复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的第二章习题答案
习题二
1. 求映射
1
w z z =+
下圆周||2z =的像. 解：设i ,i z x y w u v =+=+则
2222
221i i i i i()i x y x y
u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++
=++=++-++++
因为22
4x y +=,所以
53i 44u iv x y +=
+
所以 54u x =,34v y
=+
53
4
4
,u v x y == 所以(
)
()2
25344
2
u
v
+
=即(
)
()2
2
225322
1
u v +
=，表示椭圆.
2. 在映射2
w z =下，下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形，设e i w ?
ρ=或
i w u v =+. 解：设222
i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+ 所以22
,2.u x y v xy =-=
(1) 记e i w ?
ρ=，则
π
02,4r θ<<=
映射成w 平面内虚轴上从O 到4i 的一段，即
π
04,.
2ρ?<<=
(2) 记e i w ?
ρ=，则π0,024r θ<<<<映成了w 平面上扇形域，即
π
04,0.2ρ?<<<<
(3) 记w u iv =+，则将直线x=a 映成了22,2.u a y v ay =-=即
222
4().v a a u =-是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b 映成了22
,2.u x b v xb =-=
即222
4()v b b u =+是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示
.
3. 求下列极限.
解：令
1z t =
,则,0z t →∞→. 于是2
22
01lim lim 011z t t z t →∞→==++.
(2) 0Re()lim
z z z →;
解：设z=x+yi ，则Re()i z x
z x y =
+有 000
Re()1
lim
lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→==
++
显然当取不同的值时f(z)的极限不同 所以极限不存在.
（3）
2lim
(1)z i
z i
z z →-+；
解：
2lim
(1)z i
z i
z z →-+=11lim lim ()()()
2z i z i z i z i z z i z i z →→-==-
+-+.
（4）
21
22
lim
1z zz z z z →+---.
解：因为
2
22(2)(1)2
,1(1)(1)1zz z z z z z z z z z +--+-+==-+-+ 所以
21
12223
lim
lim 112z z zz z z z z z →→+--+==-+.
4. 讨论下列函数的连续性：
解：因为
22
(,)(0,0)lim ()lim
z x y xy
f z x y →→=
+, 若令y=kx,则
222(,)(0,0)lim
1x y xy k
x y k →=
++, 因为当k 取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在.
从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续. (2)
342
,0,()0,0.
x y
z f z x y z ?≠?
=+??=?
解：因为
3342202
2x y x x y
x y x y ≤≤=
+,
所以342
(,)(0,0)lim 0(0)x y x y f x y →==+
所以f(z)在整个z 平面连续.
5. 下列函数在何处求导？并求其导数.
(1) 1
()(1)n f z z -=- (n 为正整数)；
解：因为n 为正整数，所以f(z)在整个z 平面上可导.
1()(1)n f z n z -'=-.
(2)
22
()(1)(1)z f z z z +=
++.
解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在
2
(1)(1)0z z ++=处不可导. 从而f(z)除1,i z z =-=±外可导.
22222
32222
(2)(1)(1)(1)[(1)(1)]()(1)(1)2543(1)(1)z z z z z z f z z z z z z z z ''
+++-+++'=
++-+++=
++
(3)
38()57z f z z +=
-. 解：f(z)除
7=
5z 外处处可导，且
223(57)(38)561()(57)(57)z z f z z z --+'==-
--. (4) 222
2()i x y x y
f z x y x y +-=
+++.
解：因为
2
222222i()i i(i )(i )(1i)(1i)1i
()x y x y x y x y x y z f z x y x y x y z z
++--+--+++=
====+++.所以f(z)除z=0外处处可导，且
2(1i)()f z z +'=-
.
6. 试判断下列函数的可导性与解析性.
(1) 22
()i f z xy x y =+;
解：
22
(,),(,)u x y xy v x y x y ==在全平面上可微. 22,2,2,y
u
v
v y xy xy x x y x
y ????====????
所以要使得
u v x y ??=??， u v
y x ??=-??,
只有当z=0时,
从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
(2) 22
()i f z x y =+.
解：22(,),(,)u x y x v x y y ==在全平面上可微.
2,0,0,2u
u v v
x y x y x
y ????====????
只有当z=0时,即(0,0)处有u v x y ??=??,u v y
y ??=-
??. 所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
(3) 33
()23i f z x y =+;
解：33(,)2,(,)3u x y x v x y y ==在全平面上可微.
226,0,9,0u
u v
v x y x y x
y ????====????
=时，才满足C-R 方程.
从而f(z)0=处可导，在全平面不解析.
(4) 2
()f z z z =?.
解：设i z x y =+，则
23232()(i )(i )i()f z x y x y x xy y x y =-?+=+++ 3232(,),(,)u x y x xy v x y y x y =+=+
22223,2,2,3u
u
v
v
x y xy xy y x x
y
x
y ????=+===+????
所以只有当z=0时才满足C-R 方程.
从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.
7. 证明区域D 内满足下列条件之一的解析函数必为常数. (1) ()0f z '
=;
证明：因为()0f z '=，所以0u u x y ??==??,0
v v x y ??==??.
所以u,v 为常数，于是f(z)为常数. (2) ()f z 解析.
证明：设()i f z u v =-在D 内解析,则 ()u v u v
x y x y ??-??=?=-???? ()u v v y x y ?-?-?==+??? ,u v u v
x y
y x ????=-=????
而f(z)为解析函数，所以
,u u
u v x y y x ????==-????
所以,
,v v
v v x
x y y ????=-=-????即0u u v v
x y x y ????====????
从而v 为常数，u 为常数，即f(z)为常数.
(3) Ref(z)=常数.
证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1, 0u u x y ??==??
因为f(z)解析，C-R 条件成立。故0u u x y ??==??即u=C2
从而f(z)为常数.
(4) Imf(z)=常数.
证明：与（3）类似，由v=C1得0v v x y ??==??
因为f(z)解析，由C-R 方程得0u u x y ??==??,即u=C2
所以f(z)为常数.
5. |f(z)|=常数.
证明：因为|f(z)|=C ，对C 进行讨论. 若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数.
若C ≠0，则f(z) ≠0,但2
()()f z f z C ?=，即u2+v2=C2
则两边对x,y 分别求偏导数，有
220,220
u v u v u v u v x x y y ?????+?=?+?=???? 利用C-R 条件，由于f(z)在D 内解析，有 u v u v x y y x ????==-???? 所以00u
v u v x x u v v u x x ????+?=?????
????-?=???? 所以0,
0u v x x ??==??
即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.
(6) argf(z)=常数.
证明：argf(z)=常数，即arctan v C
u ??= ???,
于是
222
222222
()
()(/)01(/)()()v u v u
u u v u u v v u y y x x v u u u v u u v ????-??
-?'
????===+++
得
00v
u u v x x v
u u v y y ????-?=?????????-?=???? C-R 条件→ 00v u u v x x v u u v x x ????-?=?????
????+?=????
解得0u v u v x x y y ????====????，即u,v 为常数，于是f(z)为常数.
