，初步设计方案如下：如图（2），自直立于水面的空中平台CP 的上端点P 处分别向水池内的三个不同方向建水滑道

PB PM PA ,,，

水滑道的下端点A M B ,,在同一条直线上，0

120,10=∠=BCA m CM ，CM 平分BCA ∠，假设水滑梯的滑道可以看成线段，A M B ,,均在过C 且与PC 垂直的平面内，为了滑梯的安全性，设计要求ACB PCA PCB S S S ???≤+2. （1）求滑梯的高PC 的最大值；

（2）现在开发商考虑把该水滑梯项目设计成室内游玩项目，且为保证该项目的趣味性，设计0

30PBC ∠=，求该滑梯装置（即图（2）中的几何体）的体积最小值.

19.已知函数32()f x ax bx cx d =+++()a b c d R ∈、、、，设直线12l l 、分别是曲线()y f x =的 两条不同的切线；

（1）若函数()f x 为奇函数，且当1x =时，()f x 有极小值为4-； ()i 求a b c d 、、、的值；

()ii 若直线3l 亦与曲线()y f x =相切，且三条不同的直线123l l l 、、交于点(, 4)G m ，求实数m

的取值范围；

（2）若直线12//l l ，直线1l 与曲线()y f x =切于点B 且交曲线()y f x =于点D ，直线2l 与曲线()y f x =切于点

C 且交曲线()y f x =于点A ，记点A B C

D 、、、的横坐标分别为A B C D x x x x 、、、，求():():()A B B C C D x x x x x x ---的值．

20.如果数列{}n a 满足“对任意正整数,,i j i j ≠，都存在正整数k ，使得k a =i a j a ”，则称数列{}n a 具有“性质P ”.已知数列{}n a 是无穷项的等差数列，公差为d

（1）若1=2a ，公差=3d ，判断数列{}n a 是否具有“性质P ”，并说明理由； （2）若数列{}n a 具有“性质P ”，求证：10a ≥且0d ≥；

（3）若数列{}n a 具有“性质P ”，且存在正整数k ，使得2018k a =，这样的数列共有多少个？并说明理

由.

数学II 试题（附加题）

1.已知矩阵2101??=????A ，向量102??=??

??

b ．求向量a ，使得2

=A a b ．

2.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为

(t 为参数),圆C 的参数方程是

(θ为

参数),直线l 与圆C 交于两个不同的点A 、B,点P 在圆C 上运动,求 △PAB 面积的最大值.

3.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=?， 4AD AP ==，2AB BC ==，

M 为PC 的中点．

（1）求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；

（2）点N 在线段AD 上，且AN λ=，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为4

5

，求λ的值．

4.如图，将一个正三角形ABC 的每一边都(2)n n ≥等分后，过各分点作其它两边的平行线形成一个三角形

A

B

C

D

N

P

M （第3题）

网.记()f n 为n 等分后图中所有梯形的个数. （1）求(2),f (3)f 的值； （2）求()f n (4)n ≥的表达式.

答案

1.{}0,1,2 2．一 3. 必要不充分条件 4. 6. 5.0.5 6.56 7.22

1124x y -=

8. 24p 9．9 10.

π4

11. [)1,-+∞ 12. 1[, )2d ∈+∞． 13. 6 14. 4

9

15解答：（1）4tan 3α=

，2

2tan 24

tan 21tan 7

ααα==--. （2）∵()βαβα=+-，∴cos cos[()]βαβα=+-，

∵5sin()13αβ+=，∴12

cos()13αβ+=±，

又∵4sin 5α=-，且α终边在第三象限，∴3

cos 5α=-.

①当12

cos()13

αβ+=时，

cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++ 12354362056()()1351356565

--=?-+?-==-. ②当12

cos()13

αβ+=-时，

cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++

1235416

()()()13513565

=-?-+?-=

.

16.

18（1）由椭圆()222210x y a b a b

+=>>的离心率为6

3

得6c a =，3b a = ….… ….….….….….….….….…2分 由2

1222223

S c b a =??=

=得6a = ….….….….….….…4分 2b = ….….….….….….…5分

所以椭圆方程为

22

162

x y +=． ….….….….….….…6分

（2）解：设直线():2AB l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,M x y ．

联立方程()222360y k x x y ?=-??--=??得()

2222

13121260k x k x k +-+-=，

22121222

12126

,1313k k x x x x k k

-+==++. ….….….….…8分

()22122

261113k AB k x x k

+=+-=

+． ….….….….…10分

所以2

02

613k x k =+，

点M 到直线1x =的距离为22

022

316111313k k d x k k

-=-=-=++．.….….…12分 由以线段AB 为直径的圆截直线1x =5

2

2

2

52AB d ??-= ?????

