极限的性质与四则运算法则
第四节 极限的性质与四则运算法则
教学目的：使学生掌握极限的四则运算法则，并会利用它们求极限； 教学重点：有理函数极限的计算； 教学过程：
一、复习无穷大和无穷小的概念及性质 二、讲解新课：
一、函数极限的性质 定理1：（保号性）设A x f x x =→)(lim 0
，
（i ） 若)0(0<>A A ，则0>?δ，当),(0δ∧
∈x U x 时，0)(>x f )0)(( 证明：（i ）先证0>A 的情形。取2 A =ε，由定义，对此0,>?δε，当),(0δ∧∈x U x 时， 2)(A A x f =<-ε，即0)(2 32)(220>?=+<<-= A A x f A A A 。 当0 A -=ε，同理得证。 （ii ）(反证法)若0 注：(i)中的“>”，“<”不能改为“≥”，“≤”。 在(ii)中，若0)(>x f ，未必有0>A 。 二、极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。 定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且 )(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。 证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>?>?δε，当 100δ<- )(ε <-A x f ，对此ε，02>?δ，当2 00δ<- )(ε < -B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有 ε ε ε =+ < -+-≤-+-=+-+2 2 )()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f 所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0 。 其它情况类似可证。 注：本定理可推广到有限个函数的情形。 定理2：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ?存在，且 )(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ?==。 证明：因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，?,)(,)(βα+=+=B x g A x f （βα,均为无穷小）)())(()()(αβαββα+++=++=?B A AB B A x g x f ，记 αβαβγ++=B A ， γ?为无穷小， AB x g x f =?)()(lim 。 推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。 推论2：n n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）。 定理3：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则) (lim ) (lim )()(lim x g x f B A x g x f ==。 证明：设βα+=+=B x g A x f )(,)(（βα,为无穷小），考虑差： ) ()()(ββ αβα+-=-++=-B B A B B A B A B A x g x f 其分子βαA B -为无穷小，分母0)(2≠→+B B B β，我们不难证明 ) (1β+B B 有界（详细过程见书上）)(ββα+-? B B A B 为无穷小，记为γ，所以γ+=B A x g x f )()(， B A x g x f =?)()(lim 。 注：以上定理对数列亦成立。 定理4：如果)()(x x ψ?≥，且b x a x ==)(lim ,)(lim ψ?，则b a ≥。 【例1】b ax b x a b ax b ax x x x x x x x x +=+=+=+→→→→00 lim lim lim )(lim 。 【例2】n n x x n x x x x x 0]lim [lim 0 ==→→。 推论1：设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)(ΛΛ为一多项式，当 )()(lim 0011 1000 x f a x a x a x a x f n n n n x x =++++=--→ΛΛ。 推论2：设)(),(x Q x P 均为多项式，且0)(0≠x Q ，则) () ()()(lim 000x Q x P x Q x P x x =→。 【例3】31151105(lim 221 -=+?-=+-→x x x 。 【例4】33 009070397lim 53530-=+--?+=+--+→x x x x x （因为03005 ≠+-）。 注：若0)(0=x Q ，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。 【例5】求3 22 lim 221-+-+→x x x x x 。 解：当1→x 时，分子、分母均趋于0，因为1≠x ，约去公因子)1(-x ， 所以 5 3 322lim 322lim 12 21=++=-+-+→→x x x x x x x x 。 【例6】求)1 3 11( lim 31+-+-→x x x 。 解：当1 3 ,11,13 ++-→x x x 全没有极限，故不能直接用定理3，但当1-≠x 时， 12)1)(1()2)(1(13112 23+--=+-+-+=+-+x x x x x x x x x x ，所以 11 )1()1(2112lim )1311( lim 22131 -=+-----=+--=+-+-→-→x x x x x x x 。 