8. 设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z 平面上解析，求m,n,l 的值. 解：因为f(z)解析，从而满足C-R 条件. 222,3u u nxy my nx x y ??==+?? 223,2v
v
x ly lxy x
y ??=+=??
u v n l x y ??=?=??
3,3u v
n l m y x ??=-?=-=-??
所以3,3,1n l m =-=-=.
9. 试证下列函数在z 平面上解析，并求其导数.
(1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i
证明：u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且
222233,6,6,33u
u
v
v
x y xy xy x y x
y
x
y ????=-=-==-????
所以f(z)在全平面上满足C-R 方程，处处可导，处处解析.
22222()i 336i 3(2i)3u v
f z x y xy x y xy z x x
??'=
+=-+=-+=??.(2)
()e (cos sin )ie (cos sin )x x f z x y y y y y x y =-++. 证明：
(,)e (cos sin ),
(,)=e (cos sin )x x u x y x y y y v x y y y x y =-+处处可微，且
e (cos sin )e (cos )e (cos sin cos )x x x u
x y y y y x y y y y x ?=-+=-+?
e (sin sin cos )e (sin sin cos )x x u
x y y y y x y y y y y
?=---=---?e (cos sin )e (sin )e (cos sin sin )x x x v
y y x y y y y x y y x
?=++=++?e (cos (sin )cos )e (cos sin cos )
x x v y y y x y y y y x y y ?=+-+=-+?所以u v x y ??=??, u v y
x ??=-?? 所以f(z)处处可导，处处解析.
()i e (cos sin cos )i(e (cos sin sin ))e cos ie sin (e cos ie sin )i (e cos ie sin )e e i e e (1)
x x x
x x x x x z z z z u v
f z x y y y y y y x y y x x y y x y y y y y x y z ??'=
+=-++++??=+++++=++=+10. 设
()()
333322
i ,0.0.0.x y x y z f z x y z ?-++≠?
=+??=?
求证：(1) f(z)在z=0处连续．
(2)f(z)在z=0处满足柯西—黎曼方程． (3)f ′(0)不存在． 证明.(1)∵
()()
()()
,0,0lim ()lim ,i ,z x y f z u x y v x y →→=
+
而()()()()()33
22,0,0,0,0lim ,lim x y x y x y u x y x y →→-=+
∵
()3322221x y xy x y x y x y -?
?=-?+ ?++??
∴3322
3
02
x y x y x y --+≤
≤
∴()()33
22,0,0lim 0x y x y x y →-=+ 同理()()33
22
,0,0lim 0x y x y x y →+=+
∴()()
()()
,0,0lim
00x y f z f →==
∴f(z)在z=0处连续．
(2)考察极限()
()0lim
z f z f z →-
当z 沿虚轴趋向于零时，z=iy ，有
()()()3
2
00111i lim i 0lim 1i i i y y y f y f y y y →→--??-=?=+??．
当z 沿实轴趋向于零时，z=x ，有 ()()[]01
lim
01i x f x f x →-=+
它们分别为
i ,i u v v u
x x y y ????+?-???? ∴,u v u v x y y
x ????==-
???? ∴满足C-R 条件．
(3)当z 沿y=x 趋向于零时，有
()()()()()33300i 0,01i 1i i lim lim i 21i 1i x y x y f x x f x x x x x =→=→+-+--==+++
∴0lim
z f z →??不存在．即f(z)在z=0处不可导．
11. 设区域D 位于上半平面，D1是D 关于x 轴的对称区域，若f(z)在区域D 内解析，求证
()()F z f z =在区域D1内解析．
证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为f(z)在区域D 内解析．
所以u(x,y),v(x,y)在D 内可微且满足C-R 方程，即,u v u v x y y
x ????==-
????． ()()()()()
,iv ,,i ,f z u x y x y x y x y ?ψ=---=+，得
(),u x y x x ??-?=
?? ()(),,u x y u x y y y y ??-?-?==-??? (),v x y x x ψ-?-?=
?? ()(),,v x y v x y y y y ψ?-?-?=+=???
故φ(x,y),ψ(x,y)在D1内可微且满足C-R 条件,x y
y x ?ψ?ψ
????==-
???? 从而()
f z 在D1内解析
13. 计算下列各值
(1) e2+i=e2?ei=e2?(cos1+isin1)
(2)22π2
2
i 3
33
3
3
ππ1e
e e
e cos isin e 332i π--????????=?=?-+-=? ?
? ???????
???? (3)
()()
22
22
22
22
22
i i
22222
2Re e
Re e e
Re e cos isin e
cos x y x y x y x y x y x
x y
x
x y y y x y x y y x y -+-
++++=?????????= ?-+-?
?? ? ? ?++???????
?
??
=? ?
+??
(4)
()()i 2i 2i i 22i 2e e e e e e x y x y x y x
-+-+---=?=?=
14. 设z 沿通过原点的放射线趋于∞点，试讨论f(z)=z+ez 的极限． 解：令z=rei θ， 对于?θ，z →∞时，r →∞．
故()()()i i e
i isi c n os lim e e lim e e r r r r r r θ
θθθθ→∞
→+∞
+=+=∞
．
所以()lim z f z →∞
=∞
．
15. 计算下列各值． (1)
(
)(
)3ln 23i iarg 23i i πarctan 2?
?-+-+=- ?
??
(2)
(
(
ππln 3ln iarg 3ln i ln i
66??
==-= ??? (3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i
(4)
()()π
ln ie ln e iarg ie 1i
2=+=+
16. 试讨论函数f(z)=|z|+lnz 的连续性与可导性．
解：显然g(z)=|z|在复平面上连续，lnz 除负实轴及原点外处处连续． 设z=x+iy
，
()()
()||,i ,g z z u x y v x y ==+
(
)(),,0
u x y v x y ==在复平面内可微．
(
)1
222
122
u u x y x x y
-??=+?==??
00v v x y ??==??
故g(z)=|z|在复平面上处处不可导．
从而f(x)=|z|+lnz 在复平面上处处不可导． f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连续． 17. 计算下列各值． (1)
()()
()()
(
)1i
π1i i 2πi 1i
ln 1i 1i ln 1i 4ππ
i 2π
44π
2π
4
π
2π4
1i e
e
e
ππ
e i 2π44e e
ππe
cos isin 4
4ππe
cos isin 4
4k k k k k -??-?+ ?
-+-?+??
?-+ ?++
+====+
-++=?????=?-+- ??
??????
??=?-+- ??
???? (2)
(
(
)
(
)
)(
)(
)(
(
)(
)(5
ln 3ln 3i π2πi 3π23
3e cos 21isin 21cos 21πisin 21k k k k k k --+?++-=====+++=?++
(3)
()
()
i
i ln1iln1i ln1i 02πi
i 2πi 2π
1e e e e e k k k ----?+?+-?=====
(
)()(
)1i
1i
ln 1i ln ππ1i ln1i 2πi 1i 2πi i 44πππ
π
i 2π2πi i 2π2π4444
π
2π4
π
2π4e e
e e
e e
e
ππe
cos isin 44()4e k k k k k k k k +++??????+?+-++- ? ?
