能量原理的应用 变分法 变分法数学基础
第七章能量原理及其应用
偏微分方程求解的困难
——应力函数解法的限制
能量原理的应用
变分法
变分法数学基础
目录
§7.1基本概念
§7.2虚功原理
§7.3最小势能原理§7.4虚应力方程§7.5最小余能原理§7.6有限元概念
格林公式
§7.1基本概念
（密度）
外力功——变形体的能量关系变形能xz
xz yz
yz
xy
xy
z z y
y x
x U U U U U U γτγτγτεσεσεσ??=
??=??=??=
??=
??=
000
ij
ij U εσd d 0=xz
xz yz yz xy xy z z y y x x γτγτγτεσεσεσ+++++d d d d d ＝
注意
线弹性问题的变形能
)
(2
1
0xz xz yz yz xy xy z z y y x x U γτγτγτεσεσεσ+++++=ij
ij U εσ2
1
0=V
U U V
d 0???=
功－能关系
位移边界面力边界
V S u F V u F k
ij
s ij k
i
i k i
i d d d s b ???
?????=+εσ弹性体体积V ，表面积为S 。
位移给定表面S u 面力给定表面S σ
静力可能的应力与几何可能的位移
S =S u +S σ
b ,=+i j ij F σj
ij i n F σ=s )(21,,i j j i ij u u +=εi
i u u =S u
S σ
s ij
σ
k i
u
k ij
ε
§7.2虚功原理
弹性体处于平衡状态，对于满足变形连续条件的虚位移及其虚应变，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。
虚功原理
V
S u F V u F V
ij ij
V
S i
i
i
i
d d d s b ????????=+δεσ
δδσ
作用于弹性体的第一种状态外力，包括体力和面力，在第二种状态对应的位移上所做的功等于第二种状态的外力在第一种状态对应的位移上所做的功。例题
§7.2 虚功方程2
S
u F V u F S u F V u F i
i S
i i V
i i S
i i V
d d d d 12s 12b 21s 21b ??????????
+=+功的互等定理
§7.3最小势能原理
总势能——应变分量的泛函
又是位移分量的泛函
位移变分
S
u F V u F V U E i i S i i V
V
t d d d s b 0????????--=σ
)(==+t E W U δδ真实的位移使得总势能取最小值
最小势能原理是变分表达的平衡条件数学形式
等价于平衡微分方程和面力边界条件
总势能概念
最小势能原理
基本思想
——构造一个位移试函数——几何可能
最小势能原理的应用
Rayleigh —Ritz (瑞利—里兹)法Гапёркин(伽辽金)法
通过能量变分，偏微分方程边值问题转化为线性代数方程组。
?位移边界条件
?位移与面力边界条件
解：首先用瑞利—里茨法位移试函数
例1：两端简支的等截面梁，受均匀分布载荷q 作用如图所示。试求解梁的挠度w （x ）。
满足梁的位移边界条件
在x=0，l 处，w=0总势能
∑=m
m l x
m C w πsin
x qw x x w EJ E l
l
t d d )d d (20
2
22
0??-=∑∑-=2
4
4
2π
m m
t C ql
C
m EJ E
?根据?则
所以0=??m
t
C E 为偶数）＝为奇数）m C m l
EJ m m ql
C m l EJ m m (02π(0π22π4
34
434
=-为偶数）
为奇数）m C m m EJ ql
C m m (0(0π45
54===回代∑
=5
5
4
πsin 1π
4l x m m
EJ ql
w
?挠曲线表达式是无穷级数——精确解
?这个级数收敛很快，只要取少数几项就可以得到足够的精度。?如果取一项
这一结果与精确值十分接近
EI
ql
w 6.764
max
解：应用Гапёркин法位移试函数
同时满足面力边界条件根据Гапёркин法分析可得
∑=m
m l x
m C w πsin
?=-l
x l x m q x w EI 0
44
0d πsin )d d (∑
==Λ
,5,3,15
5
4
πsin 1π
4m l x m m
EJ ql
w
?解：
?位移试函数
例2：矩形薄板，四边固定，受有平行于板面的体力作用。设坐标轴如图所示，试用Rayleigh —Ritz 法求解。
?m 和n 为正整数
?在边界x=0，a ，和y=0，b 上，u=v =0，所以
试函数满足位移边界条件。
∑∑∑∑==m n
mn m n
mn b y
n a x m B v b y
n a x m A u πsin
πsin πsin
πsin
平面应力问题
因此
y x y u x v v y v x u v y v x
u v E U a b
d d ])(212)()[()1(22
02202??+??-+????+??+??-=??y
x y
u x v B y u x v v x u B y v v y
v B x u v y v B y v x u B x u v E B U y
x y
u x v A y u x v v x u A y v v y
v
A x u v y v A y v x u A x u v E A U a mn mn mn b mn mn mn a mn mn mn b
mn d d )]())(1()(2)(2)(2)(2[)1(2d d )]())(1()(2)(2)(2)(2[)1(2002002??+??????+??-+??????+??????+??????+??????-=????+??????+??-+??????+??????+??????+??????-=??????
