山东省淄博实验中学2019届高三数学寒假学习效果检测(开学考试)试题理(含解析)

山东省淄博实验中学2019届高三数学寒假学习效果检测（开学考试）

试题 理（含解析）

第I 卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合A ＝{x∈N|x≤3}，B ＝{x|x 2+6x ﹣16＜0}，则A∩B＝（ ） A. {x|﹣8＜x ＜2} B. {0，1}

C. {1}

D. {0，1，2}

【答案】B 【解析】 【分析】

化简集合A 、B ，求出A ∩B 即可．

【详解】集合A ＝{x ∈N |x ≤3}＝{0，1，2，3}，

B ＝{x |x 2+6x ﹣16＜0}＝{x |﹣8＜x ＜2}， A ∩B ＝{0，1}．

故选B ．

【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目． 2.已知i 为虚数单位，则复数2

2i +

1i

z =+的模为（ ）

B.

2

D. 2

【答案】A 【解析】 【分析】

由复数除法运算法则，求出z ，再由模长公式即可求解

【详解】2

22(1)2i +21,||1i 1i

i z i i z -==+=+∴==+-故选:A.

【点睛】本题考查复数的代数运算、模长，属于基础题. 3.已知向量,a b 的夹角为23

π

，且()3,4,2a b =-=，则2a b +=( )

A. B. C. 2

D. 84

【答案】B 【解析】

向量,a b 的夹角为

23

π，且()3,4a =-，(235a ∴=+=，又2b =，()

2

2222224445452cos 2843

a b

a a

b b π

∴+=+?+=?+???+=，

284a b ∴+== B.

4.下列说法正确的是( ) A. 若命题,p q ?均真命题，则命题p q ∧为真命题

B. “若6

π

α=

，则1sin 2α=

”的否命题是“若1sin 62

παα=≠，则” C. 在ABC ?，“2

C π

=

”是“sin cos A B =”的充要条件

D. 命题:p “2000,50x R x x ?∈-->”的否定为:p ?“2

,50x R x x ?∈--≤”

【答案】D 【解析】 【分析】

利用复合命题的真假四种命题的逆否关系以及命题的否定，充要条件判断选项的正误即可． 【详解】对于A ：若命题p ，￢q 均为真命题，则q 是假命题，所以命题p∧q 为假命题，所以A 不正确；

对于B ：“若6π

α=

，则1sin 2α=

”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2

α≠”，所以B 不正确；

对于C ：在△ABC 中， “2C π=”?“A+B=2π”?“A=2π

-B”?sinA=cosB ，

反之sinA=cosB ，A+B=2π，或A=2π+B ，“C=2

π

”不一定成立，

∴C=2

π

是sinA=cosB 成立的充分不必要条件，所以C 不正确；

对于D ：命题p ：“?x 0∈R，x 02

-x 0-5＞0”的否定为￢p ：“?x∈R，x 2

-x-5≤0”，所以D 正确． 故选D ．

【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，四种命题的逆否关系，命题的否定等知识，是基本知识的考查．

5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视

图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（ ）

A. 14

B. 642+

C. 862+

D. 842+【答案】C 【解析】

根据题意知原图是一个直三棱柱，躺在平面上，上下底面是等腰直角三角形，则表面积由五个面构成，表面积为：12223222386 2.2

?+?=+ 故答案为C .

6.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，

()2x f x m =-，则()2019f =（ ）

A. 1

B. -1

C. 2

D. -2

【答案】B 【解析】 【分析】

根据f （x ）是R 上的奇函数，并且f （x +1）=f （1-x ），便可推出f （x +4）=f （x ），即f （x ）的周期为4，而由x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -m 及f （x ）是奇函数，即可得出f （0）=1-m =0，从而求得m =1，这样便可得出f （2019）=f （-1）=-f （1）=-1． 【详解】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-； ∴(2)()()f x f x f x +=-=-； ∴(4)()f x f x +=； ∴()f x 的周期为4；

∵[0,1]x ∈时，()2x

f x m =-；

∴由奇函数性质可得(0)10f m =-=； ∴1m =；

∴[0,1]x ∈时，()21x

f x =-；

∴(2019)(15054)(1)(1)1f f f f =-+?=-=-=-. 故选：B .

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.