?
??????
?
?---+
- ???
--======?????=?+- ? ?
???
??=?-?
?
18. 计算下列各值
(1)
()()()
()i π5i i π5i i π5i π5
555555e e e e cos π5i 22
e e 1e e e e ch5
222+-+--+---+++==
-+---+===-=-
(2)
()()()
()()i 15i i 15i i 5i 5
55
5555e e e e sin 15i 2i 2i
e cos1isin1e cos1isin12i
e e e e sin1i cos1
22---+--------==
+-?-=
++=?-?
(3)()()()(
)
(
)
()()()
i 3i i 3i
i 3i i 3i 22e e sin 3i sin 6isin 2
2i tan 3i cos 3i e e 2ch 1sin 32i
----------===
-+-(4)
()()()2
2
2
i i 2222222222221sin e e sin ch i cos sh 2i
sin ch cos sh sin ch sh cos sin sh sin sh y x y x z x y x y
x y x y
x y y x x y x y
-+-=?-=?+?=?+?=?-++?=+
(5)
(
(
))()arcsin i i ln i i ln 1i ln 1i2π0,1,
i ln 1i π2πk k k =-=-±???-+???==±????-++??
?
(6)()()()i 1i 12i i 21arctan 12i ln ln i 21i 12i 2551i
πarctan 2ln 5
24k ++??
+=-=-?-+ ?
-+??=++?
19. 求解下列方程 (1) sinz=2． 解：
(
)(
(
(1
arcsin 2ln 2i ln 2i i
1i ln 22πi 212πi ln 2,0,1,2z k k k ??===-±??
???
?=-++ ???
???
??
?=+±+=± ??
?
(2)e 10z
-=
解：e 1z
= 即
()π
ln 1ln 2i 2πi 3
1ln 22πi
3z k k ==++?
?=++ ??
?
(3) πln i 2z =
解：
πln i
2z =
即π
i 2e i z ==
(4)()ln 1i 0z -+=
解：
(
)π1ln 1i i 2πi 2πi
44z k k ?
?-+=?+=+ ???． 20. 若z=x+iy ，求证
(1) sinz=sinxchy+icosx ?shy 证明：
()()()i i i i i i i e e e e sin 2i 2i 1
.e e 2i
sin ch i cos .sh x y x y i
z z y x y x z x y x y +-+?--+---==
=-=?+ (2)cosz=cosx ?chy-isinx ?shy 证明：
()
()()
()()()()i i i i i i i i e e 1cos e e 221
e e 21
e cos isin e .cos isin 2
e e e e .cos isin .22cos .ch isin .sh z z x y x y y x y x y y y y y y z x x x x x x x y x y -+-+-+----+==?+=+=?++-??
+-+=-????=-
(3)|sinz|2=sin2x+sh2y 证明： ()i
i 1sin e e sin ch icos sh 2i y x y x z x y x y -+-=
-=?+?
()()2
222222222222sin sin ch cos .sh sin ch sh cos sin sh sin sh z x y x y
x y y x x y
x y
=+=-++=+
(4)|cosz|2=cos2x+sh2y
证明：cos cos ch isin sh z x y x y =-
()()2
222222222222cos cos .ch sin .sh cos ch sh cos sin .sh cos sh z x y x y
x y y x x y
x y
=+=-++=+
21. 证明当y →∞时，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无穷大． 证明： ()()i i i
i 11sin e e e e 2i 2i z z y x y x z --+-=
-=?-
∴i i
i i 1
sin e 2e e e e y x y x y x y y x y z e -+--+--=?-==
而
()()i
i 11sin e e e e 22y x y x y y z
-+---=-≥
当y →+∞时，e-y →0，ey →+∞有|sinz|→∞．
当y →-∞时，e-y →+∞，ey →0有|sinz|→∞．
同理得()()
i i 11
cos i e e e e 22y x y x y y x y -+--+=+-≥ 所以当y →∞时有|cosz|→∞．
电磁学试题(含答案)
一、单选题 1、 如果通过闭合面S 的电通量e Φ为零，则可以肯定 A 、面S 没有电荷 B 、面S 没有净电荷 C 、面S 上每一点的场强都等于零 D 、面S 上每一点的场强都不等于零 2、 下列说法中正确的是 A 、沿电场线方向电势逐渐降低 B 、沿电场线方向电势逐渐升高 C 、沿电场线方向场强逐渐减小 D 、沿电场线方向场强逐渐增大 3、 载流直导线和闭合线圈在同一平面，如图所示，当导线以速度v 向 左匀速运动时，在线圈中 A 、有顺时针方向的感应电流 B 、有逆时针方向的感应电 C 、没有感应电流 D 、条件不足，无法判断 4、 两个平行的无限大均匀带电平面，其面电荷密度分别为σ+和σ-， 则P 点处的场强为 A 、02εσ B 、0εσ C 、0 2εσ D 、0 5、 一束α粒子、质子、电子的混合粒子流以同样的速度垂直进 入磁场，其运动轨迹如图所示，则其中质子的轨迹是 A 、曲线1 B 、曲线2 C 、曲线3 D 、无法判断 6、 一个电偶极子以如图所示的方式放置在匀强电场 E 中，则在 电场力作用下，该电偶极子将 A 、保持静止 B 、顺时针转动 C 、逆时针转动 D 、条件不足，无法判断 7、 点电荷q 位于边长为a 的正方体的中心，则通过该正方体一个面的电通量为 A 、0 B 、0εq C 、04εq D 、0 6εq 8、 长直导线通有电流A 3=I ，另有一个矩形线圈与其共面，如图所 示，则在下列哪种情况下，线圈中会出现逆时针方向的感应电流？ A 、线圈向左运动 B 、线圈向右运动 C 、线圈向上运动 D 、线圈向下运动 9、 关于真空中静电场的高斯定理0 εi S q S d E ∑=?? ，下述说确的是： A. 该定理只对有某种对称性的静电场才成立； B. i q ∑是空间所有电荷的代数和； C. 积分式中的E 一定是电荷i q ∑激发的； σ- P 3 I
大学物理电磁学考试试题及答案)
大学电磁学习题1 一．选择题（每题3分） 1.如图所示，半径为R 的均匀带电球面，总电荷为Q ，设无穷远处的电 势为零，则球内距离球心为r 的P 点处的电场强度的大小和电势为： (A) E =0，R Q U 04επ=． (B) E =0，r Q U 04επ= ． (C) 2 04r Q E επ= ，r Q U 04επ= ． (D) 2 04r Q E επ= ，R Q U 04επ=． ［ ］ 2.一个静止的氢离子(H +)在电场中被加速而获得的速率为一静止的氧离子(O +2 )在同一电场中且通过相同的路径被加速所获速率的： (A) 2倍． (B) 22倍． (C) 4倍． (D) 42倍． ［ ］ 3.在磁感强度为B ? 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平 面的法线方向单位矢量n ?与B ? 的夹角为 ，则通过半球面S 的磁通量(取 弯面向外为正)为 (A) r 2 B ． . (B) 2 r 2B ． (C) -r 2B sin ． (D) -r 2 B cos ． ［ ］ 4.一个通有电流I 的导体，厚度为D ，横截面积为S ，放置在磁感强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导体的侧表面，如图所示．现测得导体上下两面电势差为V ，则此导体的霍尔系数等于 O R r P Q n ?B ?α S D I S V B ?
