倒立摆控制系统的Simulink仿真

倒立摆控制系统的Simulink 仿真

本文针对一个倒立摆系统进行了系统的建模、求解、控制系统的设计，并且使用Simulink 对控制算法进行了仿真。

一、模型的描述

倒立摆系统如图（1），设有一个倒立摆装在只能沿x 轴方向移动的小车上，图中1m 为小车的质量，2m 为摆球的质量，g 为重力加速度，l 为摆长，J 为摆的转动惯量。当小车受到外力()f t 的作用时，小车产生位移()x t ，且摆产生角位移

()t θ。

二、模型的建立

下面针对该倒立摆系统进行建模求解。

当小车1m 在外力作用下产生位移()x t 时，摆球受力情况如图（2）所示。图

中2m g 为摆球2m 所受重力，222()d x t m dt 为x 方向的惯性力，2sin ()m g t θ为垂直于

摆杆方向的重力分量。在x 方向上，小车的惯性力矩为212

()

d x t m dt ，摆球产生的位移量为()sin ()x t l t θ+；在垂直于摆杆的方向上，摆球的转动惯性力为22()

d t J dt θ；

22

2()d x t m dt

的分力为222

()

cos ()d x t m t dt θ。

图（1）装有倒立摆的小车 图（2）倒立摆受力图

根据牛顿运动定律，按照力的平衡原理，可以分别列出该系统在x 方向上和垂直于摆杆方向上的的运动方程

222122222()()[sin ()]

()d x t d x t d l t m m m f t dt dt dt θ++=

（1） 222222

()()

cos ()sin ()d t d x t J m l t m lg t dt dt

θθθ+= （2） 三、模型的求解

3.1微分方程组的求解

联立式（1）、（2），经过方程组的恒等变形得

222

2

22

212222

2()()2[()cos ()]sin 2()2sin ()()2()

d x t d t m m J m l t m l g t Jm l t dt dt

Jf t θθθθ+-=-++ （3） 222

2

22

22122

21222()()[cos ()()]sin ()cos ()()()sin ()()

d t d t m l t m m J m l t t dt dt

m m m lg t m lf t θθθθθθ-+=-++ （4） 由式（3）、（4）令''121343()(),(),()(),()()x t t x x t x t x t x t x t θ====，可建立如下的微分方程组进行求解

'12'222222

1222222122'

34'222422222

122()()1()()(sin ()cos ()()()sin ()cos ()()())

()()1()()(sin 2()2sin ()()2())2[()cos ()]x t x t d t x t x m l t t m m m lg t m l t m m J dt m lf t x t x t d t x t m l g t Jm l t Jf t m m J m l t dt θθθθθθθθθ?=?

?=-+?-+?

+?==-+++-?????

3.2控制系统的分析与设计

在该模型中，对该倒立摆系统实施角度环、速度换的控制，并假设小车在运行过程中受到空气阻力，阻力大小与小车的速度成正比。通过调整()f t 的大小，达到在维持倒立摆保持平衡的条件下，使小车维持在给定的目标速度下。即控制

目标有

'

1

()0

()t x t setspeed θ=??=? 下面就角度环和速度环分别介绍控制过程。 （1）角度环

为了使倒立摆能够保持平衡，首先就需要对摆的角位移进行控制。由于控制目标是角位移为零，自然需要引入角度反馈。首先考虑引入P 控制。当有角度的偏差（假设偏差为正），P 控制将会产生一个向前的推力，使角度回复为零。但是为了避免角度的来回震荡，需要引入一个阻尼项，即微分控制。只要角度有变化，微分控制便产生作用以阻碍角度的变化。综上，角度环采用PD 控制，采取的()f t 为

