苏科版八年级数学上册知识要点
苏科版八年级数学上册
知识要点
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初二数学(上)期末复习各章知识点
第一章轴对称图形(知识点)
一、轴对称与轴对称图形
1.什么叫轴对称:
如果把一个图形沿着某一条直线折叠后,能够与另一个图形重合,那么这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫做对称轴,两个图形中的对应点叫做对称点。
2.什么叫轴对称图形:
如果把一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。
3.轴对称与轴对称图形的区别与联系:
区别:
①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合,而轴对称图形是指一个图
形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系;轴对称图形是反映一个图形
的特性。
联系:
①两部分都完全重合,都有对称轴,都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体,这个整体就是一个轴对称图形;如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形,这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有:圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
4.线段的垂直平分线:
(也称线段的中垂线)
5.轴对称的性质:
⑴成轴对称的两个图形全等。
⑵如果两个图形成轴对称,那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
6.怎样画轴对称图形:
画轴对称图形时,应先确定对称轴,再找出对称点。
二、线段、角的轴对称性
1.线段的轴对称性:
①线段是轴对称图形,对称轴有两条;一条是线段所在的直线,
另一条是这条线段的垂直平分线。
③到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
结论:线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。
2.角的轴对称性:
①角是轴对称图形,对称轴是角平分线所在的直线。
②角平分线上的点到角的两边距离相等。
③到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。
结论:角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合
三、等腰三角形的轴对称性
1.等腰三角形的性质:
①等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在直线是它的对称轴;
②等腰三角形的两个底角相等;(简称“等边对等角”)
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(简称“三线合一”)
2.等腰三角形的判定:
①如果一个三角形有2个角相等,那么这2个角所对的边也相等;(简称“等角对等边”)
②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
3.等边三角形:
①等边三角形的定义:
三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。
②等边三角形的性质:
等边三角形是轴对称图形,并且有3条对称轴;
等边三角形的每个角都等于600。
③等边三角形的判定:
3个角相等的三角形是等边三角形;
有两个角等于600的三角形是等边三角形;
有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。
4.三角形的分类:
斜三角形:三边都不相等的三角形。
三角形 只有两边相等的三角形。
等腰三角形
等边三角形 四、等腰梯形的轴对称性 1.等腰梯形的定义:
①梯形的定义:一组对边平行,另一组对边不平行为梯形。
梯形中,平行的一组对边称为底,不平行的一组对边称为腰。
②等腰梯形的定义:两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2.等腰梯形的性质:
①等腰梯形是轴对称图形,是两底中点的连线所在的直线。 ②等腰梯形同一底上两底角相等。 ③等腰梯形的对角线相等。 3.等腰梯形的判定:
③ 在同一底上的2个底角相等的梯形是等腰梯形。
④ 补充:对角线相等的梯形是等腰梯形。
A
D
C B
第二章勾股定理与平方根(知识点)
一、勾股定理、勾股定理的应用
1、勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学式子:
∠C=900?222
+=
a b c
2、神秘的数组(勾股定理的逆定理):
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
数学式子:
222
+=?∠C=900
a b c
满足a2+b2=c2三个数a、b、c叫做勾股数。
二、平方根、立方根
1、什么叫做平方根?
如果一个数的平方等于9,这个数是几?
±3是9的平方根;9的平方根是±3。
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做的a平方根,也称为二次方根。
数学语言:如果a
x=
2,那么x就叫做a的平方根。
4的平方根是;1
49
的平方根是。的平方根是0.81。
如果225
x=,那么x=。2的平方根是?
2、平方根的表示方法:
一个正数a的正的平方根,记作“a”,正数a的负的平方根记作“a
-”。这两个平方根合起来记作“a
±”,读作“正,负根号a”.
表示,= 。2的平方根是;如果22
x=,那么x=。
3、平方根的概念:
一个正数的平方根有2个,它们互为相反数;
0只有1个平方根,它是0本身;
负数没有平方根。
求一个数的平方根的运算叫做开平方。
4、算术平方根:
正数有两个平方根,其中正数的正的平方根,叫的算术平方根.