【例7】求2 lim 2 2-→x x x 。 解：当2→x 时，02→-x ，故不能直接用定理5，又42→x ，考虑： 042 22lim 2 2 =-=-→x x x ， ∞=-?→2 lim 2 2x x x 。 【例8】若3) 1sin(lim 221=-++→x b ax x x ，求a ,b 的值。 当1→x 时，1~)1sin(2 2 --x x ，且0)(lim 2 1 =++→b ax x x 10, =(1)a b b a ++=-+ 222(1)(1)(1) 1(1)(1)(1)(1) x ax b x ax a x x a x x x x x +++-+-++==--+-+ 2212 lim 3124, 5 x x ax b a x a b ->+++==-==- 【例9】设n m b a ,,0,000≠≠为自然数，则 ???? ? ????>∞ <==++++++--∞→时 当时当时当m n m n m n b a b x b x b a x a x a m m m n n n x 0lim 0110110ΛΛΛΛ。 证明：当∞→x 时，分子、分母极限均不存在，故不能用§1.6定理5，先变形： m m n n m n x m m m n n n x x b x b b x a x a a x b x b x b a x a x a ++++++?=++++++-∞→--∞→ΛΛΛΛΛΛΛΛ10101101 10lim lim ???????????>++++++?∞<++++++?=++++++? =时 当时当时当m n b a m n b a m n b a 0 000000 00000010000 00ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 【例10】求)21( lim 2 22n n n n n +++∞→ΛΛ。 解：当∞→n 时，这是无穷多项相加，故不能用定理1，先变形： 原式2 1 21lim 2)1(1lim )21(1lim 22=+=+?=+++=∞→∞→∞→n n n n n n n n n n ΛΛ。 【例11】证明[][]x x x x ,1lim =∞→为x 的整数部分。 证明：先考虑[][]x x x x x -=- 1，因为[]x x -是有界函数，且当∞→x 时，01→x ，所 以由有界量与无穷小量的乘积是无穷小，得 [][][]1lim 0)1(lim 0lim =?=-?=-∞→∞→∞→x x x x x x x x x x 。 三、课堂练习： 四、布置作业： 极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。 定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且 )(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。 证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>?>?δε，当 100δ<- 四则运算、运算定律 概念总结 第一单元：四则运算 1、加、减法各部分间的关系： 两个数合并成一个数的运算，已知两个数的和与其中的一个加数，求叫做加法。另一个加数的运算，叫做减法。 和=加数+加数差＝被减数-减数 加数=和-另一个加数（验算）减数=被减数-差（验算） 被减数=减数+差（验算） （★常考：验算：注意：①数位对齐，小数点对齐，②补零，③得数写第一个结果，用最简洁的方式。④细心验算） 2、乘、除法法各部分间的关系： 求几个相同加数的和的简便运已知两个因数的积与其中一个因数，求 算，叫做乘法。另一个因数的运算，叫做除法。 积=因数×因数商＝被除数÷除数 因数＝积÷另一个因数（验算）除数=被除数÷商（验算） 被除数＝商×除数（验算） 3、我们学过的（加、减、乘、除）四种运算统称（四则运算） 4、在没有括号的算式里，如果有只有加减法或者只有乘除法，都要按从左往右 的顺序计算。 5、在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法，要先算乘、除法。（乘、除谁在前，先算谁） 6、算式里有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 7、一个数加上0，还得原数； 被减数等于减数，差是0； 一个数和0相乘，仍得0； 0不能作除数，可作被除数。（0除以任何不为零的数都得0） 8、在有括号的四则运算中，一定要先算括号里的算式，然后再按先乘除后加减的顺序依次计算。 （常考：列综合算式：①要用原题中的数据，不是自算的，②题目里从上到下先算谁，再算谁，找出运算顺序，③考虑小括号与中括号） 9、租船：坐满最便宜。 假设全部租大船，求出价格。假设全部租小船，求出价格。 多租价格低的，不留空位最省钱。 （常考：景区选方案，细心计算） 第三单元：运算定律 1、加法交换律：a＋b＝b＋a （两个数相加，交换加数的位置，和不变。） 2、加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 2.4 极限的四则运算（一） 古浪五中---姚祺鹏 【教学目标】 （一）知识与技能 1．掌握函数极限四则运算法则； 2．会用极限四则运算法则求较复杂函数的极限； 3．提高问题的转化能力，体会事物之间的联系与转化的关系； （二）过程与方法 1.掌握极限的四则运算法则，并能使用它求一些复杂数列的极限. 2.