，所以()2

2

222226131513132k k k k ?+????-?-= ? ? ?++???

?????， 解得1k =±，

所以直线l 的方程为2y x =-或2y x =-+．….….….….….….….….….…14分 18.

19.解析：（1）()i 本小题：紧扣定义，用好条件，注意检验．

∵()f x 是奇函数，且x R ∈；∴(0)0f d ==，且3232a bx cx a bx cx -+-=---即0b =； ∴3()f x ax cx =+；∴2'()3f x ax c =+，而当1x =时有极小值4-； ………………… 2分

∴3'(1)0302

()26(1)446f a c a f x x x f a c c =+==??????=-?

??=-+=-=-???； …………………… 4分 经检验3()26f x x x =-满足题意，则2060a b c d ===-=、、、．…………………… 5分

()ii 本小题：三次函数的切线处理方法要洞明．

设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，由()i 知：300

026y x x =-，200'()66f x x =-； ∴过P 点的切线方程为：2000(66)()y y x x x -=--，消去0y 即得：23

00(66)4y x x x =--；

由此切线方程形式可知：过某一点的切线最多有三条；

又由奇函数性质可知：点3(1, 4)P -是极大值点；从而3:4l y =是一条切线且过点(, 4)m ； 再设另两条切线的切点为111(, )P x y 、222(, )P

x y ，其中121x x ≠≠-； 则可令切线23111:(66)4l y x x x =--，23

222:(66)4l y x x x =--；

将(, 4)G m 代入12l l 、的方程中，并化简可得：23113(1)2(1)m x x -=+且23

223(1)2(1)m x x -=+；

从而有：21112(1)3(1)x x m x -+=-且2

2222(1)

3(1)

x x m x -+=-；………………………………………… 8分

∴12x x 、是方程22(1)

3(1)x x m x -+=-的两根；（下面考察m 取何值时，该方程有两个不相等的实根）

构造函数：22(1)21

()(11)3(1)31

x x g x x x x -+==-++--，

2

21

'()[1]3(1)g x x =--；由'()00 2g x x x =?==或，

而2

(0)3

g =-，(2)2g =，

实数m 的取值范围是：2

(, 1)(1, )(2, )3

-∞---+∞U U ．……………… 10分

（2）注意：第1小题与第2小题没有递进关系．

令1B x x =，2C x x =；由2'()32f x ax bx c =++及12//l l 可得：22

11223232ax bx c ax bx c ++=++；

而12x x ≠，化简可得：1223b x x a +=-

，即2123b

x x a

=--；……………… 12分 将切线1l 的方程21111(32)()y y ax bx c x x -=++-代入()y f x =中并化简得：（注意切点横坐标是其一解）

3223

21111(32)20ax bx ax bx x ax bx +-+++=，即211()(2)0b a x x x x a -++=，∴12D b x x a

=--；

同理，21223A b b x x x a a =--

=+

；则13A B b x x x a -=+，1223B C b x x x a -=+，13C D b

x x x a

-=+； ∴():():()1:2:1A B B C C D x x x x x x ---=．■ …………………………… 16分

20. 解：（Ⅰ）若12a =，公差3d =，则数列{}n a 不具有性质P ．

理由如下：

由题知31n a n =-，对于1a 和2a ，假设存在正整数k ，使得12k a a a =，则有312510k -=?=，解得11

3

k =

，矛盾！所以对任意的*k ∈N ，12k a a a ≠． ……3分 （Ⅱ）若数列{}n a 具有“性质P”，则 ①假设10a <，0d ≤，则对任意的*n ∈N ，1(1)0n a a n d =+-?<.

设12k a a a =?，则0k a >，矛盾！

②假设10a <，0d >，则存在正整数t ，使得

123120t t t a a a a a a ++<<

设111t k a a a +?=，212t k a a a +?=，313t k a a a +?=，…，1121t t k a a a ++?=，*

i k ∈N ，1,2,,1i t =+L ，

则12310t k k k k a a a a +>>>>???>，但数列{}n a 中仅有t 项小于等于0，矛盾！

③假设10a ≥，0d <，则存在正整数t ，使得

123120t t t a a a a a a ++>>>???>≥>>>???