将位移试函数代入求导数后再积分
因此
y x b
y
n a x m F B U y x b y
n a x m F A U a y b
mn a x b
mn d d πsin πsin d d πsin πsin 0b 00b 0????=??=??y x b y n a x
m F B v a m v b n ab E y x b y n a x m F A v b n v a m ab E y a b
mn a x b
mn d d πsin πsin ])1(2)1([4πd d πsin πsin ])1(2)1([4πb 00
22
222
2
0b 022
222
2
????=++-=++-如果体力已知，积分可求待定系数A mn 和B mn
§7.4虚应力方程
?根据弹性体的稳定平衡状态与经过虚位移而到达的邻近状态的比较，得到了真实位移使得总势能取最小值的结论
?——最小势能原理。
?假如问题分析的基本未知量不是位移，而是应力分量。
?——能量泛函中的应力变分
虚应力方程
δσij 在位移边界引起的面力称为虚面力
——δF ?应变余能概念?虚应力
ij
ij ij ij
U σεσσd )(`0
0?
=
ij
ij
U εσ=??0
`0
)(b ,=++i j ij ij F δσσij
ij ij
s δσσσ
+=上
在σδσσS n F j
ij ij i )(s +=σ
σδσS n j ij j ij 0
,==§7.4 虚应力原理2
V
S n u ij ij V
j ij i S u
d d δσεδσ?????
=ij
δσ
总余能
变分形式
——最小余能原理真实应力使得总余能取驻值
可以证明，对于稳定的平衡状态，真实应力使总余能取最小值。
§7.5最小余能原理
]d d `[0=-?????S F u V U si i S V
u
δS
n u V U S F u V U E j ij i S V
si i S V
t u
u
d d `d d `'00σ??????????-=-=
?最小余能原理可以叙述为：
?在所有静力可能的应力中，真实应力使得总余能取最小值。
?应力变分方程或者最小余能原理等价于以应力分量表示的变形协调方程和位移边界条件。
?应力变分的实质就是应力解法用于能量原理?——对于多连域问题，还有位移单值连续条件需要考虑，这将导致问题十分复杂。
变分原理与变分法
第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1max ；21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A ② 函数的积分： 函数空间数域
D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?=∏0 221 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({2 2122202 1===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使 系统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B ,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x
分子轨道理论的发展及其应用
分子轨道理论的发展及其应用 北京师范大学段天宇学号201111151097 摘要：分子轨道理论是目前发展最成熟，应用最广泛的化学键理论之一。本文简述了分子轨道理论的基本思想及发展历程，列举了其在配位化学、矿物学、气体吸附领域的应用实例，并对其前景作出展望。 0 前言 化学键是化学学科领域中最为重要的概念之一。通常，化学键被定义为存在于分子或晶体中或两个或多个原子间的，导致形成相对稳定的分子或晶体的强相互作用。从二十世纪初期至今，科学家们为了解释化学键现象相继提出了价键理论、分子轨道理论、配位场理论等化学键理论。其中分子轨道理论（Molecular Orbital Theory）具有容易计算、计算结果得到实验支持的优势，并不断得到完善与拓展，因而自二十世纪五十年代以来，已经逐渐确立了其主导地位[1]。目前，作为相对最为成熟的化学键理论，分子轨道理论的应用已经涵盖了化学研究的几乎全部领域中。 1 分子轨道理论发展 1926至1932年，Mulliken和Hund分别对分子中的电子状态进行分类，得出选择分子中电子量子数的规律，提出了分子轨道理论[2]-[3]。分子轨道理论认为，电子是在整个分子中运动，而不是定域化的。他们还提出了能级相关图和成键、反键轨道等重要概念。 1929年，Lennard-Jones提出原子轨道线性组合（Linear Combination of Atomic Orbitals）的理论[4]。后来，原子轨道线性组合的思想被应用于分子轨道理论中，成为分子轨道理论的基本原理。这一原理指出，原子轨道波函数通过线性组合，即各乘以某一系数相加得到分子轨道波函数。这种组合要遵循三个基本原则，即：组合成分子轨道的原子轨道必须对称性匹配；组成分子轨道的原子轨道须能级相近；原子轨道达到最大程度重叠以降低组成分子轨道的能量。其中，最重要的是对称性匹配原则，对称性相同的原子轨道组合成能量低于自身的成键分子轨道，对称性相反的原子轨道组合成高于自身的反键分子轨道。 1931-1933年，Huckel提出了一种计算简便的分子轨道理论（HMO）[5]，是分子轨道理论的重大进展。HMO理论的基本思想是，把两电子间的相互作用近似地当做单电子的平均位场模型处理，导出单电子运动方程： Hψ=Eψ 其中H是该电子的Hamilton算符，ψ是该电子所占据的分子轨道波函数，E为轨道能量。同时，ψ是由原子轨道φk线性组合得到，即 ψ=c1φ 1 +c2φ 2 +?+c kφ k 代入运动方程，利用变分法得到久期方程式 H ij?ES ij=0 其中H和S分别为Hamilton算符和重叠积分的矩阵元，求解久期方程式即可求得分子轨道能量E。这种方法计算简便，发表之处即得到运用，尤其是对于共轭分子性质的讨论取得巨大成功，后来发展成为分子轨道理论的重要分支。 HMO理论虽然简单有效，但只能进行定性讨论，而不能进行严格的定量计算。这个问题的解决，得益于1951年，Roothaan在的Hartree-Fock方程[6]-[7] h fψ k =E kψ k （h f为Hartree-Fock算符）的基础上，将分子 轨道ψ k 写成原子轨道线性组合的形式，得到 Hartree-Fock-Roothaan方程（HFR方程）[8] h f C k=E k C k 而1950年，Boys提出利用Gauss函数研究原子