从函数极限联想到数列极限，从“一般”到“特殊”. （三）情态与价值观 1.培养学习进行类比的数学思想 2.培养学习总结、归纳的能力，学会从“一般”到“特殊”，从“特殊”到“一般”转化的思想.同时培养学生的创新精神，加强学生的的实践能力。 (四)高考阐释： 高考对极限的考察以选择题和填空题为主，考察基本运算，此类题目的特点在于需要进行巧妙的恒等变形，立足课本基础知识和基本方法 【教学重点与难点】 重点：掌握函数极限的四则运算法则； 难点：难点是运算法则的应用（会分析已知函数由哪些基本函数经过怎样的运算结合而成的）． 【教学过程】 1．提问复习，引入新课 对简单函数，我们可以根据它的图象或通过分析函数值的变化趋势直接写出它们的极 限．如 1lim ,2121lim 1 1==→→x x x x ． 让学生求下列极限： （1）x x 1lim →； （2）x x 21lim 1→； （3）)12(lim 21+→x x ； （4）x x 2lim 1→ 对于复杂一点的函数，如何求极限呢？例如计算??? ? ?+→x x x 21lim 1即x x x 212lim 21+→，显然通过画图或分析函数值的变化趋势找出它的极限值是不方便的．因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则，通过法则，把求复杂函数的极限问题转化为求简单函数的极限． 板书课题：极限的四则运算． 2．特殊探路，发现规律 考察x x x 212lim 21+→完成下表： 根据计算（用计算器）和极限概念，得出2 3212lim 21=+→x x x ，与1lim 2121lim 11==→→x x x x 、 对比发现：2321121lim lim 21lim 212lim 11121=+=+=??? ? ?+=+→→→→x x x x x x x x x x ． 由此得出一般结论：函数极限的四则运算法则： 如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0 0，那么 []b a x g x f x x ±=±→)()(lim 0 []b a x g x f x x ?=?→)()(lim 0 )0()()(lim 0≠=??????→b b a x g x f x x 特别地:（1）[])(lim )(lim 0 0x f C x f C x x x x →→?=?（C 为常数） （2）[])N ()(lim )(lim *00∈??????=→→n x f x f n x x n x x 极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。 定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且 )(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。 证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>?>?δε，当 100δ<- 四则运算运算定律专项 练习 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 四则运算、运算定律专项训练四则运算 一、口算? 36÷3=100－ 62=24?－ 8?＋?10= 75×30=371?－ 371=5?＋?24?－ 12= 200÷40=84÷4=159+61=? 600÷20=?78+222=1000÷8=? 17×11=?7600÷400=?480÷120=? 25×17×4=?225-99=?640÷40=? 二、比一比，算一算? 49＋17－25240÷40×5300－50×2 49－（17＋25）240＋40×5300－50×20×0 三、把下面几个分步式改写成综合算式． （1）960÷15=64?64-28=36综合算式___________________. （2）75×24=1800?9000-1800=7200综合算式___________（3）810-19=791?791×2=15821582+216=1798综合算式（4）96×5=480480+20=500500÷4=125综合算式 四、计算下面各题? 121－111÷37（121－111÷37）×5 280＋650÷1345×20×3 1000－（280＋650÷13）（95－19×5）÷74 （120－103）×50760÷10÷38 （270＋180）÷（30－15）707－35×20 （95－19×5）÷74?19×96-962÷74? 10000-(59＋66)×645940÷45× (798-616) （270＋180）÷（30－15）(315×40-364)÷7 12520÷8×(121÷11)707－35×20 50＋160÷40?（58+370）÷（64-45） 120-144÷18+35347+45×2-4160÷52? （58+37）÷（64-9×5）95÷（64-45） 178-145÷5×6+42?420+580-64×21÷28? 812-700÷（9+31×11）（136+64）×（65-345÷23） 数列极限四则运算法则的证明 设limAn=A,limBn=B,则有 法则1:lim(A n+B n)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An ? Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n T+R的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义： 如果数列｛Xn｝和常数A有以下关系：对于？