特殊四边形培优习题精选及答案

《特殊平行四边形习题精选》

5、点M、N分别在正方形ABCD的边CD、BC上，,已知△ MCN的周长等于正方形周

长的一半，求/ MAN的度数。

7、如图，在平行四边形ABCD中，BC = 2AB , E为BC的中点，求/ AED的度数；

1 矩形ABCD的对角线相交于O, AE平分/ BAD/ CAE=15 °，则/ B0E=

2、菱形ABCD的对角线AC、BD相交于0, 积

为_____________

< 3，/ ABC=60 o,则菱形ABCD 的面

3、如图，矩形

3ab

(A) 8

ABCD

(B)

长为a

,宽为b,若S1=S2= 2(S3+S4),贝y S4等于(

3 2 1

ab ab ab

4(C) 3(D) 2

4、菱形ABCD 中，/ B= / EAF=60。，/ BAE=20 °，则/ CEF=

ABCD

6、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，求证：EF=DF.

交BC于E，

△

AOB

的周长为

3

8、如图，以正方形 ABCD 的对角线 AC 为一边，延长 AB 到E ,使AE = AC , 以AE 为

一边作菱形 AEFC ，若菱形的面积为9 ?、2，求正方形边长； 9、如图AD 是"ABC 边BC 边上的高线，E 、F 、G 分别是 AB 、BC 、AC 的中点，求 证：四

边形EDGF 是等腰梯形；

10、如图1,正方形ABCD 边长为1, G 为CD 边上的一个动点(点 正方形

ABCD 外作正方形 GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于点 H 。

(1) 求证：①厶 BCG ◎△ DCE :②BH 丄DE 。

(2) 当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE ?请说明理由。 11、如图，正方形 ABCD 中，过D 做DE // AC ,/ ACE =3 0 °, CE 交AD 于点F ,求证：

AE = AF ;

12、如图，在"ABC 中，/ BAC =90 , AD 丄 BC 于 D , CE 平分/ ACB ，交 AD 于

G ,交AB 于E , EF 丄BC 于F ，求证：四边形 AEFG 是菱形；G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边向

D C

图

10

D

C

E 12题

13

、如图，正方形ABCD中，F在CD上，AE平分/ BAF , E为BC中点，求证:

14、已知△ ABC 中，E、F分别为AB、AC 的中点，CD平分/ BCA 交EF于D, 求证：AD丄DC

15、已知：平行四边形ABCD中，AB+BC=11cm，/ A=150 °，平行四边形ABCD的面积是

15cm2，求AB , BC。

16、如图所示，以△ ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形厶ABD、△ BCE、△ ACF，猜想：四边形ADEF是什么四边形，试证明你的结论.

17、已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE丄DC , PF丄BC, E、F分别为垂足求

证：AP=EF.

AF =

18、如图,△ ABC 为等边三角形，D 、F 分别为BC 、AB 上的点，且 CD = BF ，以AD 为边作等边△

ADE.

(1)求证：△ ACD CBF. ⑵点D 在线段BC 上何处时，四边形 CDEF 是平行四边形且/ DEF=30

19、如图，在 Rt "ABC 中，/ C = 90 , AC = AB , AB = 30，矩形 DEFG 的一边 DE 在 AB 上，顶点

G 、F 分别在AC 、BC 上，若DG : GF = 1 : 4,求矩形DEFG 的面积是；

如图，AC 、BD 是矩形 ABCD 的对角线，AH 丄BD 于H , CG 丄BD 于G , AE 为/ BAD 的平分线，交 的延长线于E ,求证：BD = CE ;

20、 GC

答案：

1、T AE 平分/ BAD I/ BAE=45°/?△ ABE 是等腰直角三角形二BE=BA v/ BAE = 45 °Z CAE=15° ???/ BAO=60 ?/ OA=OB U ABO 是等边三角形二BA=OB=BE /?/ BEO= / BOE v/ EBO= / CAD=30 ???/ BOE=75

2、菱形对角线即角平分线/ ABC=60°可以求得/ ABO=30°，即AB=2AO ，设AO=x，贝U AB=2x , 则

0B= J报-AO~=^x，即（3+ 也）x=3+ 屈即x=1，?菱形的对角线长为2、,

1

故菱形ABCD的面积为S=2 X2X 2也=2^ .故答案为2迥.