变分原理及变分法
第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵数：线性算子（矩阵）空间 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1 max ；21 )(11 2 2 ∑∑===n j n i ij a A
② 函数的积分： 函数空间 数域 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?= ∏02 2 1 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({221222 021 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使得 有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x
变分法的发展与应用
变分法的发展与应用 应用数学11XX班XXX 104972110XXXX 摘要：变分法是研究泛函卡及值的数学分支，其基本问题是求泛函(函数的雨数)的极值及相应的极值函数。变分法是重要的数学分支，与诸如微分方程、数学物理、极小曲面用论、微分几何、黎曼几何、积分力‘程、拓扑学等许多数学分支或部门均有密切联系。变分法有着广泛的应用：变分法构成了物理学中的种种变分原理，成为物理学理论不可缺少的组成部分，是研究力学、弹性理论、电磁学、相对论、量子力学等许多物理学分支的重要工具；变分法通过“直接方法”而成为近似计算的有效于段，为微分方程边值问题的数值解法开辟了一条途径，形成了有限元方法的基础之一。近年来，变分法又在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。 关键词：起源；发展；应用 1.引言 变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。它最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。变分法起源于一些具体的物理问题学问题，最终由数学家研究解决。变分法在科学与技术的各个领域尤其是在物理学中有着十分重要的作用，它提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。它们在材料学中研
究材料平衡中大量使用。微分几何中的测地线的研究也是显然的变分性质的领域。 近年来，变分法在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。 2.变分法的起源 物理学中泛函极值问题的提出促进了变分学的建立和发展，而变分学的理论成果则不断渗透到物理学中。 费马从欧几里得确立的光的反射定律出发提出了光的最小时间原理：光线永远沿用时最短的路径传播。他原先怀疑光的折射定律，但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推导出折射定律，不仅消除了早先的怀疑，而且更加坚信他的原理。 受费尔马的影响，约翰伯努利研究了“最速降线”问题：给 定空间中的两个点,a b,其中a比b高，求一条连接两点的曲线使得一个质点从a沿曲线下降到b用时最少。 变分法对于几何的应用在早期主要是对曲面上的测地线和欧氏空间中给定边界的极小曲面（Plateau问题）的研究。但在很长时间内仅限于一些特殊情形，没有重要进展。 3.变分法的发展 18世纪是变分法的草创时期，建立了极值应满足的欧拉方程并据此解决了大量具体问题。19世纪人们把变分法广泛应用到数学物理中去，建立了极值函数的充分条件。20世纪伊始，希尔伯
有限元分析及其应用思考题附答案2012
有限元分析及其应用-2010 思考题： 1、有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步骤有那些？其中“离散”的含义是什 么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？ 答：基本思想：几何离散和分片插值。 基本步骤：结构离散、单元分析和整体分析。 离散的含义：用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合，且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。当单元趋近无限小，节点无限多，则这种离散结构将趋近于实际的连续结构。 2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？ 区别：差分法：均匀离散求解域，差分代替微分，要求规则边界，几何形状复杂精度较低； 里兹法：根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式，求得近似解； 有限元：基于变分法，采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。 3、一根单位长度重量为q的悬挂直杆，上端固定，下端受垂直向下的外力P，试 1）建立其受拉伸的微分方程及边界条件； 2）构造其泛函形式； 3）基于有限元基本思想和泛函求极值构造其有限元的计算格式（即最小势能原理）。4、以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩 阵）。 5、什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？ 答：节点力：单元与单元之间通过节点相互作用 节点载荷：作用于节点上的外载 6、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自 由度和节点解释）？ 答：单元刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正 整体刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正、稀疏性、带状性。 