￡> 0(不论它多么小)，总存在正数N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A| v &都成立， 则称常数A是数列｛Xn｝的极限，记作limXn=A. 根据这个定义，首先容易证明：引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明： ?/ limAn=A,二对任意正数 &存在正整数N?,使n > N?时恒有|An-A| v&①(极限定义)同理对同一正数&存在正整数N?,使n>N?时恒有|Bn-B| v 设N=max｛N ?,N?｝，由上可知当n > N时①②两式全都成立. 此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)| < |An-A|+|Bn-B| v & + & =2 &. 由于&是任意正数，所以2&也是任意正数. 即:对任意正数2 &存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 &. 由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B. 即:对任意正数C&存在正整数N,使n > N时恒有|C ? An-CA|v C&. 由极限定义可知，lim(C ? An)=C?A若C=0的话更好证) 法则2的证明： lim(A n-B n) =limA n+lim(-B n)(法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B. 为了证明法则3,再证明1个引理. 引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An ? Bn)=0. 证明：?/ limAn=0,二对任意正数 &存在正整数N?,使n>N?时恒有|An-0| v &③(极限定义)同理对同一 数学总复习四则运算、运算定律 一、教学内容：四则运算和运算定律 二、教学目标： 1.进一步掌握四则混合运算的运算顺序、加法运算定律和乘 法运算定律，能正确计算三步混合运算试题； 2.进一步掌握小数加减法和加减混合运算，高计算的正确率 和熟练程度； 3.能应用加法运算定律和乘法运算定律进行简便计算； 4.进一步提高学生应用数学知识和方法解决实际问题的能 力。 三、重点和难点： 重点：四则混合运算的运算顺序 难点：应用加法运算定律和乘法运算定律进行简便计算 四、教具准备：小黑板及试题材料 五、教学过程： （一）四则运算：四则运算顺序及运算法则 1、四则运算：加法、减法、乘法和除法统称为四则运算。 2、四则运算法则： a.在没有括号的式子里，只有加减法或只有乘除法，要按从 左往右的顺序依次计算； b.在没有括号的式子里，既有加减又有乘除，要先算乘除， 再算加减； c.在有括号的式子里，要先算括号里的，再算括号外面的。 3、练习：（小黑板1） ○1（）、（）、（）和（）统称四则运算。 ○2在没有括号的式子里，只有加减法或只有乘除法，要按（）的顺序依次计算。 ○3在没有括号的算式里，既有加、减法又有乘、除法，要先算（），再算（）。 ○4如果算式里有括号，要先算（）。 ○5计算:（小组比赛的形式，每组做一题。） 12.78—(10—7.25) 45÷5+36×6 4.5—2.83+ 5.76 72×5+240 （二）复习运算定律： 1、先让学生想想，我们迄今为止已经学过了哪些运算定律，然后指名回答，进行全班交流，根据学生的口答，教师整理并板书如下： a+b=b+a(加法交换律) （a+b）+c= a+(b+c) (加法结合律) a X b =b X a （乘法交换律） （a X b) X c= a X（b X c） (乘法结合律) （a+b）X c= a X c + b X c （乘法分配律） 第一单元：四则运算 1、加、减法各部分间的关系： 两个数合并成一个数的运算，已知两个数的和与其中的一个加数，求叫做加法。另一个加数的运算，叫做减法。 和=加数+加数差＝被减数-减数 加数=和-另一个加数（验算）减数=被减数-差（验算） 被减数=减数+差（验算） （★常考：验算：注意：①数位对齐，小数点对齐，②补零，③得数写第一个结果，用最简洁的方式。④细心验算） 2、乘、除法法各部分间的关系： 求几个相同加数的和的简便运已知两个因数的积与其中一个因数，求算，叫做乘法。另一个因数的运算，叫做除法。 积=因数×因数商＝被除数÷除数 因数＝积÷另一个因数（验算）除数=被除数÷商（验算） 被除数＝商×除数（验算） 3、我们学过的（加、减、乘、除）四种运算统称（四则运算） 4、在没有括号的算式里，如果有只有加减法或者只有乘除法，都要按从左往右 的顺序计算。 5、在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法，要先算乘、除法。（乘、除谁在前，先算谁） 6、算式里有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 7、一个数加上0，还得原数； 被减数等于减数，差是0； 一个数和0相乘，仍得0； 0不能作除数，可作被除数。（0除以任何不为零的数都得0） 8、在有括号的四则运算中，一定要先算括号里的算式，然后再按先乘除后加减的顺序依次计算。 （常考：列综合算式：①要用原题中的数据，不是自算的，②题目里从上到下先算谁，再算谁，找出运算顺序，③考虑小括号与中括号） 9、租船：坐满最便宜。 假设全部租大船，求出价格。假设全部租小船，求出价格。 多租价格低的，不留空位最省钱。 （常考：景区选方案，细心计算） 教案过程 一、复习预习 1.换位学习 让学生以“老师的口吻”为老师讲解已学过的运算定律 2.学生与老师交流（运算中怎样简便？）