(A) IB VDS ． (B) DS IBV ． (C) IBD VS ． (D) BD IVS ． (E) IB VD ． ［ ］ 5.两根无限长载流直导线相互正交放置，如图所示．I 1沿y 轴的正方向，I 2沿z 轴负方向．若载流I 1的导线不能动，载流I 2的 导线可以自由运动，则载流I 2的导线开始运动的趋势是 (A) 绕x 轴转动． (B) 沿x 方向平动． (C) 绕y 轴转动． (D) 无法判断． ［ ］ 6.无限长直导线在P 处弯成半径为R 的圆，当通以电流I 时，则在圆心O 点的磁感强度大小等于 (A) R I π20μ． (B) R I 40μ． (C) 0． (D) )1 1(20π -R I μ． (E) )1 1(40π +R I μ． ［ ］ 7.如图所示的一细螺绕环，它由表面绝缘的导线在铁环上密绕而成，每厘米绕10匝．当导线中的电流I 为2.0 A 时，测得铁环内的磁感应强度的大小B 为 T ，则可求得铁环的相对磁导率r 为(真空磁导率 =4 ×10-7 T ·m ·A -1 ) (A) ×102 (B) ×102 (C) ×102 (D) ［ ］ y z x I 1 I 2 O R I
2018年复旦大学生命科学学院人类生物学 [0710Z2]考试科目、参考书目、复习指导
2018年复旦大学生命科学学院人类生物学 [0710Z2]考试科目、 参考书目、复习经验 一、招生信息 所属学院：生命科学学院 所属门类代码、名称：理学[07] 所属一级学科代码、名称：生物学[0710] 二、研究方向 01 (全日制)分子人类学 02 (全日制)进化人类学 03 (全日制)考古与体质人类学 04 (全日制)历史人类学 05 (全日制)语言人类学 三、考试科目 ①101思想政治理论 ②201英语一 ③303数学三或727生物化学(理)或728生理学或739人类生物学 ④873遗传学和细胞生物学 四、复习指导 一、参考书的阅读方法 （1）目录法：先通读各本参考书的目录，对于知识体系有着初步了解，了解书的内在逻辑结构，然后再去深入研读书的内容。 （2）体系法：为自己所学的知识建立起框架，否则知识内容浩繁，容易遗忘，最好能够闭上眼睛的时候，眼前出现完整的知识体系。 （3）问题法：将自己所学的知识总结成问题写出来，每章的主标题和副标题都是很好的出题素材。尽可能把所有的知识要点都能够整理成问题。 二、学习笔记的整理方法
（1）第一遍学习教材的时候，做笔记主要是归纳主要内容，最好可以整理出知识框架记到笔记本上，同时记下重要知识点，如假设条件，公式，结论，缺陷等。记笔记的过程可以强迫自己对所学内容进行整理，并用自己的语言表达出来，有效地加深印象。第一遍学习记笔记的工作量较大可能影响复习进度，但是切记第一遍学习要夯实基础，不能一味地追求速度。第一遍要以稳、细为主，而记笔记能够帮助考生有效地达到以上两个要求。并且在后期逐步脱离教材以后，笔记是一个很方便携带的知识宝典，可以方便随时查阅相关的知识点。 （2）第一遍的学习笔记和书本知识比较相近，且以基本知识点为主。第二遍学习的时候可以结合第一遍的笔记查漏补缺，记下自己生疏的或者是任何觉得重要的知识点。再到后期做题的时候注意记下典型题目和错题。 （3）做笔记要注意分类和编排，便于查询。可以在不同的阶段使用大小合适的不同的笔记本。也可以使用统一的笔记本但是要注意各项内容不要混杂在以前，不利于以后的查阅。同时注意编好页码等序号。另外注意每隔一定时间对于在此期间自己所做的笔记进行相应的复印备份，以防原件丢失。统一的参考书书店可以买到，但是笔记是独一无二的，笔记是整个复习过程的心血所得，一定要好好保管。
电磁场理论习题及答案1
一． 1.对于矢量A u v，若A u v＝ e u u v x A＋y e u u v y A＋z e u u v z A， x 则： e u u v?x e u u v＝；z e u u v?z e u u v＝； y e u u v?x e u u v＝；x e u u v?x e u u v＝ z 2.对于某一矢量A u v，它的散度定义式为； 用哈密顿算子表示为 3.对于矢量A u v，写出： 高斯定理 斯托克斯定理 4.真空中静电场的两个基本方程的微分形式为 和 5.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系为，通常称它为 二.判断：（共20分，每空2分）正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。 1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（） 2.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（） 3.梯度的方向是等值面的切线方向。（） 4.恒定电流场是一个无散度场。（） 5.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。（） 6.静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（）
7.研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。（ ） 8.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ ） 9.静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。（ ） 10.物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不相关的两方面问题。（ ） 三.简答：（共30分，每小题5分） 1.用数学式说明梯无旋。 2.写出标量场的方向导数表达式并说明其涵义。 3.说明真空中电场强度和库仑定律。 4.实际边值问题的边界条件分为哪几类？ 5.写出磁通连续性方程的积分形式和微分形式。 6.写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。 四.计算：（共10分）半径分别为a,b(a>b),球心距为c(c 一、填空题（每小题2分，共20分） 1、 一无限长均匀带电直线，电荷线密度为η，则离这带电线的距离分别为1r 和2r 的两点之间的电势差是（ ）。 2、在一电中性的金属球内，挖一任意形状的 空腔，腔内绝缘地放一电量为q 的点电荷， 如图所示，球外离开球心为r 处的P 点的 场强（ ）。 3、在金属球壳外距球心O 为d 处置一点电荷q ，球心O 处电势（ ）。 4、有三个一段含源电路如图所示， 在图（a ）中 AB U =( )。 在图（b ）中 AB U =( )。 在图（C ）中 AB U =( )。 5、载流导线形状如图所示，(虚线表示通向无穷远的直导线)O 处的磁感应强度的大小为（ ） 6、在磁感应强度为B 的水平方向均匀磁场中，一段质量为ｍ，长为Ｌ的载流直导线沿 竖直方向从静止自由滑落，其所载电流为Ｉ，滑动中导线与B 正交，且保持水平。则导线 下落的速度是（ ） 7、一金属细棒OA 长为L ，与竖直轴OZ 的夹角为θ，放在磁感 应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向如图所示，细棒以角速度ω 绕OZ 轴转动（与OZ 轴的夹角不变 ），O 、A 两端间的电势差 （ ）。 8、若先把均匀介质充满平行板电容器，（极板面积为S 为r ε）然后使电容器充电至电压U 。在这个过程中，电场能量的增量是（ ）。 9、 B H r μμ= 01 只适用于（ ）介质。 10、三种理想元件电压电流关系的复数形式为（ ）， （ ）， （ ）。 一、选择题（每小题2分，共20分） 1、在用试探电荷检测电场时，电场强度的定义为：0q F E = 则（ ） （A ）E 与q o 成反比 B ) (a A 2 R R r B ) (c A B r ()b R I O A 高等数学测试（第二章） 一．选择题（每小题２分，共20分） 1 ．设函数0()10 2 x f x x ≠=??=?? 在0x =处（ ） A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导D ．可微 2．设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ）A ．