已知函数单调性求参数范围公开课教案
已知函数单调性求参数范围 教学目标 1.知识与技能:学会利用导数来解决已知单调性求参数范围问题; 2.过程与方法:通过实例讲解,归纳,解决问题的方法; 3.情感与态度:通过问题的解决,体会转化思想的应用. 教学重点 已知单调性,利用导数求参数范围. 教学难点 不同问题的处理方法. 教学过程 (一)知识梳理 函数y =f (x )的导数为)('x f y =,对于区间(a ,b ). 1.若y =f (x )的单调区间为(a ,b ),则? ??==0)('0)('b f a f 2.若y =f (x )在区间(a ,b )上单调递增(递减),则)0)('(0)('≤≥x f x f 在(a ,b )上恒成立. (二)典例分析 例1 函数)(ln )(22R a ax x a x x f ∈+-=的单调递减区间是),1(+∞,求a 的值. 例2 函数)(ln )(22R a ax x a x x f ∈+-=在),1(+∞上是减函数, 求a 的取值范围. 例3 函数)0(22 1ln )(2<--=a x ax x x f 在定义域内单调递增,求a 的取值范围. 例4 函数1331)(223+-+=x m mx x x f 在区间)3,2(-上是减函数,求m 的取值范围. 例5已知R a ∈,函数3)1()(223+-+-=x a ax x x f 在)0,(-∞和),1(+∞上都是增函数, 求a 的取值范围.
(三)课时小结 本节课主要介绍了已知函数单调性来利用导数求参数范围. (四)备用练习 1.函数)0(3)(223>+-+=a x a ax x x f 在[-1,1]上没有极值点, 求a 的值. 2.函数)0(1)(2>+=a ax e x f x 在R 上为单调函数, 求a 的取值范围. 3.函数1)5()1()(23-++-+=x k x k x x g 在区间) (3,0上有极值点,求参数k 的取值范围。 (五)作业布置 <<状元之路>>第48页 11,12
1函数的单调性(教师版)
函数的单调性 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 通过已学过的函数模型,特别是二次函数,理解函数的单调性; 2、 掌握单调性的判断方法,并能简单应用; 一、函数单调性的定义 1、图形描述: 对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上,若其图像为从左到右的一条上升的曲线,我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递增函数;若其图像为从左到右的一条下降的曲线,我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递减函数。 2、定量描述 对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x , (1)若当1x <2x 时,都有1()f x <)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是增函数; (2)若当1x <2x 时,都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是减函数。 3、单调性与单调区间 若函数y =)(x f 在某个区间是增函数或减函数,则就说函数)(x f 在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的。 特别提醒: 1、函数是增函数还是减函数,是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上不是增函数.例如函数2 x y =(图1),当[)0,x ∈+∞时是增函数,当(] ,0 x ∈-∞时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的。2、函数的单调区间是其定义域的子集;3、21,x x 应是该区间内任意的两个实数,忽略需要任意取值这个条件,就不能保证函数是增函数(或减函数)。 二、用定义证明函数的单调性: 定义法证明函数在某个区间上是增(减)函数是最基本方法其步骤是: 1、取量定大小:即设21,x x 是区间上的任意两个实数,且1x <2x ; 2、作差定符号:即()()12f x f x -,并通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形; 3、判断定结论: 即根据定义得出结论。
(完整版)2-4已知单调性求参数取值范围
【知识点4】已知单调性求参数取值范围 1. 思路提示:⑴对于函数在某个区间上单调递增或单调递减的问题,转化为导函数在此区 间上恒为非负或非正的问题,进而转化为导数在该区间上的最值问题. ⑵对于可导函数在某个区间不单调的问题,转化为导函数在此区间无实根,可 结合导函数的图像给出此问题的充要条件,从而求解. ⑶对于只有一个极值点的导函数研究其相关问题(如在给定区间上恒为正或负 以及根的分布等),往往可以类比二次函数在区间上的最值或根的分布求解. 例1:已知函数422()32(31)2(31)4f x ax a x a x x =-+-++ (I )当16 a =时,求()f x 的极值; (II )若()f x 在()1,1-上是增函数,求a 的取值范围 例2:已知函数32()1()f x x ax x a R =+++∈ (I )讨论函数()f x 的单调区间; (II )设函数()f x 在区间31(,)23 --内是减函数,求a 的取值范围. 例3:已知函数2()(2)ax f x ax x e =-,其中a 为常数,且0a ≥. (I )若1a =,求函数()f x 的极值点; (II )若()f x 在区间内单调递增,求a 的取值范围. 例4:已知函数32()f x ax bx =+()x R ∈的图像过点(1,2)P -,且在点P 处的切线恰好与直线30x y -=垂直. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式; (II )若函数()f x 在区间[],1m m +上单调递增,求实数m 的取值范围.