：讨论“我的想法对不对？” 二、知识讲解 考点/易错点1 两个数相加，交换加数的位置，和不变。这叫做加法交换律。 考点/易错点2 三个数相加，先把前两个数相加，再加第三个数。或者先把后两个数相加，再加第一个数，和不变。这叫做加法结合律。 考点/易错点3 乘法运算中交换两个因数的位置，积不变。这叫做乘法交换律。 考点/易错点4 乘法运算中，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。这叫做乘法结合律。 考点/易错点5 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。这叫做乘法分配律。 考点/易错点6 1.要想运用运算定律做好简便运算，要仔细观察算式，如果只有加法，一般用到加法交换和结合律，如果算式里只有乘法，一般用到乘法交换和结合律，如果既有加又有乘，一般用到乘法分配律。当然要注意一些变式。 2.还要观察算式里面的特殊数字，如25和4,125和8,2和5等，有时101可以变成（100+1），想想如何利用好这些特殊数字。 三、例题精析 【例题1】 【题干】357＋288＋143 【答案】788 【解读】357＋288＋143 =357＋143＋288 =500+288 =788 【例题2】 【题干】 138＋293＋62＋107 【答案】600 【解读】138＋293＋62＋107 =（138＋62）＋（293＋107） =200+400 =600 【例题3】 【题干】25×17×4 【答案】1700 【解读】25×17×4 =25×4×17 =100×17 =1700 【例题4】 【题干】（25×125）×（8×4）【答案】100000 【解读】（25×125）×（8×4） =（25×4）×（8×125） =100×1000 =100000 【例题5】 【题干】 25×（40＋4） 【答案】1100 【解读】 25×（40＋4） = 25×40＋25×4 =1000+100 =1100 【例题6】 【题干】 125×64 【答案】8000 【解读】 125×64 =125×（8×8） 四则运算、运算定律与简便计算 教学内容： 四则运算、运算定律与简便计算 教学目标： 1、通过练习，使学生巩固带小括号四则混合运算式题的运算顺序，并能正确计算带小括号. 2、复习运用加法和乘法的运算定律和一些简算方法进行简便运算。 3、培养学生根据具体情况，选择算法的意识和能力，发展思维的灵活性。 教学过程： 一、口算 2500500 0250 10025 5829 250 1 915 333+1 67+5 1、答下面各题的运算顺序 472873549+7 4728（73549+7） 47（2873549）+7 同桌互说再集体反馈 二、组织练习改错先说说错在哪里，为什么会错？该如何订正？ 235+5（20010025） =240（10025） =2404 =960 5（121212+12） =5（0+12） =512 =60 说说运算顺序 4300（22478） （4116）（8964） （375+3116）（8964） 小结：四则运算顺序 三、复习加法、乘法的运算定律 1、引导学生用文字总结并用字母归纳 （教师板书：用字母表示各个运算定律） 2、小数加法和减法 题1、一根绳子长25.2米，先剪去8.8米，再剪去4.2米，还剩多少米？ 板书：25.2-8.8-4.2 =25.2-4.2-8.8 =21-8.8 =12.2 2、 25.2-8.8-4.2 =25.2-（8.8+4.2） =25.2-13 =12.2 3、在上学期的学习中，我们学习了乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等运算定律，合 理的运用这些运算定律可以对一些计算进行简便运算。回想一下这些运算定律是怎么说的？能用这些运算定律进行简便计算的题目有什么特点？ 简便计算： 575＋635＋125＋265 27×55－27×45 98×25 101×72－72 125×64 （32＋32＋32＋32）×25 67×14＋14×32 4、运用减法的运算性质进行简便计算 1)320 － 36 － 64 2） 197 － (22 + 97) 3） 1175 －(545 －125) 4）（520+123）—（80+23） 5、一个数连续除以两个数，可以先把两个数乘起来，再去除被除数。 计算（对比练习） 10000÷125÷8 1000÷125×8 200÷4÷25 200÷4×25 20500÷125÷4 25000÷8÷25 6、商不变性质 6 ÷2=（）÷4=36 ÷（）=60 ÷（） （）÷170=119 ÷17=11900 ÷（）=238 ÷（） 交流：重点题2中的238 ÷（） 1800÷400=4……200，当被除数和除数都缩小10倍时，余数是（） 写出与下面商相等的除法算式 3600÷200700÷25 7.7 (2)极限的运算法则 一、教学内容分析 本小节的教学内容是在理解无穷数列极限的概念的基础上学习数列极限的运算性质及四个重要的极限，鉴于高二学生现有的数学基础，教材采取从实际的例子引入，给出数列极限的运算性质及四个重要极限的结论，然后通过例题加以说明的方式. 教学重点是数列极限的运算性质，教学中要强调运算性质成立的条件是两个数列的极限都存在. 教学难点是数列极限的运算性质及四个重要极限结论的灵活运用，会进行恒等变形，运算性质可从两个数列推广到有限个数列，注意有限与无限的本质区别. 二、教学目标设计 掌握数列极限的运算性质，会利用这些性质计算数列的极限. 知道数列极限的四个重要结论，并会用它们来求有关数列的极限； 会运用式的恒等变形，把分子、分母极限不存在的分式转化为若干个极限存在的数列的代数和，从而求出极限，提高观察，分析以及等加转换的能力. 