1 B ．2 e C ．2e D ．e 3．设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--等于（ ） A ．0 B ．()f a ' C ．2()f a ' D ．(2)f a ' 4．设x x x f += ??? ??11，x x g ln )(=，则[()]f g x '= （ ） A ． 2) 1(1x + B ．2)1(1x +- C ．1x x + D ．22 )1(x x +- 5．设函数 )(x f 在),(+∞-∞内可导，则下列结论中正确的是 （ ） A ．若)(x f 为周期函数，则)(x f '也是周期函数 B ．若)(x f 为单调增加函数，则)(x f '也是单调增加函数 C ．若)(x f 为偶函数，则)(x f '也是偶函数 D ．若 )(x f 为奇函数，则)(x f '也是奇函数 6．设)(x f 可导，则下列不成立的是 （ ） A ．)0()0()(lim 0 f x f x f x '=-→ B ．)()()2(lim 0 a f h a f h a f h '=-+→ C ．)()()(lim 0 000 x f x x x f x f x '=??--→? D ．)(2)()(lim 0000 x f x x x f x x f x '=??--?+→? 复旦大学病理生理学辅导班内部讲义 一、名词解释 1.脑死亡（brain death）：是指全脑机能永久性丧失，即机体作为一个整体的功能永久停止。因此，脑死亡成了近年来判断死亡的一个重要标志。 2.低容量性高钠血症（hypovolemic hypernatremia）：又称高渗性脱水，其特征是失水多于失钠，血清钠浓度>150ml/L,血浆渗透压>310mmol/L. 3.低容量性低钠血症（hypovolemic hyponatremia）：又称低渗性脱水，其特征是失钠多于失水，细胞外液渗透压低于280mmol/L,血清钠浓度低于130mmol/L. 4.水中毒（water intoxication）：血清钠浓度低于130mmol/l,血浆渗透压低于280mmol/l,但体内总量正常，患者有水潴留使体液量明显增多，故称水中毒。 5.水肿（edema）：是过多的液体在组织间隙或体腔中积累的一种常见病理过程。 6.心房利钠多肽（atrial natriuretic polypeptide ANP）：由心房组织释放，可增加回心血量、提高心房内压。其作用为抑制近曲小管重吸收钠，使尿钠与尿量增加，作用于肾上腺皮质球状带而抑制醛固酮分泌，减少肾小管对钠的重吸收。 7.阴离子间隙（anion gap AG）：是指血浆中未测定的阴离子量与未测定的阳离子量的差值。 8.混合型酸碱平衡紊乱（mixed acid-base disturbances）：是指同一病人有两种或两种以上酸碱平衡紊乱同时存在。 9.肾小管性酸中毒（renal tuhular acidosis RTA）：是一种肾小管排酸或重吸收碱性物质障碍而产生酸中毒的疾病，有RTA-1型和RTA-2型等多种类型。 10.缺氧（hypoxia）：凡因氧供应不足或用氧障碍，导致组织代谢、功能及形态结构发生异常变化的病理过程称为缺氧。 11.低张性缺氧（hypotonic hypoxia）：由吸入气氧分压过低、外呼吸功能障碍及静脉血分流入动脉等原因引起动脉血氧分压降低，使动脉血氧含量减少的组织供氧不足，称为低张性缺氧。12.等张性低氧血症（isotonic hypoxemia）：血红蛋白数量减少或性质改变，使血氧容量降低而致动脉血氧含量减少，但动脉血氧分压正常，故称为等张性低氧血症。 13.肠源性紫绀（enterogenous cyanosis）：食用大量含硝酸盐的腌菜后，经肠道细菌将硝酸盐还原为亚硝酸盐，后者吸收后导致高铁血红蛋白血症，如血中高铁血红蛋白含量增至20％－50％，患者出现头痛、无力、呼吸困难、心动过速、昏迷以及皮肤粘膜呈青紫色。 14.循环性缺氧（circulatory hypoxia）：由休克、心力衰竭、血管病变、栓塞等原因引起全身或局部循环障碍，组织血流减少导致组织供氧减少，称为循环性缺氧。其血氧变化特点是动－静脉血氧含量差增大，而其他血氧指标正常。 15.发热（fever）：是指在致热源作用下，体温调节中枢的调定点上移而引起的调节性体温升高，当体温上移超过正常值的0.5度时，称为发热。 16.热惊厥（febrile convulsion）：发热时患者可表现为不同程度的中枢神经系统功能障碍，在小儿易出现全身或局部肌肉抽搐，称为热惊厥。 17.内生致热源（endogenous pyrogen EP）：产EP细胞在发热激活物的作用下，产生和释放的能引起体温升高的物质，称为内生致热源。 18.应激（stress）：机体在受到各种内外环境因素刺激时所出现的非特异性全身反应称为应激。 19.热休克蛋白（heat shock protein）：在热应激源或其它应激时细胞新合成或合成增加的一组蛋白质称为热休克蛋白或应激蛋白。 20.全身适应综合征（general adaptation syndrome GAS ）：是指劣性应激源持续作用于机体，而应激可表现为一个动态的连续过程，并最终导致内环境紊乱和疾病。可分为警觉期、抵抗期、衰竭期。 21.休克（shock）：休克系各种强烈致病因素作用于机体，使其循环功能急剧减退，组织器官微 电磁学习题 1 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度B 的大 小在沿磁感应线和垂直它的方向上是否可能变化(即磁场是否一定是均匀的)? (2)若存在电流，上述结论是否还对? 2 如题图所示，AB 、CD 为长直导线，C B 为圆心在O 点的一段圆弧形导线， 其半径为R ．若通以电流I ，求O 点的磁感应强度． 图 3 在半径为R 的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r 的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a ,且a ＞r ，横截面如题9-17图所示．现在电流I 沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行．求： (1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小； (2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小． 4 如图所示，长直电流1I 附近有一等腰直角三角形线框，通以电流2I ，二者 共面．求△ABC 的各边所受的磁力． 图 5 一正方形线圈，由细导线做成，边长为a ，共有N 匝，可以绕通过其相对两边中点的一个竖直轴自由转动．现在线圈中通有电流I ，并把线圈放在均匀的水平 外磁场B 中，线圈对其转轴的转动惯量为J .求线圈绕其平衡位置作微小振动时 的振动周期T . 6 电子在B =70×10-4 T 的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径r =3.0cm ．已知B 垂直于纸面向外，某时刻电子在A 点，速度v 向上，如图． (1) 试画出这电子运动的轨道； (2) 求这电子速度v 的大小； (3)求这电子的动能k E ． 图 7 在霍耳效应实验中，一宽1.0cm ，长4.0cm ，厚1.0×10-3cm 的导体，沿长度 方向载有3.0A 的电流，当磁感应强度大小为B =1.5T 的磁场垂直地通过该导体时，产生1.0×10-5V 的横向电压．试求： (1) 载流子的漂移速度； (2) 每立方米的载流子数目． 8 如图所示，载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a ．设半圆环以速度v 平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压 N M U U ． 图 9 如图所示，用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆．令这半圆形导线在磁场 电磁学试题库 试题3 一、填空题（每小题2分，共20分） 1、带电粒子受到加速电压作用后速度增大，把静止状态下的电子加速到光速需要电压是（ ）。 