例如,4的平方根是2±,2叫做4的算术平方根,记作4=2; 2的平方根是2±,2叫做2的算术平方根,记作22=。 5、算术平方根的性质:
⑴0≥0a ≥。
⑵),0(2≥=a a a )0(2≤-=a a a , )0()(2≥=a a a
6、什么叫做立方根?
一般地,如果一个数的立方等于a ,那么这个数就叫做a 的立方根,也称为三次方根。即如果a x =3,那么x 就叫做a 的立方根。记为3a ,读作“三次根号a ”. 7、立方根的概念:
正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0本身。互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。 求一个数的立方根的运算叫做开立方。 三、实数、近似数与有效数字
1、什么是有理数? 整数和分数统称有理数。
2、2是一个什么数?
问题1:2是有理数吗? 问题2:2是一个整数吗?
问题3:2是1与2之间的一个分数吗? 问题4:2有多大?
2是一个无限不循环小数,它的值为1.141 213 562 373 095 048 801 688
724 209 7… 3、什么是实数?
无限不循环小数是无理数。 有理数和无理数统称实数。 常见的无理数有:⑴ ……
⑵ 开不尽的根号:如3、5、34、37等
⑶ 圆周率π:如π-3.14、
3
π
等。 4、近似数的认识:
实际生产生活中的许多数据都是近似数,例如测量长度,时间,速度所得的结果都是近似数,且由于测量工具不同,其测量的精确程度也不同。在实际计算中对于像π这样的数,也常常需取它们的近似值.请说说生活中应用近似数的例子。
取一个数的近似值有多种方法,四舍五入是最常用的一种方法。用四舍五入法取一个数的近似数时,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。
例如,圆周率π=3.1415926…
取π≈3,就是精确到个位(或精确到1)
取π≈3.1,就是精确到十分位(或精确到0.1)
取π≈3.14,就是精确到百分位(或精确到0.01)
取π≈3.142,就是精确到千分位(或精确到0.001)
2、有效数字:
对一个近似数,从左面第一个不是0的数字起,到末位数字止,所有的数字都称为这个近似数的有效数字。
例如:上面圆周率π的近似值中,3.14有3个有效数字3,1,4;
3.142有4个有效数字3,1,4,2.
第三章中心对称图形(一)(知识点)
一、中心对称与中心对称图形
1、图形的旋转:
在平面内,将一个图形绕一个定点旋转一定的角度,这样的图形运动称为图形的旋转,这个定点称为旋转中心,旋转的角度称为旋转角。旋转前、后的图形全等。对应点到旋转中心的距离相等。每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。
2、中心对称:
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这一点对称。也称这两个图形成中心对称,这个点叫做对称中心,两个图形中的对应点叫做对称点。
注意:①中心对称是旋转的一种特例,因此,
成中心对称的两个图形具有旋转图形的一切性质。
②成中心对称的2个图形,对称点的连线都经过对称中心,
并且被对称中心平分。
3、中心对称图形:
把一个平面图形绕着某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
4、中心对称与中心对称图形之间的关系:
区别:(1)中心对称是指两个图形的关系,中心对称图形是指具有某种性质的图形。(2)成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上,中心对称图形的对称点在一个图形上。
联系:若把中心对称图形的两部分看成两个图形,则它们成中心对称;若把中心对称的两个图形看成一个整体,则成为中心对称图形 .
5、对比轴对称图形与中心对称图形:
轴对称图形中心对称图形
有一条对称轴——直线有一个对称中心——点
沿对称轴对折绕对称中心旋转180O 对折后与原图形重合旋转后与原图形重合
二、平行四边形
1、平行四边形的定义:
2组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
记作:□ABCD,读作平行四边形ABCD.