Kij，表示j节点产生单位位移、其他节点位移为零时作用i节点的力，节点力等于节点位移与单元刚度元素乘积之和。 7、单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？ 答：形函数的特点：Ni为x，y的坐标函数，与位移函数有相同的阶次。 形函数Ni在i节点的值为1，而在其他节点上的值为0； 单元内任一点的形函数之和恒等于1； 形函数的值在0~1间变化。 8、描述弹性体的基本变量是什么？基本方程有哪些组成？ 答：基本变量：外力、应力、应变、位移 基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、几何条件 9、何谓应力、应变、位移的概念？应力与强度是什么关系？ 答：应力：lim△Q/△A=S △A→0 应变：物体形状的改变 位移：弹性体内质点位置的变化 10、问题的微分方程提法、等效积分提法和泛函变分提法之间有何关系？何谓“强形 式”？何谓“弱形式”，两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？
变分原理
变分原理 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律，或称最小作用原理。 例如：实际上光的传播遵循最小能量原理： 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 一、举一个例子（泛函） 变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论。 在理论上和实践上均需要放宽解的条件。因此，引入弱解以及边值问题的弱的形式即变分形式。在讨论二阶椭圆边值问题时的Lax-Milgram 定理。 Poisson 方程的Neumann 问题 设Ω是单连通域，考察Poisson 方程的Neumann 问题 (N) ??? ? ??? =??=?-Γ,g n u f u u ，在Ω内，，使得求函数 这里)(),(2/12Γ∈Ω∈-H g L f ，且满足 01 ,=+Γ Ω ? g f d x 其中的对偶积表示)()(,2/12/1Γ?Γ??-ΓH H . 问题（N ）的解，虽然是不唯一的，但是，若把问题（N ）局限于商空间)(V 1Ω=H 内求解，且赋予商范数 ΩΩ∈Ω=,1) (/)(1 1i n f ?v v H v R H ,V v ∈? 可以得到唯一解。实际上，由定理5.8推出R H v /)(1?Ω等价于半范Ω→,1?v v . 定义双线性泛函R V V →?: V v u v v u u v u v u B ∈∈∈???=?,?,?,?),,()?,?（ 和线性泛函 V v v v u g fdx v l ∈∈?+→Γ Ω??,?,,?:. 其右端与v v ?∈无关。因此v ?中的元素仅仅相差一个任意常数，同时，可以判定'V l ∈，实际上 ,,2/1,2/1,0,0)?(ΓΓ -Ω Ω +≤v g v f v l
第六章能量泛函的转换形式及其应用(16K)
112 第六章 能量泛函的转换形式及其应用 §6.1 总位能泛函转换形式及其应用 由§4.1节中的（4-16）式，定义了总位能泛函，即 ??σ --ε=∏S i i V i i ij S u T V u F A d d ])([P （4-16） 该泛函为单变量变分原理，其自变量要求满足位移应变关系及位移边界条件，即 )(2 1 ,,i j j i ij u u += ε 0=-i i u u 所以，这种变分原理是有条件的，并可以进一步证明总位能原理是极小值原理，解的收敛性得到保证。这种原理是目前广为流行的绝大部分有限元素模型的基础，比较理想的情形是“保续元”的建立，而放松某些边界协调条件则构成了有限元素法中的“非保续元”。 【例1】 梁元素的总位能泛函及其变换。 图6-1所示的一维梁，承受横向分布载荷 )(x p ，简支端（L x =）作用一集中力矩M ， 梁的另一端为固持。显然，其边界条件为 0=x ：0)0()0(='=w w L x =：0)(=L w ，及M L M =)( 6-1） 总位能泛函根据定义可写为 V U +=∏p （6-2） 其中 ?''= L x w EJ U 02 d )(2 1 （应变能） （6-3） )(d 0 L w M x w p V L '+-=? （外力位能） （6-4） 上面各式中，w 表示挠度，它是坐标x 的函数，而w '与w ''分别代表x w d d 及2 2d d x w 。 现在对总位能取一阶变分， )(δd δd δδδδ0 p L w M x w p x w w EJ V U L L '--''''=+=∏?? （6-5） 当弯曲刚度EJ 沿长度不变时，可将它放在积分号之前，再利用Green 公式，可得 [][]?? +'''-'''=''''L L L L x w EJw w w EJ w w EJ x w w EJ 0 )4(000d δδδd δ （6-6） 将（6-6）式代入（6-5）式中，利用条件（6-1）式，整理后可得 图6-1 一维弯曲梁
改进的整体变分法在图像修复中的应用[1]
２００７，４３（２７）ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用 Ａ Ｂ 图１破损区域及其邻域示 １引言 图像修复是指对数字图像中丢失、破损的部分进行还原修 复，是一项出现很早的工艺技术，近年来图像修复技术有了长足的发展。Ｃｒｉｍｉｎｉｓｉ等［１］提出了基于纹理的图像修复方法，在未受损图像中寻找与受损模块最为匹配的修复模块并填充到受损区域内，从而实现图像的修复。Ｂｅｒｔａｌｍｉｏ等［２］人首先提出了基于偏微分方程的图像修补算法，利用待修补区域的边缘信息，将待修补区域外的信息沿梯度的垂直方向扩散到修补区域内，取得了很好的效果。Ｃｈａｎ等［３］成功地将整体变分法思想应用于图像修复中。 本文在前人的研究基础上，对整体变分法作了进一步改进，经过计算机仿真试验，改进后的方法和原方法结果相比，所得图像的修复效果更加完善。 ２图像修复的整体变分算法 基于整体变分的图像恢复算法由Ｒｕｄｉｎ等［４］提出，本文为 简明描述整体变分法［５－７］在图像修复中的应用，先给出破损区域及其邻域示意图（图１）。