2、一无限长均匀带电直线（线电荷密度为λ）与另一长为L ，线电荷密度为η的均匀带电直线AB 共面，且互相垂直，设A 端到无限长均匀带电线的距离为a ，带电线AB 所受的静电力为（ ）。 3、如图所示，金属球壳内外半径分别为a 和b ，带电量为Q ，球壳腔内距球心O 为r 处置一电量为q 的点电荷，球心O 点的电势（ ~ 4、两个同心的导体薄球壳，半径分别为b a r r 和,其间充满电阻率为ρ的均匀介质（1）两球壳之间的电阻（ ）。（2）若两球壳之间的电压是U ，其电流密度（ ）。 5、载流导线形状如图所示，(虚线表示通向无穷远的直导线)O 处的磁感应强度的大小为（ ） 6、一矩形闭合导线回路放在均匀磁场中，磁场方向与回路平 ' 面垂直，如图所示，回路的一条边ab 可以在另外的两条边上滑 动，在滑动过程中，保持良好的电接触，若可动边的长度为L ， 滑动速度为V ，则回路中的感应电动势大小（ ），方向（ ）。 7、一个同轴圆柱形电容器，半径为a 和b ，长度为L ，假定两板间的电压 t U u m ω=sin ,且电场随半径的变化与静电的情况相同，则通过半径为r （a 2．2）1 ()3,0 x f x x ==； 解： 11 lim 11 lim lim ()lim 3330 lim ()lim 333 x x x x x x x x x x f x f x - →--+ →++-∞ →→+∞ →→========+∞ 因为0 lim ()lim ()x x f x f x - + →→≠，所以3 lim ()x f x →-不存在。 3）2 11(),02x f x x - ?? == ? ?? ； 解： 2 10000 11lim ()lim ()lim ()lim 22x x x x x f x f x f x -+- -∞ →→→→?? ??=====+∞ ? ??? ?? 所以3 lim ()x f x →-不存在。 4）3,3 9)(2 -=+-= x x x x f ； 解：63 ) 3)(3(lim )(lim )(lim 3 3 3 -=+-+==+ + - -→-→-→x x x x f x f x x x 故极限6)(lim 3 -=-→x f x 2 2 2 2 2 5).lim ()224,lim ()3215, lim ()lim (),lim ()x x x x x f x f x f x f x f x -+-+→→→→→=?==?-=≠解：因为所以不存在。 ()0 6.lim ()lim 21,lim ()lim cos 12,lim ()lim (),lim ()x x x x x x x x f x f x x f x f x f x --++-+→→→→→→→===+=≠）解：因为所以不存在。 7）1()arctan ,0f x x x ==； 复旦大学生理学简答(期末必考) 第四章 血液循环 1.第一、第二心音的特点、成因和意义 答：第一心音的特点：音频较低而持续时间长 成因：与心室收缩、房室瓣关闭、心室射血冲击主动脉根部、大血管扩张以及产生湍流等原因引起的振动有关 意义：心室收缩力很弱 第二心音的特点：音频较高而持续时间较短 成因：动脉瓣关闭引起的振动有关，还与心室舒张引起的室壁振动和血流冲击大动脉根部引起的振动有关 2.心肌兴奋性的周期性变化 答：有效不应期；相对不应期；超长期 3.心脏内兴奋传导的途径和特点 答：途径： 窦房结→心房肌→左右心房→优势传导通路→房室交界区→房室束→左右束支→浦肯野纤维→心室肌 特点：1）“优势传导通路”的传导速度较快 ，窦房结兴奋尽快传到房室交界区 2）心室内传导组织速度快，利于两心室同步收缩 3）房室交界区速度很慢（结区最慢）—房-室延搁，确保心房和心室不会同时收缩 4.心肌收缩的特点 答：同步收缩；不发生强直收缩；对细胞外Ca2+的依赖性 5.正常心电图的波形及其意义 答：P 波：左、右两心房的去极化 QRS 波群：左、右两心室的去极化 T 波：心室的复极化 P-R 间期：窦房结产生的兴奋传到心室，并引起心室开始兴奋所需要的时间，0.12~0.20s Q-T 间期：心室开始去极化到完全复极化的时间 ST 段：正常与基线平齐，心室各部分均处于去极化 6.血流通路的功能 答：功能：血液与组织细胞进行物质交换 7.心迷走神经、心交感神经、交感缩血管神经纤维的递质、受体和作用 答： 8.压力感受性反射的过程（不确定） 答：压力感受器→延髓→弧束核→心迷走神经、心交感中枢和交感缩血管中枢 9.血管紧张素、血管升压素的作用答：血管紧张素的作用：强烈缩血管作用、刺激肾上腺皮质球状带释放醛固酮、促进交感神经释放去甲肾上腺素 血管升压素的作用：在禁水、脱水、失血等情况下，血管升压素释放增加，保持细胞外液量和动脉血压的相对稳定 心迷走神经 心交感神经 交感缩血管神经 递质 去甲肾上腺素 乙酰胆碱 去甲肾上腺素 受体 β1受体 M 受体 α受体 作用 使心率加快，心肌 收缩力增强，房室交界传导加速 使心率减慢，心房肌收缩力减弱，房室交界传导减慢 使血管平滑肌收缩 习题1-10 1. 证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 证明 设f (x )=x 5-3x -1, 则f (x )是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f (1)=-3, f (2)=25, f (1)f (2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ (1<ξ<2), 使f (ξ)=0, 即x =ξ 是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根. 因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 2. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明 设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0. 若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根; 若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 3. 设函数f (x )对于闭区间[a , b ]上的任意两点x 、y , 恒有|f (x )-f (y )|≤L |x -y |, 其中L 为正常数, 且f (a )?f (b )<0. 证明: 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 证明 设x 0为(a , b )内任意一点. 因为 0||l i m |)()(|l i m 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(l i m 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a 第四章血液循环 1.第一、第二心音的特点、成因和意义 答：第一心音的特点：音频较低而持续时间长 成因：与心室收缩、房室瓣关闭、心室射血冲击主动脉根部、大血管扩以及产生湍流等原因引起的振动有关 意义：心室收缩力很弱 第二心音的特点：音频较高而持续时间较短 成因：动脉瓣关闭引起的振动有关，还与心室舒引起的室壁振动和血流冲击大动脉根部引起的振动有关 2.心肌兴奋性的周期性变化 答：有效不应期；相对不应期；超长期 3.心脏兴奋传导的途径和特点 答：途径：窦房结→心房肌→左右心房→优势传导通路→房室交界区→房室束→左右束支→浦肯野纤维→心室肌 特点：1）“优势传导通路”的传导速度较快，窦房结兴奋尽快传到房室交界区2）心室传导组织速度快，利于两心室同步收缩 3）房室交界区速度很慢（结区最慢）—房-室延搁，确保心房和心室不会同时收缩4.心肌收缩的特点 答：同步收缩；不发生强直收缩；对细胞外Ca2+的依赖性 5.正常心电图的波形及其意义 答：P波：左、右两心房的去极化 QRS波群：左、右两心室的去极化 T波：心室的复极化 P-R间期：窦房结产生的兴奋传到心室，并引起心室开始兴奋所需要的时间，0.12~0.20s Q-T间期：心室开始去极化到完全复极化的时间 ST段：正常与基线平齐，心室各部分均处于去极化 6.