7.执行如图所示的程序框图，如果输入1a =-，2b =-，则输出的a 的值为（ ）

A. 16

B. 8

C. 4

D. 2

【答案】B 【解析】

试题分析：由题意得，若输入1a =-，2b =-；则第一次不满足条件6a >，则2a =；第二次不满足条件6a >，则224a =?=；第二次不满足条件6a >，则428a =?=；此时满足条件6a >，输出8a =，故选B ． 考点：程序框图．

8.为得到函数2sin 36x y π??

=+ ???

的图象，只需把函数2cos y x =的图象上所有的点( )

A. 向左平移

3π

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13

倍(纵坐标不变) B. 向右平移3π

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)

C. 向左平移3

π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)

D. 向右平移3

π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 【答案】D 【解析】 【分析】

由题意利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

【详解】把函数222

y cosx sin

x π

==+（）

的图象上所有的点向右平移3π个单位长度，可得26

y sin x π

=+（）

的图象；

再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变，可得函数2sin 36x y π??

=+ ???

的图象， 故选D ．

【点睛】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题． 9.已知函数()()log 31(0a f x x a =+->1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线

40mx ny ++=上，其中0mn >，则

12

1m n

++的最小值为（ ） A.

23

B.

43

C. 2

D. 4

【答案】B 【解析】 【分析】

令31+=x ，求出定点(2,1)A --，代入直线方程可得24m n +=，利用基本不等式，即可求解.

【详解】函数()()log 31(0a f x x a =+->1)a ≠的图象恒过定点(2,1)A --, 点A 在直线40mx ny ++=上，24,(1)32

n

m n m ∴+=++

=， 0mn >，

12112[(1)]()1321n m m n m n

+=+++++ 12(1)4

[2]32(1)3

m m n n +=++≥+， 当且仅当1

22,,32

n m m n =+=

=时，等号成立.

故选:B

【点睛】本题考查函数过定点、基本不等式求最值，拼凑积为定值是解题关键，属于基础题. 10.如图，正方形的四个顶点(1,1), (1,1), (1,1), (1,1)A --B -C D -，及抛物线2

(1)y x =-+和

2(1)y x =-,若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是

（ ）

A.

2

3

B.

13

C.

16

D.

12

【答案】B 【解析】 【分析】

利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论． 【详解】∵A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），C （1，1），D （﹣1，1）， ∴正方体的ABCD 的面积S ＝2×2＝4，

根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：

S ＝21

?

[1﹣()2

1x -]dx ＝2（21

x 3-x 3）10|=2[（113-）﹣0]＝22433

?

=， 则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是4

1343

=．

故选B ．

【点睛】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键．

11.已知函数84,1()ln ,1

x e x f x x x ?--≤=?

->?，记()()g x f x ex a =--，若()g x 存在3个零点，则

实数a的取值范围是（）

A.

3

(2,)

2

e e

-- B. (2,)

e e

--

C.

3

(,)

2

e e

-- D.

1

(,)

2

e e

--

【答案】C

【解析】

【分析】

由g（x）＝0得f（x）＝e x+a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．

【详解】由g（x）＝0得f（x）＝e x+a，

作出函数f（x）和y＝e x+a的图象如图：

当直线y＝e x+a过A 1

2

e

-

（，）点时，截距a=

3

2

e

-，此时两个函数的图象有2个交点，

将直线y＝e x+a向上平移到过B（1，0）时，截距a=-e，两个函数的图象有2个交点，在平移过程中直线y＝e x+a与函数f（x）图像有三个交点，

即函数g（x）存在3个零点，

故实数a的取值范围是

3

,

2

e e

??

--

???

，

故选C．

【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查了函数零点问题，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键，属于中档题.

12.设12,F F 是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左右焦点，O 是坐标原点，过2F 的一条直

线与双曲线C 和y 轴分别交于,A B 两点，若2||||OA OF =，||3|OB OA =，则双曲线C 的

离心率为（ ） 21

+ 31

+ 21

31

【答案】D 【解析】 【分析】

由条件得到2O F A ∠=

3

π

，连接A 1F ，在三角形12

F F A 中，由余弦定理可得A 13F c =， 再由双曲线定义A 12A F F -=2a ，可得c

a

.

【详解】∵2OA OF =，得到|233|OB OA ==，∴2O F A ∠=3

π

，又

2OA OF c ==，连接A 1F ，12 2F F c =，在三角形12 F F A 中，由余弦定理可得A 13F c =，

又由双曲线定义A 12A F F -=2a 32c c a -=，∴c

a

31， 故选D.

【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用及离心率的求法，综合考查了三角形中余弦定理的应用，属于中档题.