例5:已知函数32 ()(1)(2)(,)f x x a x a a x b a b R =+--++∈. (Ⅰ)若函数()f x 的图像过原点,且在原点处的切线斜率是3-,求,a b 的值; (II )若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调,求a 的取值范围. 例6:设()1x e f x ax =+,其中a 为正实数 (Ⅰ)当a 43 =时,求()f x 的极值点; (Ⅱ)若()f x 为R 上的单调函数,求a 的取值范围. 例7:设()2 x e f x =,其中a 为正实数. (Ⅰ)当34 a =时,求()f x 的极值点; (Ⅱ)若()f x 为R 上的单调函数,求a 的取值范围. 例8:设3211()232 f x x x ax =-++ (I)若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间,求a 的取值范围. (II )当02a <<时,()f x 在[1,4]的最小值为163 - ,求()f x 在该区间上的最大值. 例9:已知a ,b 是实数,函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+= )(x f '和)(x g '是)(),(x g x f 的导函数,若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立,则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致
函数单调性
函数单调性及其应用 1.一元函数单调性及其应用 2.多元函数单调性及其应用 2.1 多元函数单调性的定义 一元函数)(x f y =在某个区间上的单调性,如该区间为),(+∞-∞时,可看成该函数在有向直线x 轴上的单调性;如该区间为[]b a ,或()b a ,时,可以看成该函数在x 轴上的一条有向线段(方向与x 轴正方向相同)上的单调性等等,类似地,可定义二元函数在xoy 面上的一条有向线段,有向直线或射线上的单调性。 定义 设AB 为xoy 面上的一条有向线段,二元函数),(y x f z =在AB 上有定义,对于AB 任意两点21,P P ,设21P P 与AB 同向。 若)()(21P f P f <,则称二元函数),(y x f z =在AB 上单调增加。 若)()(21P f P f >,则称二元函数),(y x f z =在AB 上单调减少。 2.2多元函数单调性的判别法 如果),(y x f u =在点),(y x P 可微,l 的方向余弦是βαcos ,cos ,则),(y x f u =在),(y x P 沿射线l 的方向导数存在,且 βαcos cos y f x f l f ??+??=??。其中l 是),(y x P 出发的一条射线,他的方向向量记作l 由二元函数的中值公式:),(),(0000y x f k y h x f -++ =k h y h x f h k y h x f y x ),(),(0000?+?++?+?+θθθθ 定理 1 设二元函数),(y x f z =在区域I 内连续,有向线段I AB l ?=,且),(y x f z =在),(B A 内每个点处都可微,则在),(B A 内至少存在一点C ,使得 AB l f A f B f C ???=-)()( 其中),(B A 表示有向线段AB 上不包括两个端点的所有点构成的点集。AB 表示AB 的长度,l 是点A 出发的并且经过点B 的一条射线。 定理2 设二元函数),(y x f z =在区域I 内连续,有向线段I AB l ?=,且
函数单调性方法和各种题型
(一)判断函数单调性的基本方法 Ⅰ、定义法: 定义域判断函数单调性的步骤:取值、作差(或商)变形、定号、判断。例1:已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性并证明 Ⅱ、直接法(一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出): 在公共区间内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数 例2:判断函数y=-x+1+1/x在(0,+∞)内的单调性 Ⅲ、图像法: 说明:⑴单调区间是定义域的子集 ⑵定义x 1、x 2 的任意性 ⑶代数:自变量与函数值同大或同小→单调增函数 自变量与函数相对→单调减函数 例3:y=|x2+2x-3| 练习:
(二) 函数单调性的应用 Ⅰ、利用函数单调性求连续函数的值域(最值) 根据增函数减函数的定义我们可得到如下结论: (1)若 f(x)在某定义域[a,b]上是增函数,则当x=a 时, f(x) 有最小值f(a),当 x=b 时, f(x)有最大值 f(b)。 (2)若 f(x)在某定义域[a,b]上是减函数,则当x=a 时, f(x) 有最大值f(a),当 x=b 时, f(x)有最小值 f(b)。 例1:求下列函数的值域 (1)y=x 2-6x+3, x ∈[-1,2] (2)y=-x 2+2x+2, x ∈[-1,4] 练习题: 1.已知函数f(x)在区间[a,c]上单调减小,在区间[c,b]上单调增加,则f(x)在 [a,b]上的最小值是 ( ) 2.数f(x)=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,则f(1)的取值范围是 ( ) 3、( )有函数13+--=x x y 存在、最大值、最小值都不,最小值、最大值,最小值、最大值,最小值、最大值D C B A 4 -44 -00 4 4、](()()的值域为 时,函数当1435,02+-=∈x x x f x ()()][()()]()][5,5,323205,0f c D f f C f f B f f A 、、、、、????? ? ??????????? ?? 5、求函数y=-x-6+ 的值域 x -1
导数中的求参数取值范围问题