血流通路的功能 答：功能：血液与组织细胞进行物质交换 7.心迷走神经、心交感神经、交感缩血管神经纤维的递质、受体和作用 答： β1受体α受体 8.压力感受性反射的过程（不确定） 答：压力感受器→延髓→弧束核→心迷走神经、心交感中枢和交感缩血管中枢 9.血管紧素、血管升压素的作用 答：血管紧素的作用：强烈缩血管作用、刺激肾上腺皮质球状带释放醛固酮、促进交感神经释放去甲肾上腺素 血管升压素的作用：在禁水、脱水、失血等情况下，血管升压素释放增加，保持细胞外液量和动脉血压的相对稳定 一、单选题 1、如果通过闭合面S的电通量 e 为零，则可以肯定 A、面S内没有电荷 B 、面S内没有净电荷 C、面S上每一点的场强都等于零 D 、面S上每一点的场强都不等于零 2、下列说法中正确的是 A 、沿电场线方向电势逐渐降低B、沿电场线方向电势逐渐升高 C、沿电场线方向场强逐渐减小 D、沿电场线方向场强逐渐增大 3、载流直导线和闭合线圈在同一平面内，如图所示，当导线以速度v 向v 左匀速运动时，在线圈中 A 、有顺时针方向的感应电流 B、有逆时针方向的感应电 C、没有感应电流 D、条件不足，无法判断 4、两个平行的无限大均匀带电平面，其面电荷密度分别为和， 则 P 点处的场强为 A、 B 、 C 、2 D、 0 P 2000 5、一束粒子、质子、电子的混合粒子流以同样的速度垂直进 入磁场，其运动轨迹如图所示，则其中质子的轨迹是 12 A、曲线 1 B、曲线 23 C、曲线 3 D、无法判断 6、一个电偶极子以如图所示的方式放置在匀强电场 E 中，则在 电场力作用下，该电偶极子将 A 、保持静止B、顺时针转动C、逆时针转动D、条件不足，无法判断 7q 位于边长为a 的正方体的中心，则通过该正方体一个面的电通量为 、点电荷 A 、0 B 、q q D 、 q C、 6 0400 8、长直导线通有电流I 3 A ，另有一个矩形线圈与其共面，如图所I 示，则在下列哪种情况下，线圈中会出现逆时针方向的感应电流？ A 、线圈向左运动B、线圈向右运动 C、线圈向上运动 D、线圈向下运动 9、关于真空中静电场的高斯定理 E dS q i，下述说法正确的是： S0 A.该定理只对有某种对称性的静电场才成立； B.q i是空间所有电荷的代数和； C. 积分式中的 E 一定是电荷q i激发的； x) 1 3. 函数f (x) lnx 在x 1处的切线方程是 _______________________ 1 4. 设 f(—) x ,则 f (x) ___ ________ x 3 5. 函数 f (x) sin(cosx )，贝y f (x) ___________________ 6.设函数f(x) ln cosx ，则二阶导数f (x) 、选择题. 1.函数y A 、无定义 不连续 第二章 C 、可导 D 、连续但不可导 2.设函数f (X ) 2x 2 x , 1,x 0 ，则 f (x)在点x 0处 A 、没有极限 B 、有极限但不连续 C 、连续但不可导 D 、可导 3?设函数y f (x)可微, 则当 y dy 与x 相比，是 x 的等价无穷小 x 的同阶无穷小 C . x 的高阶无穷小 x 的低阶无穷小 4.函数 x 3的单调增区间是 中B 、(严,T 3 3 3 C 、(于 5?函数f (x) 1 (e x e x )的极小值点是 ) ) ) ) (0,+ ) ) 不存在 、填空题. 1. 已知(sin x) cosx , 利用导数定义求极限 2、 如果f (x °) 4，则 lim f(x 0 3x) x 0 f (X o ) 7. d(arctan2x) ,d In (sin 2x) 四、计算题. 六、应用题. 产品的市场需求量为 q 1000 10 p ( q 为需求量，p 为价格)?试求：(1 )成本函数，收入 函数；(2)产量为多少吨时利润最大? 8.函数f(x) x 3 ax 2 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值，则 a = p 9 ?设需求量q 对价格p 的函数为q(p) 100e ? ，则需求弹性E p 三、判 断题. 1. 若f(x)在点X o 处可导，则f (x)在点X o 处连续. 2. dy 是曲线y f (x)在点(x 0, f (怡))处的切线纵坐标对应于 x 的改变量. 3. 函数y f (x)在x 0点处可微的充要条件是函数在 X 。点可导. 4. 极值点一定是驻点. 5. 函数y x 在点x 0处连续且可导. 1.求函数 y arctan-. 1 x 2的导数. 2.求由方程x y e 2x e y 0所确定的隐函数 y f(x)的导数y . e 3.设 y x ，求 y . 4.求由方程y cos(x y)所确定的隐函数 y f (x)的二阶导数y . 五、求下列极限. (1) lim x x sin x x sin x (2) 4 c 2 lim X x 0 3x 2x si nx 4 ， (3) 01 x x 1 ln x (4) 1 lim( a' X 1)x (a 0), (5) (6) lim (x x 1 X \ X e)x . 1.求函数f (x) x 3 3x 2 9x 1的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点. 2.某厂生产一批产品, 其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为 60元, 对这种 电磁学习题 1 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度B 的大小在沿 磁感应线和垂直它的方向上是否可能变化(即磁场是否一定是均匀的) (2)若存在电流，上述结论是否还对 2 如题图所示，AB 、CD 为长直导线，C B 为圆心在O 点的一段圆弧形导线，其半径为R ．若通以电流I ，求O 点的磁感应强度． 图 3 在半径为R 的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r 的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a ,且a ＞r ，横截面如题9-17图所示．现在电流I 沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行．求： (1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小； (2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小． 4 如图所示，长直电流1I 附近有一等腰直角三角形线框，通以电流2I ，二者 共面．求△ABC 的各边所受的磁力． 图 5 一正方形线圈，由细导线做成，边长为a ，共有N 匝，可以绕通过其相对两边中点 的一个竖直轴自由转动．现在线圈中通有电流I ，并把线圈放在均匀的水平外磁场B 中，线圈对其转轴的转动惯量为J .求线圈绕其平衡位置作微小振动时的振动周期T . 6 电子在B =70×10-4 T 的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径r =．已知B 垂直于纸面向外，某时刻电子在A 点，速度v 向上，如图． (1) 试画出这电子运动的轨道； (2) 求这电子速度v 的大小； (3)求这电子的动能k E ． 图 7 在霍耳效应实验中，一宽，长，厚×10-3 cm 的导体，沿长度方向载有的电流，当磁 感应强度大小为B =的磁场垂直地通过该导体时，产生×10-5 V 的横向电压．试求： (1) 载流子的漂移速度； (2) 每立方米的载流子数目． 8 如图所示，载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a ．设半圆环以速度v 平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压 N M U U ． 图 9 如图所示，用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆．令这半圆形导线在磁场中以频率f 绕图中半圆的直径旋转．整个电路的电阻为R ．求：感应电流的最大值． 大学物理电磁学练习题 球壳，内半径为R 。在腔内离球心的距离为d 处（d R <），固定一点电荷q +，如图所示。