3、解设BF=x EB=y

所以矩形ABCD 面积=ab s1=1/2a（b-x） s2=1/2b（a-y） s3=1/2xy

因为s仁s2=1/2 （s3+s4）所以s1+s2=s3+s4=1/2ab 所以s4=1/2ab-s3

s1=s2=1/4ab s3=1/8ab 所以s4=3/8ab

4、连AC，因为ABCD 为菱形且/ B = / EAF= 60°, / BAE= 20，所以AC=AD , / FAD= / BAD- / BAE- / EAF=120 -20 °-60 °=40°，而且，/ ACD=ADF=60 ,所以三角形ACE 全等于三角形ADF，所以AE=AF , 又因为/ EAF= 60°，所以三角形EAF为等边三角形。所以/ AEF=60，又因为/ CEF=180 - / AEB- / AEF , 而/ AEB=180 - / B- / BAE=180 -60 ° -20 °=100 °，所以/ CEF=180 -100° -60 ° =20°。

5、延长MB 至到点E 使BE=DN，连接AE,易证△ ADN◎△ ABE, / DAN= / BAE, AN=AE

?/ EAN=90 ???△ CMN的周长等于正方形周长的一半? MN=BM+DN=ME

v AM=AM EAM^A NAM ?/ MAN=1/2 / EAN=45

6、v AE=AB=CD, / E=/ B=90° = / D, / AFE= / CFD, AFE◎△ CFD, ? EF=DF.

7、解：取AD的中点F,连接EF,v四边形ABCD是平行四边形，

? AD // BC, AD=BC , v BC=2AB , E 为BC 中点，? AB=BE ,

?/ BAE= / AEB , v BE=AF，?四边形ABEF是平行四边形

?四边形ABEF 是菱形，? AB // EF，?/ BAE= / AEF ,

2

?/ AEF= / AEB，同理：/ FED= / CED，?/ AED= / AEF+ / FED=二X180°=90°.

8、设正方形的边长为x，则AC=AE= "x，菱形的面积为底X高，’：…』x?x=9丄，可求出x的长为3 .即正方形边长为3 .

9、v E、F、G分别是BC、AB、AC的中点? FG和EF均是"ABC的中位线? FG//BC,EF//AC

?四边形EFGC是平行四边形? EF=CG,FG=CE v" ADC是直角三角形，且DG为斜边中线

? DG=?AC=CG ? EF=DG 又v ED=CE-CD=FG-CD V FG,ED//FG ?四边形EDGF 是等腰梯形

10、当DGEF是平行四边形时，应该满足对边相等的条件，即EF=GD由于CEFG是正方形，故EF=CG从而可知此时有CG=GD，即G处于CD的中点位置。证明：当G运动到CD的中点时，由于CEFG是正方形，EF//CG//CD//GD , 且EF=CG=GD=CE=GF 连接GE、DF，则由于四边形DGEF的对边DG和FE 平行且相等，故DGEF为平行四边形。3）.当BH垂直平分DE时，连接GE ,则三角形GHD和三角形GHE 为全等的直角三角形，即有GD=GE,另，由于GCEF为正方形，股GE=（根号下2）*CG,从而：CD=（根号下2+1）*CG=1可求得CG=根号下2-1 即: G运动到CD的（根号下2-1）处时，BH垂直平分DE。

11、作EG 丄AC,G € AC,则EG = D0[0 是中心，ED || AC],得到EG = AC/2.