第II 卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知实数,x y 满足约束条件222,22x y x y x y -≤??

-≥-??+≥?

则2z x y =-的最大值为___．

【答案】1 【解析】 【分析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 【详解】由z=x-2y 得1

122

y x z =

-，

作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线1122y x z =

-，，11

22

y x z =-，的截距最小， 此时z 最大，

由22 22x y x y -??+?

＝＝ ，得A （1，0）．

代入目标函数z=x-2y ， 得z=1-2×0=1， 故答案为1．

【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．

14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，123n n a S +=+，则4S =____________． 【答案】66 【解析】 试题解析：依题

，与原式作差得，

，即

，

，

可见，数列从第二项起是公比为3的等比数列，

，所以345(13)

113

S -=+-66=．

故答案为66．

考点：1．数列的求和；2．等比数列．

15.在平面直角坐标系xOy 中,已知过点()1,1M 的直线l 与圆()()2

2

125x y ++-=相切,且

与直线10ax y +-=垂直,则实数a =__________． 【答案】

12

【解析】

因为()1,1M 在圆()()2

2

125x y ++-=上，所以圆心与切点()1,1M 的连线与切线l 垂直，又

知l 与直线与直线10ax y +-=垂直，所以圆心与切点()1,1M 的连线与直线10ax y +-=斜率相等，1211(1)2a --=

=---，所以12a =，故填：1

2

．

16.已知a ，b∈R，e 为自然对数的底数．若存在b∈[﹣3e ，﹣e 2]，使得函数()f x ＝e x ﹣ax －b 在[1，3]上存在零点，则a 的取值范围为_____． 【答案】2

,4e e ???? 【解析】

分析：先转化为0

0x e ax b =+存在零点，再利用数形结合分析两种情况下求a 的最大值和最小

值得解.

详解:由题得存在23,b e e ??∈--??

，使得函数()x

f x e ax b =--在[]

1,3上存在零点， 所以存在0[1,3]x ∈,使得000()0x

f x e ax b =--=,所以0

0x e

ax b =+,

令(),x

g x e =直线y=ax+b,则两个函数的图像存在一个交点，

当直线y=ax+b 过点（1，e ）,(0,-3e)时，此时a 最大，此时b=-3e,a=4e ， 所以a≤4e.

当直线y=ax+b 过点2

(0,)e -且与x

y e =相切时，a 最小，

设切点为(,)t t e ，则切线方程为()(1)t t t t

y e x t e e x e t =-+=+-， 此时2

(1), 2.t e t e t -=-∴= 所以a 的最小值为2.t e e = 所以a 的取值范围为2

,4e e ????. 故答案为2

,4e e ????

点睛：(1)本题主要考查函数的零点问题和导数的几何意义，意在考查学生这些基础知识的掌握能力和分析转化数形结合的能力. (2)本题的关键有两点，其一是转化为0

0x e ax b =+存在

零点，其二是如何数形结合分析两个函数的图像求出a 的最大值和最小值. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.已知函数()f x a b =?，其中()

()2cos 2,cos ,1,a x x b x x R ==∈． （1）求函数()y f x =的单调递增区间；

（2）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,a b c f A a ==且2b c =，求ABC ?的面积．

【答案】（1）(),36k k k Z ππππ??-++∈????；（2.

【解析】 【分析】

（1）利用向量数量积的坐标运算公式、降次公式和辅助角公式，化简()f x 为

()sin A x B ω?++的形式，将x ω?+代入ππ2π,2π22k k ?

?

-+???

?中，解出x 的范围，由此求得

函数的单调区间.（2）利用()2f A =求得角A 的大小，利用余弦定理和2b c =列方程组，解方程组求得2c 的值，由此求得三角形的面积. 【详解】（1）=

，

令πππ

2π22π,262

k x k -

≤+≤+解得，k∈Z， 函数y=f （x ）的单调递增区间是（k∈Z）．

（2）∵f（A ）=2，∴，即

，

又∵0＜A ＜π，∴，

∵

，由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣3bc=7，①

b=2c ，②， 由①②得， ∴

．

【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查三角函数降次公式、辅助角公式，考查利用余弦定理解三角形.属于中档题.

18.如图1，在平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=?，1AB =，2AD =，以对角线BD 为折痕把BCD ?折起，使点C 到图2所示点P 的位置，使得5PA =

.