用导线把球壳接地后，再把地线撤 去。选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为[ D ] (A) 0 (B) 04πq d ε (C) 04πq R ε- (D) 01 1 () 4πq d R ε- 2. 一个平行板电容器, 充电后与电源断开, 当用绝缘手柄将电容器两极板的距离拉大, 则两极板间的电势差12U 、电场强度的大小E 、电场能量W 将发生如下变化：[ C ] (A) 12U 减小，E 减小，W 减小； (B) 12U 增大，E 增大，W 增大； (C) 12U 增大，E 不变，W 增大； (D) 12U 减小，E 不变，W 不变. 3．如图，在一圆形电流I 所在的平面内， 选一个同心圆形闭合回路L (A) ?=?L l B 0d ，且环路上任意一点0B = (B) ?=?L l B 0d ，且环路上 任意一点0B ≠ (C) ?≠?L l B 0d ，且环路上任意一点0B ≠ (D) ?≠?L l B 0d ，且环路上任意一点B = 常量. [ B ] 4．一个通有电流I 的导体，厚度为D ，横截面积为S ，放置在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导体的侧表面，如图所示。现测得导体上下两面电势差为V ，则此导体的霍尔系数等于[ C ] (A) IB V D S (B) B V S ID (C) V D IB (D) IV S B D 5．如图所示，直角三角形金属框架abc 放在均匀磁场中，磁场B 平行于ab 边，bc 的长度为 l 。当金属框架绕ab 边以匀角速度ω转动时，abc 回路中的感应电动势ε和a 、 c 两点间的电势差a c U U -为 [ B ] (A)2 0,a c U U B l εω=-= (B) 2 0,/2a c U U B l εω=-=- (C)22 ,/2a c B l U U B l εωω=-= (D)2 2 ,a c B l U U B l εωω=-= 6. 对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法正确 [ A ] (A) 位移电流是由变化的电场产生的； (B) 位移电流是由线性变化的磁场产生的； (C) 位移电流的热效应服从焦耳——楞次定律； (D) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理. 普通班高数作业（上） 第一章 函数 1、试判断下列每对函数是否是相同的函数，并说明理由：（第二版P22:4；第三版P8:1）（注：“第二版P22:4”指第二版教材第22页的第4题） （2）)sin(arcsin x y =与x y =； （4）x y = 与2x y =； （6）)arctan(tan x y =与x y =； （8）)(x f y =与)(y f x =。 2、求下列函数的定义域，并用区间表示：（第二版P22:5；第三版P8:2） （2）x x x y -+=2； （3）x y x -+=1ln arcsin 21； （7）x e y x ln 111 -+ =。 3、设?????<-≥-=0 ,10 ,1)(2 2x x x x x f ，求)()(x f x f -+。（第二版P23:10；第三版无） 4、讨论下列函数的单调性（指出其单增区间和单减区间）：（第二版P23:11；第 三版P12:1） （2）24x x y -= ； （4）x x y -=。 5、讨论下列函数的奇偶性：（第二版P23:12；第三版P12:2） （2）x x x x f tan 1)(2+-=； （3）)1ln()(2x x x f -+=； （6）x x f ln cos )(=； （7）? ??≥+<-=0,10,1)(x x x x x f 。 6、求下列函数的反函数及反函数的定义域：（第二版P23:16；第三版P14:1） （1）)0,(),21ln(-∞=-=f D x y ； （6）???≤<--≤<-=21,)2(210, 12)(2 x x x x x f 。 7、（1）已知421)1(x x x x f +=-，求)(x f ； （2）已知2 ln )1(222 -=-x x x f ，且x x f ln )]([=?求)(x ?。（第二版P23:19；第三版P16:3） 8、以下各对函数)(u f 与)(x g u =中，哪些可以复合构成复合函数)]([x g f ？哪些不可复合？为什么？（第二版P24:23；第三版P16:7） 第五章 静 电 场 5 －9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为 2 204π1L r Q εE -= (2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为 2204π21L r r Q εE += 若棒为无限长(即L →∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较. 分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x ，其电荷为d q ＝Q d x /L ，它在点P 的电场强度为 r r q εe E 2 0d π41d '= 整个带电体在点P 的电场强度 ?=E E d 接着针对具体问题来处理这个矢量积分. (1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同， ?=L E i E d (2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A )所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是 ??==L y E αE j j E d sin d 证 (1) 延长线上一点P 的电场强度?'=L r πεE 202， 利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分变量，则 ()220 022 204π12/12/1π4d π41L r Q εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=??????+--=-=? 电场强度的方向沿x 轴. (2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为 E r εq αE L d π4d sin 2 ? '= 利用几何关系 sin α＝r /r ′，2 2 x r r +=' 统一积分变量，则 () 2 2 03 /2222 2041π2d π41L r r εQ r x L x rQ εE L/-L/+= +=? 当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度 r ελL r L Q r εE l 02 20π2 /41/π21lim = +=∞ → 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B )］.这说明只要满足r 2/L 2 ＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线. 5 －14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量. 分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即? ?=S S d s E Φ 方法2：作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理电磁学试题库------试题2及答案
专升本高等数学测试及答案(第二章)
复旦大学病理生理学辅导班内部讲义
电磁学作业及解答
电磁学试题库试题及答案
高数课后习题及答案 第二章 2.3
复旦大学生理学简答(期末必考)
高等数学练习答案1-10
复旦大学生理学简答(期末必考)
电磁学试题(含答案)
高等数学第二章练习及答案
电磁学作业及解答
大学物理电磁学练习题及答案
高等数学习题及解答 (1)
电磁学课后习题答案