设112t t k a a a ++?=，

213t t k a a a ++?=，314t t k a a a ++?=，…，1122t t t k a a a +++?=，*i k ∈N ，1,2,,1i t =+L ，则12310t k k k k a a a a +<<<

综上，10a ≥，0d ≥． ·

··························································· 8分 （Ⅲ）设公差为d 的等差数列{}n a 具有“性质P”，且存在正整数k ，使得2018k a =．

若0d =，则{}n a 为常数数列，此时2018n a =恒成立，故对任意的正整数k ，

21220182018k a a a =≠=?，

这与数列{}n a 具有“性质P”矛盾，故0d ≠． 设x 是数列{}n a 中的任意一项，则x d +，2x d +均是数列{}n a 中的项，设

1()k a x x d =+，2(2)k a x x d =+

则2121()k k a a xd k k d -==-?，

因为0d ≠，所以21x k k =-∈Z ，即数列{}n a 的每一项均是整数．

由（Ⅱ）知，10a ≥，0d ≥，故数列{}n a 的每一项均是自然数，且d 是正整数．

由题意知，2018d +是数列{}n a 中的项，故2018(2018)d ?+是数列中的项，设

2018(2018)m a d =?+，则

2018(2018)2018201820172018()m k a a d d m k d -=?+-=?+=-?，

即(2018)20182017m k d --?=?．

因为2018m k --∈Z ，*d ∈N ，故d 是20182017?的约数．

所以，1,2,1009,2017,21009,22017,10092017d =???,210092017??．

当1d =时，12018(1)0a k =--≥，得1,2,...,2018,2019k =，故

12018,2017,...,2,1,0a =，共2019种可能；

当2d =时，120182(1)0a k =--≥，得1,2,...,1008,1009,1010k =，故

12018,2016,2014,...,4,2,0a =，共1010种可能；

当1009d =时，120181009(1)0a k =-?-≥，得1,2,3k =，故 12018,1009,0a =，共3种可能；

当2017d =时，120182017(1)0a k =--≥，得1,2k =，故

12018,1a =，共2种可能； 当21009d =?时，120182018(1)0a k =-?-≥，得1,2k =，故 12018,0a =，共2种可能；

当22017d =?时，1201822017(1)0a k =-??-≥，得1k =，故

12018a =，共1种可能； 当10092017d =?时，1201810092017(1)0a k =-??-≥，得1k =，故 12018a =，共1种可能；

当210092017d =??时，12018210092017(1)0a k =-???-≥，得1k =，故

12018a =，共1种可能．

综上，满足题意的数列{}n a 共有201910103221113039+++++++=（种）．

经检验，这些数列均符合题意． ·

······················································· 16分

附加题

2.由直线l 的参数方程为

(t 为参数),

可得直线l 的普通方程为x+y-1=0,

由圆C 的参数方程为(θ为参数),

可得圆C 的普通方程为x 2+y 2=1,

所以解得或

所以相交的两点的坐标分别为(1,0),(0,1),所以|AB|=.

设点P(cos θ,sin θ),则点P 到直线l 的距离为d==,当θ=π时,d 取得最大值1+.

所以△PAB 的面积的最大值为|AB|·d=××=.

3.（1）因为PA ⊥平面ABCD ，且,AB AD ?平面ABCD ，

所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，

又因为90BAD ∠=?，所以,,PA AB AD 两两互相垂直． 分别以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，

则由224AD AB BC ===，4PA =可得

(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,4)P ，

又因为M 为PC 的中点，所以(1,1,2)M ．

所以(1,1,2)BM =-u u u u r ，(0,0,4)AP =u u u r

，…………2分

所以cos ,||||AP BM AP BM AP BM ???=u u u r u u u u r

u u u r u u u u r u u u r u u u u r 6

46

==?，

所以异面直线AP ，BM 所成角的余弦值为6

．…………………………5分 （2）因为AN λ=，所以(0,,0)N λ(04)λ≤≤，则(1,1,2)MN λ=---u u u u r

，

(0,2,0)BC =u u u r ，(2,0,4)PB =-u u u r

，

设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =m ，

则0,0,

BC PD ??=?

??=??u u u r u u u r

m m 即20,240.y x z =??-=? 令2x =，解得0y =，1z =， 所以(2,0,1)=m 是平面PBC 的一个法向量．……………………………7分 因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为

45

， 所以222||4

|cos ,|5

||||5(1)5MN MN MN λ--???===+-?u u u u r

u u u u r u u u u r m m m ， 解得[]10,4λ=∈，所以λ的值为1．…………………10分

4.