其中Ｂ为图像破损部分（空信息），Ａ为破损区域的边缘部分，!＝Ａ∪Ｂ。 在图像修复中，噪声污染的图像ｕｏ大多满足加性关系 ｕｏ（ｘ ）＝ｕ（ｘ）＋ｎ（ｘ），其中ｎ（ｘ）为均值为０，方差为δ２ 的高斯白噪声。通过正则化方法处理得： ｍｉｎ １ ２‖ｕ－ｕｏ ‖２ ＋"２ Ｒ（ｕ#$）（１） 用ＴＶ＝ ! %｜&ｕ｜ｄｘｄｙ （整体变分）代替Ｒ（ｕ）得到新的能量函数如下： ｇ［ｕ］＝１２‖ｕ－ｕｏ‖２＋" ２! %｜&ｕ｜ｄｘｄ# ’ ｙ（２） 其中&ｕ表示梯度， "为拉格朗日乘子。同时又有约束条件：１２ ‖ｕ－ｕｏ‖２＝δ２（３） 所以整体变分法对图像的修复过程实际上是在约束条件（３）限制下，最小化图像能量函数（２）的过程。 改进的整体变分法在图像修复中的应用 周密，彭进业，赵健，田艳艳，史晶ＺＨＯＵＭｉ，ＰＥＮＧＪｉｎ－ｙｅ，ＺＨＡＯＪｉａｎ，ＴＩＡＮＹａｎ－ｙａｎ，ＳＨＩＪｉｎｇ 西北大学信息科学与技术学院，西安７１０１２７ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＮｏｒｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ７１０１２７，ＣｈｉｎａＥ－ｍａｉｌ：ｚｍ２３１８２８３＠ｓｏｈｕ．ｃｏｍ ＺＨＯＵＭｉ，ＰＥＮＧＪｉｎ－ｙｅ，ＺＨＡＯＪｉａｎ，ｅｔａｌ．Ｉｍｐｒｏｖｅｄｔｏｔａｌｖａｒｉａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｉｍａｇｅｉｎｐａｉｎｔｉｎｇ．ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００７，４３（２７）：８８－９０．Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎｉｍｐｒｏｖｅｄｉｍａｇｅｉｎｐａｉｎｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｔｏｔａｌｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｔｈｅｒｅｌａｔｉｖｉｔｙｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｄａｍａｇｅｄａｒｅａ．Ｗｉｔｈｔｈｅｈｅｌｐｏｆｔｈｅｒｅｌａｔｉｖｉｔｙｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ，ｗｅｇｒａｄｕａｌｌｙｄｉｆｆｕｓｅｔｈｅｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｔｏｔｈｅｄａｍａｇｅｄａｒｅａａｎｄｒｅｓｔｏｒｅｔｈｅｄａｍａｇｅｄａｒｅａ．Ａｒａｎｇｅｏｆｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｎｅｗｍｅｔｈｏｄｉｓｅｆｆｅｃｔｉｖｅｆｏｒｔｈｅｉｍａｇｅｉｎｐａｉｎｔｉｎｇ，ａｎｄｔｈｅｅｄｇｅｏｆｔｈｅｄａｍａｇｅｄａｒｅａｂｅｃｏｍｅｓｍｏｒｅｎａｔｕｒａｌ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｍａｇｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ；ｉｍａｇｅｉｎｐａｉｎｔｉｎｇ；ｔｏｔａｌｖａｒｉａｔｉｏｎ；ｒｅｌａｔｉｖｉｔｙｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ摘要：提出了一种改进的整体变分法并且将其应用于图像修复中。在修复的过程中考虑图像破损区域外部参考像素和待修补点的相关度，再利用图像破损区外部参考像素信息从破损区域的边缘逐步地向破损区域内部进行扩散，从而达到图像修复的目的。仿真试验表明，改进后的算法与原方法相比图像边缘过渡更加自然，修复效果得到改善。关键词：图像处理；图像修复；整体变分；相关度系数文章编号：１００２－８３３１（２００７）２７－００８８－０３文献标识码：Ａ中图分类号：ＴＰ３９１ 基金项目：国家部委基础研究项目；陕西省自然科学基金（ｔｈｅＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＳｈａａｎｘｉＰｒｏｖｉｎｃｅｏｆＣｈｉｎａｕｎｄｅｒＧｒａｎｔＮｏ．２００６Ｆ４２）。作者简介：周密，硕士研究生，主要研究方向为数字图像处理；彭进业，博士，教授，博导，主要从事图像处理研究；赵健，博士，副教授，硕导，主要从 事图像处理研究；田艳艳，硕士研究生，主要研究方向为图像处理；史晶，硕士研究生，主要研究方向为图像处理。 ８８
有限元分析及其应用思考题
有限元分析及其应用(思考题) 1、有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步骤有那些？其中“离散”的含义是什 么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？ 2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？ 3、以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩 阵）。 4、什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？ 5、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自 由度和节点解释）？ 6、单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？ 7、描述弹性体的基本变量是什么？基本方程有哪些组成？ 8、何谓应力、应变、位移的概念？应力与强度是什么关系？ 9、问题的微分方程提法、等效积分提法和泛函变分提法之间有何关系？何谓“强形式”？ 何谓“弱形式”，两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？ 10、以平面微元体为例，考虑弹性力学基本假设，推导微分平衡方程。 11、常见的弹性力学问题解法有哪几类？