中国人口的预测模型(例2)

姓名：江少青

班级：08 物理师范

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姓名：郑来松

班级：09 自动化创新班

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姓名：陈婉坤

班级：09 国贸创新班

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中国人口的预测模型

摘要

如今，中国面临着严重的人口爆炸问题。日益增长的人口数量导致了资源短缺，环境恶化。造成了非常大的影响。为了祖国的可持续发展和人民的幸福，解决人口问题刻不容缓。我国目前面临的人口老龄化日益加重、出生人口性别比居高不下、流动迁移人口持续增加以及人口与资源环境的矛盾日益尖锐等问题。

建立人口数学模型，可以用来预测世界、国家和地区的人口，但是研究人口问题的主要目的，不仅是能够预测将来的人口，而是要能动地控制人口的数量，改善人口的年龄结构。人口问题是一个关系全局的重要问题，人口的变动会影响到基本国策的制定，影响到劳动就业的安排，社会福利事业的安排，甚至影响到国民经济和社会发展战略的规划。所以正确的预测人口对处理人口、资源、经济的关系，才能使人民的生活水平尽早富裕，同时促进社会的可持续发展提供有力的支持和保障。

本文就上述问题，综合考虑各个影响因素后，通过对1982年到1998 年的全国人口数量的统计数据，建立数学模型对此问题进行了研究分析。分别建立了人口指数增长模型和Logistic 增长模型。模型通过假设，建立起合理的模型，利用Matlab 软件对数据的处理以及根据数据拟合求解模型。最后通过模型的函数关系及其图像来预测中国未来两百年内的人口变化规律，从而可以合理的有计划的利用资源，使环境和资源实现可持续发展。

关键词：Matlab 人口模型可持续发展

一．问题的重述

表1 列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982 年为起始年（t=0），

（1）试建立人口的指数增长模型，并进行预测，与实际人口数据进行比较。

（2）设自然资源和环境条件能容纳的最大人口数量为200000 万人。请建立Logistic 模型，并进行预测，与实际人口数据进行比较。

中国年的人口统计数据

表

众所周知, 中国是世界文明的历史古国。五千年光辉灿烂的文明让中国成为盘踞在亚洲的巨龙。作为世界第一人口大国，中国的人口变动影响着国家基本政策的制定，社会福利事业的发展，甚至影响到国民经济和社会发展战略的规范。只有正确的处理人口资源经济关系，我们才能更好的促进社会的可持续性发展。人口总数的预测是人口研究中最重要的意义，同时也是进行其他预测的基础。人口预测的基本方法是在认识人口发展变化的客观规律和人口变量的特征及其内在联系的基础上，建立数学模型，通过计算机软件处理来进行测算。

三．模型假设和变量说明

1．模型的假设：假设（1）：单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比，即人口增长率是一个常数。?不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响，不考虑国际间的大面积迁入迁出；城乡间的转移对中国总人口数造成的影响可以忽略不计；市、镇、乡的各个人口数据比例能够代表全国总人口市、镇、乡的人口比率；短期内国家自身政策不会发生改变。

假设（2）：人口增长率是人口数量的一个递减函数，即人口增长率是随着人口的增大而变小的。假定此函数为一次线性函数；在中国的自然资源和环境条件下，其所容纳的人口数量有一个最大值。

2．符号的说明：

x 中国的总人口数

r 人口的增长率

t 时间变量（t 0 代表1982 年）

x0 模型中t=0 时的人口数

x m 最大容纳人口数量

问题分析

四．模型的建立与求解

问题 1 指数增长模型

令每年对应的时刻 t 的人口数量为 x(t ) ，由于人口数量比较庞大， 由假设(1) 可知：单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比， r 是一个常数， x(t) 可

通过变换得：

令 t 0 时，则有

所以 x(t) 满足微分方程：

求解微分方程( 3)，得到指数人口增长模型：

x(t) x 0e rt

由表 1的数据利用 Mat 软件画图工具作出人口数量与时间 t 的散点图，如图 1 所示。 图1

利用 Matlab 软件对人口指数增长模型 x(t) x 0e rt

，根据图 1 散点图进行 拟合作出如

图 2 所示回归曲线 [1]