帮你归纳总结(五):导数中的求参数取值围问题 一、常见基本题型: (1)已知函数单调性,求参数的取值围,如已知函数()f x 增区间,则在此区间上 导函数()0f x '≥,如已知函数()f x 减区间,则在此区间上导函数()0f x '≤。 (2)已知不等式恒成立,求参数的取值围问题,可转化为求函数的最值问题。 例1.已知a ∈R ,函数2 ()()e x f x x ax -=-+.(x ∈R ,e 为自然对数的底数) (1)若函数()(1,1)f x -在单调递减,求a 的取值围; (2)函数()f x 是否为R 上的单调函数,若是,求出a 的取值围;若不是,请说明 理由. 解: (1) 2-()()e x f x x ax =-+ -2 -()(2)e ()(e )x x f x x a x ax '∴=-++-+-=2-(2)e x x a x a ??-++??. ()()f x 要使在-1,1上单调递减, 则()0f x '≤ 对(1,1)x ∈- 都成立, 2 (2)0x a x a ∴-++≤ 对(1,1)x ∈-都成立. 令2 ()(2)g x x a x a =-++,则(1)0, (1)0. g g -≤?? ≤? 1(2)01(2)0 a a a a +++≤?∴?-++≤?, 3 2a ∴≤-. (2)①若函数()f x 在R 上单调递减,则()0f x '≤ 对x ∈R 都成立 即2-(2)e 0x x a x a ??-++≤?? 对x ∈R 都成立. 2e 0,(2)0x x a x a ->∴-++≤ 对x ∈R 都成立 令2 ()(2)g x x a x a =-++, 图象开口向上 ∴不可能对x ∈R 都成立 ②若函数()f x 在R 上单调递减,则()0f x '≥ 对x ∈R 都成立, 即2-(2)e 0x x a x a ??-++≥?? 对x ∈R 都成立, e 0,x -> 2(2)0x a x a ∴-++≥ 对x ∈R 都成立. 22(2)440a a a ?=+-=+> 故函数()f x 不可能在R 上单调递增. 综上可知,函数()f x 不可能是R 上的单调函数 例2:已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈, 若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切
导数中含参数单调性及取值范围
应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点;利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题;利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点;将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用,仍将是高考压轴题. 一. 含参数函数求单调性(求可导函数单调区间的一般步骤和方 法:(1)确定函数定义域;(2)求导数;(3)令导数大于0,解得增区间, 令导数小于0,解得减区间.) 例1(2012西2)已知函数2221 ()1 ax a f x x +-=+,其中a ∈R . (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在原点处的切线方程; (Ⅱ)求)(x f 的单调区间. (1a =22()1 x f x x = +22(1)(1)()2 (1)x x f x x +-'=-+ (0)2f '=()y f x =20x y -= 2()(1) ()2 1x a ax f x x +-'=-+ 0a =2 2()1 x f x x '=+.所()f x (0,)+∞(,0)-∞ 0a ≠2 1 ()() ()21x a x a f x a x +-'=-+ , 0a >()0f x '=1x a =-21 x = ()f x ()f x ' 【 )(x f (,)a -∞-1(,)a +∞1 (,)a a - 0a <()f x ()f x '
% ()f x 1 (,)a -∞1(,)a a --(,)a -+∞ 0a = 0a >)(x f 1(0,)a 1(,)a +∞)(x f (0,)+∞21 ()0f a a => 0x )(x f 2012a x a -=01 x a <0x x >()0f x >0x x <()0f x < )(x f [0,)+∞(0)0f ≤11a -≤≤ 0a >)(x f [0,)+∞a (0,1] 0a <)(x f (0,)a -(,)a -+∞)(x f (0,)+∞()1f a -=- )(x f [0,)+∞(0)0f ≥1a ≥1a ≤- 0a <)(x f [0,)+∞a (,1]-∞- | a (,1](0,1]-∞- 例2 设函数f (x )=ax -(a +1)ln(x +1),其中a ≥-1,求f (x )的单调区间. 【()f x (1,)-+∞'1()(1),1 ax f x a x -=≥-+ 10a -≤≤'()0,f x <()f x (1,)-+∞ 0a >'()0,f x =1.x a = '()f x x 1(1,)x a ∈-' ()0,f x <()f x 1(1,)a -
(完整版)2-4已知单调性求参数取值范围
【知识点4】已知单调性求参数取值范围 1?思路提示:⑴对于函数在某个区间上单调递增或单调递减的问题,转化为导函数在此区间上恒为非负或非正的问题,进而转化为导数在该区间上的最值问题? ⑵对于可导函数在某个区间不单调的问题,转化为导函数在此区间无实根,可结合导 函数的图像给出此问题的充要条件,从而求解 ⑶对于只有一个极值点的导函数研究其相关问题(如在给定区间上恒为正或负以及根 的分布等),往往可以类比二次函数在区间上的最值或根的分布求解 例1:已知函数f(x) 3ax42(3a 1)x22(3a 1)x24x 1 (I )当a 时,求f (x)的极值; 6 (ll )若f (x)在1,1上是增函数,求a的取值范围 3 2 例2:已知函数f (x) x ax x 1(a R) (I )讨论函数f (x)的单调区间; 3 1 (ll)设函数f(x)在区间(—,-)内是减函数,求a的取值范围 2 3 例3:已知函数f (x) (2ax x2)e ax,其中a为常数,且a 0. (l )若a 1,求函数f (x)的极值点; (ll )若f (x)在区间C 2,2)内单调递增,求a的取值范围? 3 2 例4:已知函数f(x) ax bx (x R)的图像过点P( 1,2),且在点P处的切线恰好与 直线x 3y 0垂直? (I )求函数f (x)的解析式; (ll)若函数f (x)在区间m,m 1上单调递增,求实数m的取值范围?