各有何特点或局限？简述求解思路？ 12、什么叫外力势能？什么叫应变能？简述势能变分原理。试问势能变分原理代表了弹 性力学的那些方程？同时，附加了什么条件？ 13、在三维弹性体中，若系统势能对位移变分为零。试证明一定满足应力平衡方程和应 力边界条件。 14、为了保证有限元解的收敛性，位移函数必须满足那些条件？为什么？ 15、位移函数构造为何按Pascal三角形进行？为什么？ 16、如何理解有限元解的下限性？ 17、何谓刚性位移？何谓常量应变？ 18、在按位移法求解有限元法中，为什么说应力解的精度低于位移解的精度？ 19 何谓协调单元？何谓非协调单元？为什么有时非协调单元的计算精度还高于协调单元？ 20 何谓常应变单元？其位移、应变、应力在单元内、单元边界上有何特性？ 21平面矩形单元的位移、应力在单元内、单元边界上有何特性？试说明矩形单元刚度矩阵的计算与坐标原点位置无关。 22谓面积坐标？其特点是什么？ 23分析以下几种平面单元的位移在单元公共边界上的连续性：1）常应变三角形单元；2）四节点矩形单元；3）六节点三角形单元；4）四节点直线边界四边形等参单元；5）八节点曲线边界四边形等参单元。 24非节点载荷等效的基本原则是什么？ 25试计算三节点三角形边界上不同线性分布载荷的等效节点载荷。（参考教材P58面）26何谓等参单元？等参单元具有哪些特点？使用等参单元应注意什么？在等参单元计算中，数值积分阶次是否越高越好呢？为什么？ 27 试证明平行四边形的雅可比矩阵为常数矩阵。 大作业：1若给定某问题的微分方程和边界条件，推导： 1）、迦辽金变分法方程，并建立有限元计算格式； 2）、加权残值法中的最小二乘法，并导出相应的有限元计算格式。 2、编写三节点三角形单元刚度矩阵计算、整体刚度矩阵组装、形成节点载荷、边界条件引 入、线性方程组求解计算程序模块，利用其求解平面应力问题（实例自定）。
第六章能量泛函的转换形式及其应用(16K)
第六章 能量泛函的转换形式及其应用 §6.1 总位能泛函转换形式及其应用 由§4.1节中的（4-16）式，定义了总位能泛函，即 ??σ --ε=∏S i i V i i ij S u T V u F A d d ])([P （4-16） 该泛函为单变量变分原理，其自变量要求满足位移应变关系及位移边界条件，即 )(2 1 ,,i j j i ij u u += ε 0=-i i u u 所以，这种变分原理是有条件的，并可以进一步证明总位能原理是极小值原理，解的收敛性得到保证。这种原理是目前广为流行的绝大部分有限元素模型的基础，比较理想的情形是“保续元”的建立，而放松某些边界协调条件则构成了有限元素法中的“非保续元”。 【例1】 梁元素的总位能泛函及其变换。 图6-1所示的一维梁，承受横向分布载荷 )(x p ，简支端（L x =）作用一集中力矩M ， 梁的另一端为固持。显然，其边界条件为 0=x ：0)0()0(='=w w L x =：0)(=L w ，及M L M =)( 6-1） 总位能泛函根据定义可写为 V U +=∏p （6-2） 其中 ?''= L x w EJ U 02 d )(2 1 （应变能） （6-3） )(d 0 L w M x w p V L '+-=? （外力位能） （6-4） 上面各式中，w 表示挠度，它是坐标x 的函数，而w '与w ''分别代表x w d d 及22d d x w 。 现在对总位能取一阶变分， )(δd δd δδδδ0 p L w M x w p x w w EJ V U L L '--''''=+=∏?? （6-5） 当弯曲刚度EJ 沿长度不变时，可将它放在积分号之前，再利用Green 公式，可得 [][]?? +'''-'''=''''L L L L x w EJw w w EJ w w EJ x w w EJ 0 )4(000d δδδd δ （6-6） 将（6-6）式代入（6-5）式中，利用条件（6-1）式，整理后可得 图6-1 一维弯曲梁
变分原理与变分法
第一章 变分原理与变分法 1、1 关于变分原理与变分法(物质世界存在的基本守恒法则) 一、 大自然总就是以可能最好的方式安排一切,似乎存在着各种安排原理: 昼/夜,日/月,阴/阳,静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物:平衡体的最小能量原理,对称/相似原理; 对运动事物:能量守恒,动量(矩)守恒,熵增原理等。 变分原理就是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律,获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播; ② 光线入射角等于反射角,光线在反射中也就是光传播最短路径(Heron); ③ 光线折射遵循时间最短的途径 CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理; 在静力学中的稳定平衡本质上就是势能最小的原理。 二、变分法就是自然界变分原理的数学规划方法(求解约束方程系统极值的数学 方法),就是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义:数学空间(集合)上的元素(定义域)与一个实数域间(值域)间的(映 射)关系 特征描述法:{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数:线性算子(矩阵)空间 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ;∑=∞=n j ij i a A 1max ;21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A