'()()()a a f t P t D t θθ=+ （5） 在Simulink 模型中通过调整Pa 、Da 参数来调节角度的控制。 （2）速度环

倒立摆系统的速度控制是一个难点。其与通常的负反馈不同。因为系统首要的任务是要保持平衡，因此系统的回复力应占据主导地位。而倒立摆系统要想获得速度，首先得有加速度，即必须得打破自身的平衡。换句话说，倒立摆系统是以牺牲部分的平衡为代价来换取速度的稳定。因此，倒立摆系统速度控制的大致思路是：若小车想获得向前的速度，首先小车得受到一个向后的力。当角度平衡被打破后，占据主导地位的回复力将会使小车向前加速，以使角位移恢复为零。当小车再次平衡后，已经具有了向前的速度。通过这样不断地干扰系统的平衡，小车最终将会达到并稳定地保持在设定速度附近。若小车想获得向后的速度，反之即可。

通过上面的分析可以得出结论，速度控制对于角度控制来说是一个弱干扰，并且是反向的。为了更加逼近真实的系统，假设小车在前进的过程中会受到空气

阻力，其大小与速度成正比，即'1()f f K x t =-。由于模型中引入了空气阻力，会使速度控制产生静差，为了消除静差，速度环加入积分控制。综上，速度环的控制策略为PI 控制，采取的()f t 为

''0()(())(())t

sp sp f t P setspeed x t I setspeed x t =----? （6）

在Simulink 模型中通过调整Psp 、Isp 参数来调节速度的控制。

综合（5）、（6）式，并考虑空气阻力，可得

'

'

''0

()()()(())(())()

t

a a sp sp f f t P t D t P setspeed x t I setspeed x t K x t θθ=+-----?（7） 将（7）式带入上述微分方程组，便可以用Simulink 进行求解。

3.3 Simulink 模型的搭建

建立Simulink 模型如图（3）所示：

图（3）

在建模过程中，使该模型文件（DaoLiBai.slx ）与MATLAB 的m 文件（InitParam.m ）建立连接，在该文件中完成倒立摆系统的参数初始化，该文件内容如下：

%本文件完成倒立摆系统的参数初始化

m1 = 3; %小车的质量（kg ） m2 = 10; %摆球的质量（kg ） l = 0.05; %摆长（m ）

J = 3; %摆的转动惯量（kg*m^2） setspeed = 100; %小车的设定速度（m/s ） theta0 = 30; %摆的初始角度（度）

st = 50; %速度换的起始时间（s ） et = 400; %仿真的结束时间（s ）

3.4控制系统的参数分析

以下是求解得到的一些曲线（图中红色为'()x t ，黄色为()*200t θ，蓝色为'()*400t θ）

： Pa = 150，Da = 15，Psp = 0.2，Isp = 0.002，Kf = 0.1（基准参数）

Pa = 200，Da = 15，Psp = 0.2，Isp = 0.002，Kf = 0.1

Pa = 150，Da = 15，Psp = 0.15，Isp = 0.002，Kf = 0.1

从以上参数的对比中可以发现，Pa增大可以减小角度的波动范围，但会使小车速度的波动变大；Da增大可以抑制角度的变化；Psp减小会导致速度波动变大，但角度的波动会减小；Isp增大会使速度出现震荡，也会使角度的波动变大。综上，Pa，Psp，Isp过大都会使系统不稳定，三者都会使一项性能（角度或速度）

得到改善，而使另一项性能（速度或角度）变差，因此在实际应用中只能根据需要采取折中的策略。

四Simulink各模块的代码

Fcn2:m2^2 * l^2 * sin(u(2)) * cos(u(2)) * (u(3)^2) - (m1 + m2) * m2 * 10 * l * sin(u(2))

Fcn4: 2 * J * m2 * l * sin(u(2)) * u(2)^2 - m2^2 * l^2 * 10 * sin(2 * u(2))

Fcn5:2 * ((m1 + m2) * J - m2^2 * l^2 * (cos(u(2)))^2)

Fcn11:m2^2 * l^2 * (cos(u(2)))^2 - (m1 + m2) * J

Fcn8:-(setspeed * (u(1) > st) - u(5))

Gain1:2 * J

Gain4:m2 * l