例5:已知函数f(x) x3(1 a)x2a(a 2)x b(a,b R). (I )若函数f (x)的图像过原点,且在原点处的切线斜率是3,求a,b的值; (II)若函数f (x)在区间(1,1)上不单调,求a的取值范围? e x 例6:设f (x) ,其中a为正实数 1 ax 4 (I)当a 时,求f (x)的极值点; 3 (n)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围 x e 例7:设f(x)—,其中a为正实数? 2 「3 (I )当a —时,求f (x)的极值点; 4 (n )若f (x)为R上的单调函数,求a的取值范围 1 3 1 2 例& 设f(x) x 3 x2 2ax 3 2 2 (I)若f(x)在(-,)上存在单调递增区间,求 3 a的取值范围. (II )当0 a 2时,f (x)在[1,4]的最小值为,求f(x)在该区间上的最大值. 例9:已知a,b是实数,函数f (x) x3ax,g(x) x2bx, (x)和g (x)是f (x), g(x) 的导函数,若 f (x)g(x) 0在区间I上恒成立,则称 f (x)和g(x)在区间I上单调性一
函数单调性讲解及常见类型(整理)
函数的单调性 题型一 判断、讨论、证明函数的单调性 1判断函数y=x- x 1在其定义域上的单调性。 2讨论并证明y=x+ x 1在定义域上的单调性。 3定义在R 上的函数f (x )对任意不相等实数a ,b 总有 ()()b a b f a f -->0成立,则必有 A 、函数f (x )是先增加后减小 B 、函数f (x )是先减小后增加 C 、f (x )在R 上是增函数 D 、f (x )在R 上是减函数 4已知b x k x f ++=)12()(在实数R 是减函数,则k 的取值范围为( ) 5已知函数),0(,)(2 +∞∈++=x c bx x x f 是单调函数,则实数b 的取值范围为( ) .0.≥b A 0.≤b B 0.>b C 0,f (8(x —2))的解集是 A 、(2,716) B 、(—∞,716) C 、(2,+∞) D 、(2,7 16)
题型四 用图形讨论函数单调性 1函数y=|x —3|—|x+1|的单调递减区间是 。 2画出函数223.y x x =-++的图像,并指出函数的单调区间 3画出函数y=|x|的图像,并判断其单调性。 4画出函数y=|x 2+2x-1|的图像,并指出其在R 上的单调性。 题型五 基本初等函数的单调性问题 1.设函数243,[1,4]y x x x =-+∈,则()f x 的最小值和最大值为( ) A.-1 ,3 B.0 ,3 C.-1,4 D.-2,0 2.函数f (x )=—x 2+2(a —1)x+2在(—∞,4)上是增函数,则a 的范围是 A 、a ≥5 B 、a ≥3 C 、a ≤3 D 、a ≤—5 3.已知22(2)5y ax a x =+-+在区间(4,)+∞上是减函数,则a 的范围是( ) A.25a ≤ B.25a ≥ C.25 a ≥或0a = D.0a ≤ 3.若函数242--=x x y 的定义域为[]m ,0,值域为[]2,6--,则m 的取值范围是( ) A 、(]4,0 B 、[]4,2 C 、(]2,0 D 、()4,2 4.函数32++=bx ax y 在(]1,-∞-上是增函数,在[)+∞-,1上是减函数,则( ) A 、00<>a b 且 B 、02<=a b C 、02>=a b D 、的符号不确定b a ,