② 函数的积分: 函数空间 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量就是集合中的元素(定义域);值域就是实数域。 Discussion : ① 判定下列那些就是泛函: )(max x f f b x a <<=; x y x f ??) ,(; 3x+5y=2; ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i 、 梁的弯曲应变能: ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii 、 弹性地基贮存的能量: dx kw l f ?= ∏02 2 1 iii 、 外力位能: ?-=∏l l qwdx 0 iv 、 系统总的势能: 00 0;})({221222 021 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法:有一种梁的挠度函数(与载荷无关),就会有一个对应的系统 势能。 泛函驻值提法:在满足位移边界条件的所有挠度函数中,找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题:已知空间两点A 与B ,A 高于B ,要求在两点间连接一条曲线,使得有 重物从A 沿此曲线自由下滑时,从A 到B 所需时间最短(忽略摩擦力)。 作法: i 、 通过A 与B 作一垂直于水平面的平面,取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知:x = 0,y = 0;x = a ,y = b ii 、 建立泛函: x
变分原理与变分法
变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、大自然总是以可能最好的方式安排一切， 似乎存在着各种安排原理: 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理; 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律, 获称最小作用原理。 Exa mp les ① ② Summary:实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的 （映射）关系 第一章 光线最短路径传播； 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat ）； AE+ EB A AC +CB ③
特征描述法：{ J: X u D T R | J （ x ） = r € R } Exa mp les ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间— 数域 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个 w （x ）,使 i.梁的弯曲应变能： □b =-f' EJ (雪 2 P dx 2 ii.弹性地基贮存的能量： n f 1 J 2 =一 J kw dx 2 0 iii.外力位能： 口 l l =-0 qwdx iv.系统总的势能： )2dx 11 AII 1 = max 2 a j i4 ；|A L = max 2 a ij ； I A 2 仁 )12 ②函数的积分：函数空间i 数域 b J = a f n （X ）dX fn U D Note:泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussi on ： ①判定下列那些是泛函： c f (x y) --- '—-3x+5y=2; J 6(x-x 0) f (x)dx = f (x 0) f i=ma 少（x ）i ； ex ②试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 q(x) /■'■'I rmTrfT ① 弹性地基梁的系统势能 ■ d 丨 L l d 2 w 2 □卡E J( dxr) 2 Tkw - qW}dx; x = 0 d w = 0 dx x x = 0,固支；x =
能量原理的应用 变分法 变分法数学基础
第七章能量原理及其应用 偏微分方程求解的困难 ——应力函数解法的限制 能量原理的应用 变分法 变分法数学基础
目录 §7.1基本概念 §7.2虚功原理 §7.3最小势能原理§7.4虚应力方程§7.5最小余能原理§7.6有限元概念
格林公式 §7.1基本概念 （密度） 外力功——变形体的能量关系变形能xz xz yz yz xy xy z z y y x x U U U U U U γτγτγτεσεσεσ??= ??=??=??= ??= ??= 000 ij ij U εσd d 0=xz xz yz yz xy xy z z y y x x γτγτγτεσεσεσ+++++d d d d d ＝
注意 线弹性问题的变形能 ) (2 1 0xz xz yz yz xy xy z z y y x x U γτγτγτεσεσεσ+++++=ij ij U εσ2 1 0=V U U V d 0???=
功－能关系 位移边界面力边界 V S u F V u F k ij s ij k i i k i i d d d s b ??? ?????=+εσ弹性体体积V ，表面积为S 。 位移给定表面S u 面力给定表面S σ 静力可能的应力与几何可能的位移 S =S u +S σ b ,=+i j ij F σj ij i n F σ=s )(21,,i j j i ij u u +=εi i u u =S u S σ s ij σ k i u k ij ε
§7.2虚功原理 弹性体处于平衡状态，对于满足变形连续条件的虚位移及其虚应变，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。 虚功原理 V S u F V u F V ij ij V S i i i i d d d s b ????????=+δεσ δδσ
变分法