。

图2 同时求得： 把系数代入式子( 4)得到人口指

数增长模型表达式：

由式子( 5)可得： t 口也是无限增长的。

时， x(t) (r 0) ，表明时间无限增大时，人

问题 2 Logistic 增长模型

0 .0130 t

5)

仔细分析指数增长模型可以发现只有在最初的一个很短时期内， 才可以把人

口的净增长率近似看作一个常数。但是随着人口的不断增长，由于受环境资源，

近似的看成是连续并且可微的函数。 t 到 t

t 时间段内人口的增量为：

x(t t) x(t)

t

rx(t)

1)

dx dt

rx(t)

2)

dx dt x(0) rx(t)

x 0

3)

4)

x(t) 10.2247e

10)

所能承受的人口容量的限制， 人均资源占有率的下降及环境恶化、 疾病增多等原 因，出生率将降低而死亡率却会提高，人口增长率随之变小。

由假设( 2)我们可以将净增长率 r 看作人口的线性函数，记作 r (x(t)) 。方程

1)可改为

时，人口是趋向一个最大值的

将系数代入

( 9)得到 Logistic 增长模型表达式 ： 20

20

0.0304 t

1 (1 )e

0.0304t 10.1702

五．模型的检验

dx(t)

dt

r(x(t))x(t)

6)

设r(x(t)) a cx(t ) ，由前面的分析设 r(x(0)) r ，r(x m ) 0 ，即有

r(x(t)) a cx(t) r(x(0)) r r(x m ) 0

7)

由式子( 7)可求得 r(x(t))

x(t) r(1 ) 。将其代入( 6)中可得： x

m

dx(t)

r(1 x(t) )x(t)

dt

x m

( 8)

x(0)

x 0

x(t)

1 (1

x m

rt

m

)e

9)

x 0

分析式子( 9)，增长率 r 0，当 t

时， x(t) x m ，表明时间无限增大

运用 MATLAB 软件对 Logistic 增长模型 x(t) 散点

图进行拟合作出如图 3 所示回归曲线。

图3 同时求

得系数： (1 x m x 0

)e

rt ，根据图 1

x(t)

解方程组( 8)，得 Logistic 增长模型 [2]

：

x m

指数增长模型是建立在人口自然增长率为常数的基础上的，这个假设在人口发展的初期是基本成立的，因为此时人口的数量较少，人口的发展处于自由增长状态，环境对人口增长的制约作用较小，但是，随着人口数量的增加，假如人口再按指数规律无限制增长，显然这是不符合实际情况的。环境资源有限，将对人口的制约越来越大，终使得人口的自然增长率逐渐变小，人口数量的实际增长速度就会比指数模型预测的慢。这也就是该模型在人口变化初期较为适用，而后来却会出现较大的偏差的原因。

如图2 所示，实际数据所与回归线基本吻合。因为此时人口的数量较少，人口的发展处于自由增长状态，环境对人口增长率的制约作用是比较小的。

如图4 所示，人口指数增长模型对未来两百年的预测。随着时间的推移，人口按指数规律无限制增长，显然这是不符合实际情况的。环境资源有限，将对人口的制约越来越大，终使得人口的自然增长率逐渐变小，人口数量的实际增长速度就会比指数模型预测的慢。这也就是该模型在人口变化初期较为适用，而后来却会出现较大的偏差的原因。从而提出了Logistic 增长模型。

图4 人口指数增长模型对未来的预测

Logistic 增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，体现在两个方面。第一，在对1982-1998年的人口数据处理结果看，比较图2 和图3，显然用Logistic 增长模型分析出来的结果比指数增长模型分析出来的结果要更加精确。第二，Logistic 增长模型对我国未来两百的预测如图5所示，其预测值随着时间的增加有一个上限（20 亿人），现在直到2120 年这一段时期内，我国的人口一直将保持增加的势头，到2180年前后我国人口将非常接近20 亿。相比指数模型，Logistic 增长模型能更好地显示人口变化的情况和发展趋势。