（Ⅰ）求证:平面PAB ⊥平面PBD ； (Ⅱ)求二面角B PA D --的余弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）1

4

. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）在图1中，求解三角形可得AB⊥BD，同理CD⊥BD，图2中，在△PAD 中，求解三角形可得AD⊥PD，结合PD⊥BD，得到PD ⊥平面ABD ，进一步得到PD⊥AB， 又AB⊥BD，可得AB ⊥平面PBD ，由面面垂直的判定可得平面PAB ⊥平面PBD ；

（Ⅱ）以D 为坐标原点，分别以DB ，DP 所在直线为y ，z 轴，过点D 在平面ABD 内平行于AB 的直线为x 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PAD 与平面PAB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B-PA-D 的余弦值． 【详解】（Ⅰ）图1中，60,1,2BAD AB AD ∠=?==， 由余弦定理得214212cos603BD =+-????=， ∴222BD AB AD +=，∴90ABD ∠=?， 即AB BD ⊥， 同理CD BD ⊥.

图2中，在PAD ?中，2,1,AD PD PA ===

∴222PD AD PA +=，∴90PDA ∠=?，即AD PD ⊥ 又,PD BD AD BD D ⊥?=，∴PD ⊥平面ABD .

AB ?平面ABD ，∴PD AB ⊥，

又,AB BD PD BD D ⊥?=.∴AB ⊥平面PBD ，AB ?平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PBD .

(Ⅱ)如图，以D 为坐标原点，,DB DP 所在直线分别为,y z 轴， 过点D 在平面ABD 内平行于AB 的直线为x 轴建立空间直角坐标系.

则()()()()0,0,0,,,0,0,1D B A P ，()

()1,3,0,0,0,1DA DP == 设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =

由00

n DA n DP ??=??=? 得00x z ?+=??=?? 令1y =，得平面PAD 的一个法向量为()

3,1,0n =-

同理可得平面PAB

的一个法向量()0,1,3m=∴11cos,224m n m n m n?===?. 又二面角B PA D--的平面角为锐角，所以，二面角B PA D--的余弦值为14.

【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．

19.已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为1F,2F,离心率为1

2

，右焦

点到右顶点的距离为1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过2F的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,则1F AB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）

22

1

43

x y

+=；（2）1F AB

?的面积取得最大值3, 1

x=.

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法结合题意求解椭圆方程即可；

（2）很明显直线l的斜率不为零，设出直线方程的x轴截距形式，得到面积函数，结合函数

的性质确定面积最大时的直线方程即可.

【详解】（1）设椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>

因为1

2

c e a =

=，1a c -= 所以2,1a c == 即椭圆C ：22

143

x y += .

（2）设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设 120,0y y ><

由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，

由221

14

3x my x y =+???+=??得()2234690m y my ++-=，

则121222

69

,3434

m y y y y m m --+==++ ， ∴(

)1

121212F AB

S F F y y ?=-=

t =，可知1t ≥则221m t =-，

∴121212

1313F AB t S t t t

?=

+

++

令()13f t t t =+，则()21

3t f t =-＇，

当1t ≥时，()>0f t ＇，即()f t 在区间[

)1,+∞上单调递增， ∴()()14f t f ≥=，∴13F AB S ?≤，

即当1,0t m ==时，1F AB ?的面积取得最大值3， 此时直线的方程为1x =．

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

20.某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、

化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．

某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：

（1）估计该学校高一年级选考方案确定的

学生中选考生物的学生有多少人？

（2）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；

（3）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量

1,2,

2,1,ξ?=?

?

名男生选考方案相同名男生选考方案不同求ξ的分布列及数学期望E ξ．

【答案】（1）140；（2）3

40；（3）分布列见解析，74

E ξ=． 【解析】 【分析】

（1）求出30人中选考方案确定的学生中选考生物的概率，即可估计出结果；

（2）分别求出选考方案确定的8位男生中和10名女生中各选出1人选考方案中含有历史学科的概率，按相互独立同时发生的概率关系，即可求解；

（3）根据数据，求出选考方案确定的男生的选考科目情况，ξ的取值为1，2，求出概率，得

到分布列，即可求出结论.

【详解】（1）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人， 选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人， 该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有

1018

4201401830

??=人． （2）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为

2184

=； 选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为

310

． 所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为

13341040

?=． （3）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物； 有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理； 有1人选择物理、化学和政治． 由已知得ξ的取值为1，2．

()1111224222224288211

3(1),(2)44

C C C C C C C P P C ξξ++?++======，

或3

(2)1(1)4

P P ξξ==-==． 所以ξ的分布列为

所以137

12444

E ξ=?

