绝对值及其几何意义

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绝对值及其几何意义

绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数。

如：|5|=5；|-5|=5；|0|=0

绝对值的几何意义：可以借助数轴来加以认识，一个数的绝对值在数轴上表示这个数的点到___________的距离。

如|a|表示数轴上表示数a的点到________的距离，

推而广之：∣x-a∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数______的点之间的距离，∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数_______ 两点的距离之和。

对于一些比较复杂的绝对值问题，如果用常规的方法做会比较繁琐，而运用绝对值的几何意义解题，往往能取得事半功倍的效果。

例1：已知，∣x-4∣=3，求x的值。

解法一(代数法，分类讨论)(“零点分段法”)：

解法二(几何法)：由绝对值的几何意义可知，∣x-4∣=3表示数x的点到_________的距离为_____，结合数轴不难发现这样的点共有______个，分别是____和____，故x=_______.

例2：求∣x-1∣+∣x+2∣的最小值。

解法一(代数法)(“零点分段法”)：

解法二(几何法)：由绝对值的几何意义可知，

分析：本题若采用“零点分段法”讨论亦能解决，但若运用绝对值的几何意义解题，会显得更加简洁。

解：根据绝对值的几何意义可知，∣x-1∣表示数轴上点x到_______的距离，

∣x+2∣表示数轴上点x到_________的距离。

实际上此题是要在数轴上找一点x，使该点到两点的距离之和最短，由数轴可知，x应在数轴上__________________________________的点，且最短距离为______________，

即∣x-1∣+∣x+2∣的最小值为_______。

推广：①：∣x-a∣+∣x-b∣的最小值为___________。

②∣∣x-a∣-∣x-b∣∣的几何意义是数轴上一点x到a、b两点之间

距离之差的绝对值，它有一个最_______(大或小)值________。

例3：对于任意实数，若不等式∣∣x+1∣-∣x-2∣∣＜k恒成立，则实数k 的取值范围是什么？

解：(提示：k是式子∣∣x+1∣-∣x-2∣∣的最大值还是最小值？)

例4：如果∣x-3∣+∣x+1∣=4，则x的取值范围是什么？

解：

绝对值的几何意义的运用是一个较好的技巧，这种简捷、巧妙的方法，应引起重视。

绝对值的性质：

（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；

（2）|a|={

a,a>0

0,a=0

?a,a<0

（代数意义）

（3）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0；

（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a，且|a|≥-a；

（5）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）

（6）|a?a|=|a|?|a|

（7）|a

a |=|a|

|a|

(a≠0)

（8）|a|2=|a2|=a2

（9）||a|?|a||≤|a+a|≤||a|+|a||

左边的等号当且仅当ab≤0时取到，右边的等号当且仅当ab≥0时取到（10）||a|?|a||≤|a?a|≤||a|+|a||

左边的等号当且仅当ab≥0时取到，右边的等号当且仅当ab≤0时取到