三、教学重点及难点 重点：数列极限的运算性质. 难点：数列极限的运算性质及重要极限的灵活运用. 四、教学流程设计 五、教学过程设计 课堂小结并布置作业 实例 引入 极限概念 数列极限的结论 运用与深化（例题分析，巩固练习） 极限的运算性质 一、复习回顾 1、数列极限的定义. 2、已知1 23-= n n a n 试判断数列{}n a 是否有极限，如果有，写 出它的极限. 二、讲授新课 1、实例引入 计算由抛物线x y =2 ，x 轴以及直线x=1所围成的区域 面积S ：26) 12)(1(lim lim n n n S S n n n --==∞→∞ → 2、数列极限的运算性质 （1）数列极限的运算性质 如果B b A a n n n n ==∞ →∞ →lim ,lim ，那么 （1）B A b a b a n n n n n n n ±=±=±∞ →∞ →∞ →lim lim )(lim ； （2）B A b a b a n n n n n n n ?=?=?∞ →∞ →∞ →lim lim )(lim ； （3）B A b a b a n n n n n n n ==∞ →∞ →∞→lim lim lim ； （2）的推论：若C 是常数，则A C a C b C n n n n n ?=?=?∞ →∞ →∞ →lim lim )(lim 说明：1、运算性质成立的条件 2、在数列商的极限中，作为分母的数列的项及其极 限都不为零. （2）常用的数列极限的几个结论 （1）对于数列{}n q ，当1 数列的极限及其运算法则 学习要求： 1．理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想 2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料： 一、基本知识 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向 于无穷大时，n a 的极限等于a ” “n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞ =有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项 n a 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大n a 越来越接近于a ；另一方面，n a 不是一般地趋近 于a ，而是“无限”地趋近于a ，即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）lim 0n n a →∞ = (a 为常数1a <)，当1a =时，lim 1n n a →∞ =；当1a =-或1a >时，lim n n a →∞ 不存在。 3. 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 特别：若C 为常数，则lim()lim n n n n C a c a CA →∞ →∞ ==g g 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限，则 n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim 第四节 极限的性质与四则运算法则 教学目的：使学生掌握极限的四则运算法则，并会利用它们求极限； 教学重点：有理函数极限的计算； 教学过程： 一、复习无穷大和无穷小的概念及性质 二、讲解新课： 一、函数极限的性质 定理1：（保号性）设A x f x x =→)(lim 0 ， （i ） 若)0(0<>A A ，则0>?δ，当),(0δ∧ ∈x U x 时，0)(>x f )0)(( 分类讨论求极限 例 已知数列{}n a 、{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为q p ,，其中q p >，且1≠p ，1≠q ，设n n n b a c +=，n S 为数列{}n C 的前n 项和，求1lim -∞→n n n S S . （1997年全国高考试题，理科难度0.33） 解： ()() 1 1 1111--+--=q q b p p a S n n n ()( )()() ()( )()( ) 1 1111 1111111111--+----+--= ---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S . 分两种情况讨论； （1）当1>p 时，∵ 0>>q p ，故10<< p q ， ∴1 lim -∞→n n n S S ()()()()????? ? ?????????????????? ??--+???? ??--?????????? ??--+???? ??-------1111111111111111111lim n n n n n n n n n n p p q p b p q a p p p q p b p q a p ()()()()()()010110 10111111?-+--?-+--? =p b q a p b q a p ()() p q a q a p =--? =1111 （2）当1 四则运算运算定律专项练 习 Prepared on 21 November 2021 四则运算、运算定律专项训练四则运算 一、口算? 36÷3=100－ 62=24?－ 8?＋?10= 75×30=371?－ 371=5?＋?24?－ 12= 200÷40=84÷4=159+61=? 600÷20=?78+222=1000÷8=? 17×11=?7600÷400=?480÷120=? 