/ GCE = 30o,「. CE = 2EG = AC, / AEC =( 180o-30o) /2 = 75o

/ AFE =Z BCE = 45o+30o= 75o=Z AEF. /? AE = AF

12、T EF± BC / BAC=90°：■△ AEC与厶FEC同是直角三角形且共斜边CE又T CE平分/ ACB / ACE=

/ FCE ???△ AEC 也厶FCE /? AE=FE AC=FC ?/ AC=FC / ACE= / FCE △ ACG 与厶FCG 共边CG ???△ACG

◎△ FCG ? AG=FG 加上AE=FE ?四边形AEFG 是菱形

13、过点E作EM丄AF，交AF于M ?/ AE是/ BAF的角平分线?BE=EM 故AB=AM ?/ E是BC的中点? BE=EC ? EC=EM ,又EF 为公共边? Rt△ EFM 也Rt △ EFC ? MF=FC ? AF=AM+MF=AB+FC 而AB=BC (正方形的边)? AF=BC+FC

14、证明：因为E, F为重点所以EF//BC又CD为角C的平分线那么角EDC=角DCB=角FCD又因为AF=DF=FC

那么设角DAF= / 1 所以/ DAF= / ADF= / 1 设EDC=角DCB=角FCD=EDC=角DCB=角

FCD= / 2 又/ DFA=2 / 2 那么在三角形DAF 中 / ADF+ / DAF+ / DFA=180 即2 / 1 + / 2=180 所以/

1 + / 2=90 度即/ ADF+ / FDC=90 度所以AD 丄DC

15、A B=6 , BC=5 或AB=5 , BC=6

16、证明：四边形ADEF是平行四边形.连接ED、EF,

?/△ ABD、△ BCE、△ ACF 分别是等边三角形，? AB=BD , BC=BE，/ DBA= / EBC=60 ???/ DBE= /

ABC .???△ABC ◎△ DBE .同理可证△ ABC ◎△ FEC , ? AB=EF , AC=DE .

?/ AB=AD , AC=AF , ? AD=EF , DE=AF .二四边形ADEF 是平行四边形.

17、证明：如图，连接PC ,T PE丄DC , PF丄BC,四边形ABCD是正方形，

???/ PEC= / PFC= / ECF=90 ，?四边形PECF 为矩形，? PC=EF ,

又??? P为BD上任意一点，? PA、PC关于BD对称，可以得出，PA=PC，所以EF=AP .

18、( 1 )在厶ACD和厶CBF中，根据已知条件有两边和一夹角对应相等，可根据边角边来证明全等.

(2 )当/ DEF=30 ，即为/ DCF=30 ，在厶BCF 中，/ CFB=90 ◎△

CBF，所以点D为BC的中点.

证明：(1 )由厶ABC为等边三角形，AC=BC，/ FBC= / DCA，在厶ACD

和厶CBF中，

'AC-BC

4 zDCA = ^FBC

所以△ ACD C B F (SAS );

(2 )当D在线段BC上的中点时，四边形CDEF为平行四边形，且角

DEF=30 度按上述条件作图，连接BE，在△ AEB 和厶ADC 中，AB=AC，/ EAB+ / BAD= / DAC+ /

BAD=60 ，即/ EAB= / DAC，

AE=AD，?△ AEB ◎△ ADC ( SAS )，又ACD ◎△ CBF，?△ AEB ◎△ ADC ◎△ CFB，? EB=FB， / EBA= / ABC=60 ，?△ EFB 为正三角形，? EF=FB=CD ，/ EFB=60 ，又ABC=60 ，?/ EFB= / ABC=60 ° ，? EF // BC，而CD在BC上，? EF平行且相等于CD，?四边形CDEF为平行四边

形，T D在线段BC上的中点，? F在线段AB上的中点，FCD=〕X60° =30°则/ DEF= / FCD=30

19、100

20、证明：四边形ABCD 是矩形? AB=CD，/ BAD= / CDA=90o 又T AD=DA BAD 也"CDA(SAS) :丄 ABD= / DCA T AH 丄BD :丄 BAH=90o- / ABD T/CAD=90O-/ DCA :丄 BAH= / CAD T AE 平分/ BAD ?/ BAE= /

DAE=45o ?/ HAE=45o-/ BAH，/ CAE=45o- / CAD ?/ HAE= / CAE T CG 丄BD ? AH//CG ?/ E=/ HAE ?/ E= / CAE ? AC=CE T BD=AC【矩形对角线相等】? BD=CE