图5 Logistic 增长模型对未来的预测

不论是指数增长模型曲线，还是Logistic 增长模型曲线，它们有一个共同的特点，即均为单调曲线，即说明其预测方法比较单一，不能很好的适用于人口关系复杂的中国。

六．模型的评价

1．误差

利用MATLAB 软件分别计算出两种模型的误差。如表2 所示，Logistic 增长模型的误差明显比指数增长模型的要小。

表2. 两种模型在1982-1998 年的人口数据与误差

2

（1）指数增长模型的优点在于它只需考虑一个初始人口值，就可以根据时间的变化进行人口预测。方法简单易掌握。

（2）Logistic 增长模型是在指数增长模型的基础上，结合环境、资源、土地、等自然因素的影响而求出一个在一定环境资源下的人口承载极限值，很好的提出然后再结合指数增长模型对人口进行预测。

3．缺点：（1）两个模型都只考虑了影响总人口数最主要因素是出生和死亡的个体数，忽略其他影响人口变化的众多因素，如人口的年龄和性别的结构，人口的迁入迁出，大型自然灾害，生育模式，医疗水平等都会影响总人口的变化。

（2）指数增长模型的缺点在于没有确定一个人口上限，随着年份的不断增加，人口不断增长，从而对人口的预测产生很大的影响。

（3）Logistic 增长模型的缺点在于其极限人口承载值不易求得，只能大致的估计得出，还有随着科技地不断发展环境资源下的人口承载极限值也会不断地增大，从而导致模型的实用性降低。

七．参考文献

[1] 赵静，但琦. 数学建模与数学实验（第3 版）. 高等教育出版社. 2008.1

[2] 冉启康, 张振宇, 张立柱. 常用数学软件教程. 人民邮电出版社.

[3] 姜启源, 谢金星,叶俊. 数学模型（第三版）. 高等教育出版社. 2008.3

[4] 张德丰, 数值分析与应用. 国防工业出版社. 2007.1

[5] 郑汉鼎，刁在筠，数学规划[M] ，山东：山东教育出版社，1997.12

[6] 马正飞. 数学计算方法与软件的工程应用. 化学工业出版社. 2002.12

八．附录

下面的程序均用Matlab 软件编写的

（说明：附表2和附表3运行结果中beta是所求模型的系数，c误差，f 是不同

时间t 对应的x（t）的值。）

附录1 利用表1 的数据作出散点图程序：

运行结果：如图1 所示

附录2 求指数增长模型的回归系数[1]、回归曲线、误差以及x(t) 的值

1、建立M 文件volum1.m：function yhat=volum1(beta,x)

yhat=beta(1)*exp(beta(2)*x);

2、主程序：x=0:1:16;

y=[10.1654 10.3008 10.4357 10.5851 10.7507 10.9300 11.1026 11.2704 11.4333 11.5823 11.7171 11.8517 11.9850 12.1121 12.2389 12.3626 12.4810];

beta0=[10.1654 0.01332]';

[beta,c,J]=nlinfit(x',y','volum1',beta0); [aa,delta]=nlpredci('volum1',x',beta,r,J);

f=volum1(beta,x); plot(x,y,'k+',x,aa,'r') beta c

运行结果：(包括图——如图2 所示) beta =

10.2247

0.0130 c =

-0.0593

-0.0580

-0.0589

-0.0471

-0.0210

0.0171

0.0466

0.0694

0.0855

0.0857

0.0697

0.0516

0.0302

0.0005

-0.0315

-0.0687

-0.1133 f =

Columns 1 through 8

10.2247 10.3588 10.4946 10.6322 10.7717 10.9129 11.0560 11.2010

附录3 求Logistic 增长模型的回归系数、回归曲线、误差以及x(t) 的值1，建立M 文件volum2.m：

y=[10.1654 10.3008 10.4357 10.5851 10.7507 10.9300 11.1026 11.2704 11.4333 11.5823 11.7171 11.8517 11.9850 12.1121 12.2389 12.3626 12.4810];

beta0=[10.1654 0.01332]';

[beta,c,J]=nlinfit(x',y','volum2',beta0); [aa,delta]=nlpredci('volum2',x',beta,r,J);