不等式恒成立问题及能成立问题

例谈不等式恒成立问题和能成立问题的解题策略

――谈2008年江苏高考数学试卷第14题

摘要：所有问题均可分成三类：恒成立问题、能成立问题和不成立问题。《例谈不等式恒成立问题和能成立问题》介绍了解决不等式恒成立问题和不等式能成立问题常用的直接法、分离参数法、分类讨论法、数形结合法等，采用了等价转化的处理策略。

关键词：分离参数、分类讨论、数形结合、等价转化，换元，求最值。

2008 年江苏高考数学试卷第14题是一道很好的恒成立问题：设函数

f(x) ax3 3x 1(x R)若对于任意x 1,1都有f(x) 0成立，则实数a的值为。解析如下：

析：将f(x) 0中的a,x分离，然后求函数的最值。

解：函数f(x) ax3 3x 1(x R)若对于任意x 1,1都有f(x) 0成立，函数

f (x) ax3 3x 1(x R)对于任意 x 1,0 ,x 0,1 及其x 0有 f (x) 0都成立。

若x 1,0 ，f(x) a x3 3x 1 0 1 a 3 刍，设t1则t 1

x x x

1 ~3 3

t3 3t2(t 1)，令y t 3 3t2(t 1)，则y' 3t26t 0

x x

y t3 3t2(t 1)单调递减，y min y t 1 ( 1)33( 1)24， a 4 (1 )

若x 0,1，f(x) ax33x 1 0 a

1 :

~3 一

爲，设t丄，则t 1 x x x

1 3

-2~ t33t2(t 1)，令y t33t2(t 1 )，则y' 3t2 6t 3t(t 2)，

x x

当1 t 2 时y' 0，y t3 3t2(t 1)单调递增；当t 2时 1 y 0，

y t 3 3t2(t 1)单调

递减，y max y h 2 233 1 224， a 4

(2) 若 x 0 则 a R，f (x) 0成立(3)

由题意知(1)( 2)(3)应同时成立 a 4

解题中采取了不等式恒成立问题的处理策略：

1、若f(x) > a对x€ D恒成立，只须f(x) min(x € D)> a即可。

2、若f(x)

该题在考查学生基础知识的同时，注意考查了考生的分类讨论的思想、换元的思想等，是一道突出理性思维、考查学生潜能及数学素养的题目。

2000年上海高考数学试卷也考了一道不等式恒成立的题目，解析如下

已知函数f(x)=-一红上,x €[1,).

(1)当a=-时，求函数f(x)的最小值；

(2)若对任意的x €[1, )，f(x) 0恒成立，试求a的取值范围。

析：由于x €[1, )， f (x) 0 x2 2x a 0化繁为简。

解：(1)当a 1时，f(x) x — 2，f(x)在区间[1,)上为增函数， f (x)

2 2x

在区间[1,)上的最小值为f (1)-

x2 2 x a

(2)在区间[1, )上, f (x) ----------- 0恒成立x2 2x a 0恒成

立，设y x2 2x a,x [1, )，y x2 2x a (x 1)2 a 1 递增，.??当

x 1时，y min 3 a，于是当且仅当y min 3 a 0时，函数f (x) 0恒成立，

故a 3

本题着重考查了函数思想和等价转化的思想。

通过对前面的两个高考题的分析我们可以得出结论：解不等式恒成立问题，首先要构建函数模型，然后求这个函数的最值，最后采取不等式恒成立问题的处理策略进行求解。等价转化是思想，构建函数模型是手段，求函数的最值是关键。

下面就不等式恒成立问题谈几种解决方法，以期对读者有所启迪。

一、直接法

2 1

例1 .已知x 0, y 0，且一一1，若x 2y m2 2m恒成立，则实数m的取

x y

值范围是

析：本题可利用不等式求最值

不等式恒成立、能成立、恰成立问题

编号：2007-HX-001 不等式恒成立、能成立、恰成立问题 [文档副标题] [日期] 福建省长乐第一中学教科室 [公司地址]

不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，?()f x 的下界大于A （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x 2 -2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。例2、已知(),22x a x x x f ++= 对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围; 例 3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当?? ? ??∈2, 0πθ时，有() ()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围. 例4、已知函数)0(ln )(4 4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数. （1）试确定a 、b 的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式2 2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。 2、主参换位法例5、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围例6、若对于任意1a ≤，不等式2 (4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围例7、已知函数32 3()(1)132 a f x x x a x = -+++，其中a 为实数．若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围． 3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。例8、当(1,2)x ∈时，不等式2 40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .

不等式恒成立问题

不等式恒成立问题一、教学目标 1、知识目标；掌握不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、能力目标；培养学生分析问题解决问题的能力 3、情感目标；优化学生的思维品质二、教学重难点 1、教学的重点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、教学的难点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法的选择三、教学方法：高三复习探究课：学生研讨探究----学生归纳小结-----学生巩固练习----学生变式探究---学生总结四、教学过程 1、引人高三数学复习中的不等式恒成立问题，涉及到函数的性质、图象, 渗透着换元、化归、数形结合、函数方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热点。我们今天这堂课来研究不等式恒成立求参数的取值范围问题的求解方法。引入课题 2、新课下面我们来看例1例1、对一切实数x ]1,1[-∈，不等式 a x a x 24)4(2-+-+＞0恒成立，求实数a 的取值范围（由学生完成）由一个基本题得到不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法解法一；分离参数由原不等式可得：a(x-2) > -x 2+4x-4 ，又因为x ∈[-1，1] ，x-2∈[-3，-1] a<2-x 又因为x ∈[-1，1]，所以 a<1. 解法二；分类讨论、解不等式

（x-2）[x-(2-a)]>0 当a=0时不等式恒成立当a<0 时x>2-a 或x<2 不等式恒成立当a>0时x>2 或x<2-a 所以2-a>1 即a<1 所以a<1时不等式恒成立解法三；构造函数求最值设f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 当(4-a)/2∈[-1，1]，即a∈[2，6]时 -a2<0 不成立，舍弃；当a>6时，f(-1)=1-a+4+4-2a>0 a<3 不成立，舍弃；当a<2时，f(1)=1+a-4+4-2a=1-a>0 a<1 综上得：a<1 解法四；构造方程用判别式韦达定理根的分布设x2+(a-4)x+4-2a=0 方程无实根或有两实根两根小于-1或两根大于1 △=(a-4)2-4(4-2a)=a2≥0 所以1-(a-4)+4-2a>0且(4-a)/2<-1 或1+(a-4)+4-2a>0 且(4-a)/2>16且a<3 或a<1且a<2, 所以a<1 解法五；数形结合（用动画来演示 a(x-2)>-x2+4x-4 设y=a(x-2) 和y=-x2+4x-4 分别作两函数的图象

利用函数的最值求不等式恒成立问题

考点2、利用函数的最值求不等式恒成立问题例3、已知过函数1)(23++=ax x x f 的图象上一点),1(b B 的切线的斜率为－3．（1）求b a ,的值；（2）求A 的取值范围，使不等式1987)(-≤A x f 对于]4,1[-∈x 恒成立；【解析】（1）()x f '=ax x 232+ 依题意得3,323)1('-=∴-=+==a a f k ()1323+-=∴x x x f ，把),1(b B 代入得1)1(-==f b 1,3-=-=∴b a （2）令063)(2'=-=x x x f 得0=x 或2=x 31232)2(,1)0(23-=+?-==f f 17)4(,3)1(=-=-f f 17)(3],4,1[≤≤--∈∴x f x 要使1987)(-≤A x f 对于]4,1[-∈x 恒成立，则)(x f 的最大值198717-≤A 2004≥∴A 变式训练1、设函数2()()ln ()f x x a x a R =-∈ （Ⅰ）若x e =为()y f x =的极值点，求实数a . （Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意(0,3]x e ∈恒有2()4f x e ≤成立（注：e 为自然对数的底数）. 【解析】（I ）求导得2()()2()ln ()(2ln 1)x a a f x x a x x a x x x -=-+=-+-￠因为x e =是()f x 的极值点，所以()0f e =￠解得a e =或3a e =．经检验，符合题意，所以a e =，或3a e = （II ）①当031a 时即1 3 a > 时，由①知，(0,1]x ?时，不等式恒成立，故下研究函数在(1,3]a 上的最大值，首先有22(3)(3)ln34ln3f a a a a a a =-=此值随着a 的增大而增大，故应

恒成立问题----不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用(例题+练习+答案)

不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式A x f >)(在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上A x f >min )(，即)(x f 的下界大于A （2）若不等式B x f <)(在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上B x f --++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围. 例4．已知函数)0(ln )(4 4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值c --3，其中b a 、为常数. （1）试确定b a 、的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式2 2-)(c x f ≥恒成立，求c 的取值范围.

2、主参换位法例5.若不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围. 例6.若对于任意1≤a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求实数x 的取值范围. 例7.已知函数1)1(2 33)(2 3+++-= x a x x a x f ，其中a 为实数．若不等式1)('2+-->a x x x f 对任意),0(+∞∈a 都成立，求实数x 的取值范围． 3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为)()(x f g ≥λ（或)()(x f g ≤λ）恒成立的形式；（2）求)(x f 在D x ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式max )()(x f g ≥λ(或min )()(x f g ≤λ)，得λ的取值范围．适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。例8．当)2,1(∈x 时，不等式042 <++mx x 恒成立，求m 的取值范围.