变分法综述 1.变分法 1.1.变分法起源 变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，主要是古典变分法，它理论完整，在力学、光学、物理学、摩擦学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制论等诸多方面有广泛应用。20世纪中叶发展起来的有限元法，其数学基础之一就是变分法。[1] 变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A 到达不直接在它底下的一点B 。在所有从A 到B 的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。 变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。 变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。最优控制的理论是变分法的一个推广。[2] 同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau 问题。 1.2变分问题类型 固定边界的变分问题，可动边界的变分问题，条件极值变分问题和参数形式的变分问题。[3] （1）古典变分问题举例 例1：最速降线或捷线问题（Brachistorone or curve of Steepest descent ）问题。这是历史上出的第一个变分法问题，1696年约翰·伯努利提出的。设A 、B 是沿平面上不在同一直线上的两点，在所有连接A 、B 两点的平面直线中，求出一条曲线，使仅受重力作用且初速为零的质点从A 到B 沿该曲线运动时所需时间最短。 解：以A 为原点建立平面指标坐标系，设B 点的坐标11(,)x y ，曲线方程设为()y y x =，10x x ≤≤，且满足端点条件(0)0y =，11()y x y =。 设(,)M x y 为曲线()y y x =上任意一点，由能量守恒定律得
变分原理与变分法
第一章变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称 /相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律， 获称最小作用原理。 Examples: ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat ）； , Summary 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 、变分法是自然界变分原理的数学规划方法 （求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映 射）关系 特征描述法：{ J: X D R|J （x ） r R } Examples: ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 = 数域 ② 函数的积分：函数空间数域 n II A II 1 = max a ij j i 1 max a ij i j 1 n n A 2 ( a ij 产 j 1 i 1 AE EB AC CB
b J f n (X )dX f n D a Discussi on ： ① 判定下列那些是泛函: ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个 w （x ）,使 系统势能 泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B, A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从 A 到B 所需时间最短（忽略摩擦 力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。 B 点坐标（a, b ）, 设曲线为 y = y （x ）,并已知：x = 0, y = 0 ； x = a, y = b ii. 建立泛函： i.梁的弯曲应变能： 1 ' d 2 w 2 b o 0 EJ( 2 ) dx 2 0 dx ii.弹性地基贮存的能量： f — kw 2 dx 2 0 iii.外力位能： l I o qwdx iv.系统总的势能： 左Ej （d 丫）2 1 2 2 kw qw}dx; x 0 w 0削0 dx x = 0,固支；x = l, 自由 Note:泛函的自变量是集合中的元素（定义域） ;值域是实数域。 max f (x)； a x b f(X,y) ； 3x+5y=2; x (x x °)f(x)dx f(X o ) q(x) con sts E 、J x
变分法在解决物理问题上的应用
变分法在解决物理问题上的应用 陈曼（2008213561） （华中师范大学物理系武汉） 摘要本文是变分法在各个领域的应用的总结篇，总结了作者所了解到的关于变分法的知识。 关键词变分法 MOV A 变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。 变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。微分几何中的测地线的研究也是很显然的变分性质的领域。变分问题其实是是泛函极值问题，最后的求解都归结为求欧拉方程的边值问题。由于它是研究泛函极值的一种方法，所以它在多个领域都有着广泛的应用。 有这样一个经典的泛函极值问题： 假设已知函数可导且连续，求函数使 （1）达到极大或极小值。（1）式所给出的泛函称为最简泛函，它分为无约束条件和有约束条件两种，其中无约束条件的泛函极值问题又分为固定端点和可变端点两种情形。可变端点又包含两类：一类是所求函数曲线的左（或右）端点的横坐标确定而纵坐标自由：另一类是左（或右）端点的纵坐标确定而横坐标不确
定。 1.1固定端点的泛函极值问题设端点条件为。因为泛函时取极值，于是有 （2） 但是，（3） 由固定端点条件可知：（4） 将（3）及（4）代入（2）得（5） 由的任意性和变分法的基本引理可知必有（6） 这就是欧拉方程。再加上固定端点条件，即可求得使得泛函取极值的函数曲线。 1.2第一类可变端点问题 设端点条件为。由(5)推导过程知，此时(5)应变为 因为上式对取任意值均成立，所以欧拉方程不变仍 为(6)，但定解条件为 1.3第二类可变端点问题 设端点条件为。显然，此时欧拉方程(6)仍成立,一组定解 条件为至此，所说的都是简单泛函极值问题。事实上有很多的数学建模都可以采用这种方法，光学上的最小路径也可以用这种方法求解，那就是一种可变边界的极值问题。下面我们来看复杂一点的变分问题。 首先介绍多尺度光流变分法（简称MOV A）,它是通过追踪雷达回波的移动，利用外推法推算降雨量。它是一种基于变分法及光流场平滑化的算法，用这种方法可以进行定量降雨的预报，北京奥运会期间也将MOV A应用到雷暴单体路径的预报。该算法是用变分法将总的成本函数