25×17×4=?225-99=?640÷40=? 二、比一比，算一算? 49＋17－25240÷40×5300－50×2 49－（17＋25）240＋40×5300－50×20×0 三、把下面几个分步式改写成综合算式． （1）960÷15=64?64-28=36综合算式___________________. （2）75×24=1800?9000-1800=7200综合算式___________（3）810-19=791?791×2=15821582+216=1798综合算式（4）96×5=480480+20=500500÷4=125综合算式 四、计算下面各题? 121－111÷37（121－111÷37）×5 280＋650÷1345×20×3 1000－（280＋650÷13）（95－19×5）÷74 （120－103）×50760÷10÷38 （270＋180）÷（30－15）707－35×20 （95－19×5）÷74?19×96-962÷74? 10000-(59＋66)×645940÷45× (798-616) （270＋180）÷（30－15）(315×40-364)÷7 12520÷8×(121÷11)707－35×20 50＋160÷40?（58+370）÷（64-45） 120-144÷18+35347+45×2-4160÷52? （58+37）÷（64-9×5）95÷（64-45） 178-145÷5×6+42?420+580-64×21÷28? 812-700÷（9+31×11）（136+64）×（65-345÷23） 1.4极限的性质与四 则运算法则 第四节极限的性质与四则运算法则 教学目的：使学生掌握极限的四则运算法则，并会利用它们求极限； 教学重点：有理函数极限的计算； 教学过程： 一、复习无穷大和无穷小的概念及性质 二、讲解新课： 一、函数极限的性质 定理1：（保号性）设?Skip Record If...?， （i）若?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...??Skip Record If...?。 （ii）若?Skip Record If...?，必有?Skip Record If...?。 证明：（i）先证?Skip Record If...?的情形。取?Skip Record If...?，由定 义，对此?Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?。 当?Skip Record If...?时，取?Skip Record If...?，同理得证。 （ii）(反证法)若?Skip Record If...?，由(i)?Skip Record If...?矛盾，所以?Skip Record If...?。 当?Skip Record If...?时，类似可证。 注：(i)中的“?Skip Record If...?”，“?Skip Record If...?”不能改为“?Skip Record If...?”，“?Skip Record If...?”。 在(ii)中，若?Skip Record If...?，未必有?Skip Record If...?。 二、极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。定理1：若?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?存在，且?Skip Record If...?。 10总复习 【教学目标】 通过总复习，梳理本学期学生所学知识，查漏补缺，针对重难点章节内容强化训练，加深学生对知识的理解与 掌握，全面达到本学期规定的教学目标。 【重点难点】 1.掌握四则运算顺序，能熟练地进行计算。理解和认识运算定律，会选择正确的方法进行简便计算。 2.理解小数的意义和性质，能正确的进行小数加减法的计算。 3.感知空间与图形。能从不同方向观察物体；认识了解不同类型的三角形，分析其特征特点；知道图形的对称与平移。 4.理解掌握平均数与条形统计图和鸡兔同笼问题。 5.能运用所学知识解决生活中的实际问题。 【教学指导】 1.复习前，根据教材特点、学生特点，制订科学合理的复习计划。做到条理清晰、重难点突出、措施有力、效果显著。 2.引导学生分析个人知识掌握情况，拟定好个人复习安排。注重小组间合作交流，互相探讨，互相监督，共同进步。 3.复习时做到重点问题重点突破。大部分学生存在的问题，班级交流、分析、讨论，强化训练，注重督促。个别问题个别指导。复习工作做到重点突出、步步推进、训练扎实、成效明显。 【课时安排】建议共分4课时： 第1课时四则运算及运算定律…………………………………………………1课时第2课时小数的意义和性质及小数的加减法…………………………………1课时第3课时图形与几何……………………………………………………………1课时第4课时统计与数学广角……………………………………………………....1课时 【知识结构】 第1课时四则运算及运算定律 【教学内容】 教材第111页练习二十五第1~3题。 【教学目标】 1.复习掌握四则混和运算的运算顺序，能正确地进行计算。 2.掌握相关运算定律，能运用运算定律进行简便计算。 【重点难点】 掌握计算顺序和运算定律，能正确地进行计算。 【情景导入】 口算： 2.5+6.2 7.1-6.4 3.6+5.5 9.2-1.7 17×32+68×32 55+47+45 174-95-74 104×55-4×55 3.8+7.1 5.9- 4.6 【复习讲授】 1.复习四则混合运算顺序。 提问：请你说说四则混合运算顺序？ 学生复习回顾。 小结：没有括号时先算乘除再算加减，有括号时先算括号里面的。 2.