不等式恒成立问题的基本类型及常用解法 - 副本

不等式恒成立问题基本类型及常用解法类型1：设f(x)=ax+b f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立? ???0 )(0)( n f m f f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立??? ?0)(0)( n f m f . 例1. 设y=(log 2x)2+(t-2)log 2x-t+1,若t 在[-2,2]上变化，y 恒取正值，求实数x 的取值范围。例2. 对于 -1≤a ≤1,求使不等式(21)ax x +2<(2 1)12-+a x 恒成立的x 的取值范围。类型2：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) f(x) ＞0在x ∈R 上恒成立?a ＞0 且△＜0; f(x) ＜0在x ∈R 上恒成立?a ＜0 且△＜0. 说明：①.只适用于一元二次不等式 ②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论. 例3.不等式3 642222++++x x m mx x ＜1对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。

类型3：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) （1）当a ＞0时 ① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立 ??????≤-0)(2 m f m a b 或??????-o n a b m 2或?????≥-0)(2 n f n a b ??????≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或?????≥-0 )(2 n f n a b . ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立?? ??0)(0)( n f m f . （2）当a ＜0时 ① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立? ? ? ?0)(0)( n f m f ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立 ??????≤-0)(2 m f m a b 或??????-o n a b m 2或?????≥-0)(2 n f n a b ??????≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或?????≥-0 )(2 n f n a b . 说明：只适用于一元二次不等式. 类型4：a ＞f(x) 恒成立对x ∈D 恒成立?a ＞f(x)m ax ， a ＜f(x)对x ∈D 恒成立? a ＜f(x)m in . 说明：①. f(x) 可以是任意函数 ②.这种思路是：首先是---分离变量，其次用---极端值原理。把问题转化为求函数的最值，若f(x)不存在最值，可求出f(x)的范围，问题同样可以解出。例4.（2000.上海）已知f(x)=x a x x ++22 ＞0在x ∈[)+∞,1上恒成立，求实数a 的取值范围。

函数不等式恒成立问题经典总结

函数、不等式恒成立问题解法（老师用）恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈x x f 在上恒成立?? ?>>?0 )(0 )(βαf f ],[0)(βα∈- ?????<-?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或类型3： αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切 αα>?∈?∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切恒成一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有： ?? ?<>?>0 )(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立例1：若不等式)1(122 ->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2 <---x x m ，；令)12()1()(2 ---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(

高考数学：不等式恒成立、能成立、恰成立问题

不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，?() f x 的下界大于A （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。例2、已知(), 22x a x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围; 例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当? ?? ? ?∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围. 例4、已知函数 )0(ln )(4 4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式2 2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。 2、主参换位法例5、若不等式a 10x -<对[] 1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围例6、若对于任意 1 a ≤，不等式2 (4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围例7、已知函数 32 3()(1)132a f x x x a x = -+++，其中a 为实数．若不等式 2 ()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围． 3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()() g f x λ≥（或 ()() g f x λ≤）恒成立的形式；（2）求 () f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式 ()max ()g f x λ≥(或 ()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。例8、当(1,2)x ∈时，不等式2 40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 . 例9、已知函数321 ()3 3f x ax bx x =+++,其中0a ≠（1）当b a ,满足什么条件时,)(x f 取得极值?（2）已知0>a , 且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围.

一元二次不等式恒成立问题专项练习

一元二次不等式恒成立问题专项练习例题：设函数f (x )＝mx 2－mx －1. (1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围. (3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围. 解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，则??? m <0， Δ＝m 2＋4m <0，即－40时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴00，又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6 x 2－x ＋1. ∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6? ????x －122＋34 在[1,3]上的最小值为67 ，∴只需 m <67即可.

函数、不等式恒成立问题完整解法

函数、不等式恒成立问题完整解法恒成立问题的基本类型：类型1：设，<1）上恒成立；<2）上恒成立。类型2：设 <1）当时，上恒成立，上恒成立 <2）当时，上恒成立上恒成立类型3：。类型4：恒成一、用一次函数的性质对于一次函数有：

例1：若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。解读：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：，；令，则时，恒成立，所以只需即，所以x的范围是。二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数有： <1）上恒成立； <2）上恒成立例2：若不等式的解集是R，求m的范围。解读：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。 <1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； <2）时，只需，所以，。三、利用函数的最值<或值域） <1）对任意x都成立； <2）对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例3：在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。解读：由，

，恒成立，，即恒成立，例4：<1）求使不等式恒成立的实数a的范围。解读：因为函，显然函数有最大值，。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： <2）求使不等式恒成立的实数a的范围。解读：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得的最大值取不到，即a取也满足条件，所以。所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例5：已知，求实数a的取值范围。解读：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。

高考数学：不等式恒成立、能成立、恰成立问题

例4、已知函数 )0(ln )(4 4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式2 2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。 2例例恒成立，求实数x 的取值范围例若不等式2 ()1 f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．

3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为 ()() g f x λ≥ （或 ()() g f x λ≤ ）恒成立的形式；（2）求 () f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式 () max () g f x λ≥ (或 ()() min g f x λ≤ ) ，得λ的取值范围。适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。例8、当 (1,2) x∈时，不等式240 x mx ++<恒成立，则m的取值范围是 . 例 b a,满足什么条件时,) (x f取a表示出b的取值范围. 4 例________ 例11、当x(1,2)时，不等式

不等式恒成立问题的大全

不等式恒成立问题 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立? ???00a ; 2）0)(+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有 04)1(22<--=?a a 解得3 11>-x F 显然成立；当0≥?时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ??? ????-≤--≥-≥?1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）a x f >)(恒成立min )(x f a ? 1．已知两个函数2()816f x x x k =+-， 32()254g x x x x =++，其中k 为实数. O x y x -1