+?=． 【点睛】本题考查相互独立同时发生的概率、离散型随机变量的分布列期望，属于中档题.

21.已知函数()2

1x

f x e x ax =---.

（1）当0a =时，求证：()0f x ≥；

（2）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若0x >，证明()

()2

1ln 1x

e x x -+>.

【答案】（1）证明见解析；（2）1,2??-∞ ??

?；（3）证明见解析． 【解析】 【分析】

（1）当0a =时，()1x

f x e x =--，根据导数可得函数()f x 的最小值为0，从而可得结论

成立；（2）由条件得()12x

f x e ax =--'，令()12x

h x e ax =--，则()2x

h x e a '=-．然

后分为21a ≤和21a >两种情况进行讨论，可得所求范围．（3）由（2）得当1

2

a =

，0x >时，22

2 122

x e +->+=

x x x x ．故要证不等式成立，只需证()21ln 1x

x e x ->+，只需证明()2222ln 1x x x x +>+，只需证()2ln 12

x

x x +>+ ，然后构造函数并利用函数的单调性可得结论成立．

【详解】（1）当0a =时，()1x

f x e x =--，

∴()1x

f x e '=-，

当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>， 故()

f x (),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，

∴()()min 00f x f ==， ∴()0f x ≥.

（2）由条件得()12x

f x e ax =--'，

令()12x

h x e ax =--，则()2x

h x e a '=-.

①当21a ≤时，在[

)0,+∞上，()0h x '≥，()h x 单调递增， ∴()()0h x h ≥，即()()00f x f ''≥=， ∴()f x 在[

)0,+∞上为增函数， ∴()()00f x f ≥=， ∴1

2

a ≤

时满足条件. ②当21a >时，令()0h x '=，解得ln2x a =，在[

)0,ln2a 上，()0h x '<，()h x 单调递减， ∴当()0,ln2x a ∈时，有()()00h x h <=，即()()00f x f ''<= ， ∴()f x 在()0,ln2a 上为减函数， ∴()()00f x f <=，不合题意. 综上实数a 的取值范围为12?

?-∞ ???

，．

（3）由（2）得，当12a =，0x >时，212x x e x >++，即222122

x

e +->+=

x x x x ， 要证不等式()

()2

1ln 1x

e x x -+>，

只需证明()

2

1ln 1x

x e x ->+，

只需证明()22

22ln 1x x x x +>+， 只需证()2ln 12

x

x x +>

+ ， 设()()2ln 1(0)2

x

F x x x x =+-

>+， 则()()()()

2

22141212x F x x x x x '=-=++++， ∴当0x >时，()0F x '>恒成立，故()F x 在()0,+∞上单调递增， 又()00F =， ∴()0F x >恒成立．

∴原不等式成立．

【点睛】（1）解决恒成立问题的常用方法是分离参数法，通过分离参数转化为求函数的最值的问题求解；若参数无法分离，则采用参数讨论的方法求解，通过逐步排除的方法达到求解的目的．

（2）证明不等式的常用方法是构造函数法，然后转化为求函数的最值的问题求解．有时也可通过放缩的方法进行证明，即若证()()f x g x >，则可通过证明()()f x h x >，且

()()h x g x >，以达到证明的目的．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.

选修4—4：坐标系与参数方程

22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin 1

x y β

β=??

=+?（β为参数），以坐标原

点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为cos 4πρα??

-= ??

?

（1）求曲线C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；

（2）已知直线l 与曲线C 交于M N 、两点，与x 轴交于点P ，求·

PM PN ． 【答案】（1）C ：2

2sin 30ρρθ--=，直线l ：20x y +-=；（2）1 【解析】 【分析】

（1）由曲线C 的参数方程，能求出曲线C 的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程；直线l 的极坐标方程转化为ρcosα+ρsinα＝2，由此能求出直线l 的直角坐标方程．

（2）联立22(1)4

20x y x y ?+-=?+-=?

，求出M ，N 的坐标，在直线l ：x +y ﹣2＝0中，令y ＝0，得P （2，

0），由此能求出|PM |?|PN |．

【详解】（1）∵曲线C 的参数方程为221x cos y sin β

β=??=+?

（β为参数），

∴曲线C 的普通方程为()2

214x y +-=，即2

2

230x y y +--=，

∴曲线C 的极坐标方程为2

2sin 30ρρθ--=．