复习运算定律： （1）说说我们学习了哪些运算定律？ (2)梳理运算定律： 加法加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：a+b+c=a+(b+c) 四则运算和运算定律知识点 一、四则运算的概念和运算顺序 1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。 2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 3、在没有括号的算式里，既有乘、除法又有加、减法的，要先算乘除法，再算加减法。 4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；大、中、小括号的计算顺序为小→中→大。括号里面的计算顺序遵循以上1、2、3条的计算顺序。 二、运算定律 1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。字母表示： a＋b＝b＋a 2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加；或者先把后两个数相加，和不变。字母表示： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 3、乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。字母表示： a×b＝b×a 4、乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变。字母表示： (a×b)×c＝a×(b×c) 5、乘法分配律：①两个数的和与一个数相乘，可以先把他们与这个数分别相乘，再相加，得数不变，字母表示： (a＋b)×c＝a×c＋b×c；a×c＋b×c＝(a＋b)×c； ②两个数的差与一个数相乘，可以先把他们与这个数分别相乘，再相减，得数不变，字母表示： (a—b)×c＝a×c—b×c；a×c—b×c＝(a—b)×c； 6、连减定律： ①一个数连续减去两个数, 等于这个数减后两个数的和，得数不变；字母表示：a—b—c＝a—(b＋c)；a—(b＋c)＝a—b—c； ②在三个数的加减法运算中，交换后两个数的位置，得数不变。字母表示：a—b—c＝a—c—b；a—b＋c＝a＋c—b 7、连除定律： ①一个数连续除以两个数, 等于这个数除以后两个数的积，得数不变。字母表示：a÷b÷c＝a÷(b×c)；a÷(b×c)＝a÷b÷c； ②在三个数的乘除法运算中，交换后两个数的位置，得数不变。字母表示： a÷b÷c＝a÷c÷b；a÷b×c＝a×c÷b 简便计算例题 一、常见乘法计算： 25×4＝100 ，125×8＝1000 二、加法交换律简算例题： 50+98+50 ＝50+50+98 ＝100+98 ＝198 第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 1.4 极限的性质与运算法则 教学目标: 1.掌握极限的性质及四则运算法则。 2.会应用极限的性质及运算法则求解极限 教学重点：极限的性质及四则运算法则； 教学难点：几种极限的种类及求解方法的归纳 教学课时：2学时 教学方法：讲授法、归纳法、练习法 教学过程： 1.4.1 极限的性质 性质1.5（唯一性） 若极限)(lim x f 存在，则极限值唯一． 性质1.6（有界性） 若极限)(lim 0 x f x x →存在，则函数)(x f 在0x 的某个空心邻域内有界． 性质1.7（保号性） 若A x f x x =→)(lim 0 ，且0>A （或0x f （或0)( 第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 (3)当0)(lim ≠=B x v 时，B A x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim 证 我们只证(1)． 因为A x u =)(lim ，B x v =)(lim ，由定理1.2有α+=A x u )(，β+=B x v )(，其中α，β是同一极限过程的无穷小量，于是)()()()(βα+±+=±B A x v x u )()(βα±+±=B A ．根据无穷小量的性质，βα±仍是无穷小量，再由定理1.2的充分性可 得．[]B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )()(lim ． 上述运算法则，不难推广到有限多个函数的代数和及乘法的情况． 推论 设)(lim x u 存在，c 为常数，n 为正整数，则有 (1) [])(lim )(lim x u c x u c ?=?； (2) []n n x u x u )]([lim )(lim =． 在使用这些法则时，必须注意两点： (1)法则要求每个参与运算的函数的极限存在． (2)商的极限的运算法则有个重要前提，即分母的极限不能为零． 例1 求)522(lim 1 +--→x x x ． （初等函数定义域内某点的极限） 解 )522(lim 1 +--→x x x 5lim 1 )2(lim 1)2(lim 1-→+-→--→=x x x x x 5lim 1 )2(lim 1)2(lim 1-→+-→--→=x x x x x极限四则运算法则
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数列的极限及运算法则
极限的性质与四则运算法则
第二章极限习题及答案：极限的四则运算
四则运算运算定律专项练习
最新1.4极限的性质与四则运算法则
第1课时 四则运算及运算定律(教案)
四则运算和运算定律知识点
极限的性质和运算法则