平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心。
2、平行四边形的性质:
①平行四边形的对边平行;
②平行四边形的对边相等;
③平行四边形的对角相等;
④平行四边形的对角线互相平分。
3、平行四边形的判定:
①2组对边分别平行的四边形是平行四边形;
②2组对边分别相等的四边形是平行四边形;
③2组对角分别相等的四边形是平行四边形;
④对角线互相平分的四边形是平行四边形;
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
三、矩形、菱形、正方形
1、矩形的定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,通常也叫长方形。
2、矩形的性质:
①矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的一切性质;
②矩形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴是对边中点连线所在直
③矩形的对角线相等;
④矩形的四个角都是直角。
①有一个角是直角的平行四边形是矩形;
②对角线相等的平行四边形是矩形;
③有3个角是直角的四边形是矩形。
4、菱形的定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
5、菱形的性质:
①菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的一切性质;
②菱形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴是两条对角线所在直线,
对称中心是对角线的交点。
③菱形的四条边相等;
④菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
6、菱形的判定:
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
②四边都相等的四边形是菱形;
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。D
A
O
S
菱形=
1
2
AC·BD
8、正方形的定义:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
9、正方形的性质:
①正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质。
②正方形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴有四条,对称中心是对角线的交点。
10、正方形的判定:
①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形;
②有一组邻边相等矩形形是正方形;
③有一个角是直角的菱形是正方形。
11、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系:
四、三角形、梯形的中位线
1、三角形的中位线:
⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
区别三角形的中位线与三角形的中线。 ⑵三角形中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半. 2、梯形的中位线:
⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意:中位线是两腰中点的连线,而不是两底中点的连线。 ⑵梯形中位线的性质
梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。
第四章 数量、位置的变化 (知识点)
1、数量的变化:
⑴生活中处处有变化的数量关系,并且这些变化的数量之间往往有一定的联系;感受用变化的观点分析数字信息的重要意义。
⑵实际问题中的数量常常会发生变化,表示这种变化通常有3种各具特色的表达方式——表格、图形、式子,可根据实际情况灵活选用。 2、位置的变化:
现实生活中,人们既关心事物的数量变化,也关心事物的位置变化,如行驶中的车辆、飞行中的火箭、航行中的船只、移动中的台风等位置的变化。 3、平面直角坐标系:
⑴有关概念:平面上有公共原点且互相垂直的2条数轴构成平面直角坐标系,简称直角坐标系。
水平方向的数轴称为x 轴或横轴;竖直方向的数轴称为y 轴或纵轴。它们统称坐标轴。公共原点O 称为坐标原点。 ⑵确定点的位置(点坐标)
①若平面内有一点P (如图),我们应该如何确定它的位置?
(过点P 分别作x 、y 轴的垂线,将垂足对应的数组合起来形成一对有序实数,这样的有序实数对叫做点的坐标,可表示为P (a ,
b ) ②若已知点Q 的坐标为(m ,n ),该如何确定点
Q 的位置?
(分别过x 、y 轴上表示m 、n 的点作x 、y 轴的垂线,两线的交点即为点Q )
例:分别在平面直角坐标系内确定点A(3,2)、B(2,3)的位置。
4、点坐标的特征:
⑴四个象限内点坐标的特征:
两条坐标轴将平面分成4个区域称为象限,按逆时针顺序分别记作第一、
二、三、四象限。
⑵数轴上点坐标的特征:
x轴上的点的纵坐标为0,可表示为(a,0);
y轴上的点的横坐标为0,可表示为(0,b)。
⑶象限角平分线上点坐标的特征:
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等,可表示为(a,a);第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数,可表示为(a,-a)。
⑷对称点坐标的特征:
P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b);
P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b);
P(a,b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b)。
第五章一次函数(知识点)
一、函数
1、常量和变量:
在数量和位置的变化过程中,数值保持不变的量叫做常量,可以取不同数值的量叫做变量。 2、函数: ⑴函数的定义:
一般的,设在一个变化过程中有两个变量x 与y ,如果对于变量x 的每一个
值,变量y 都有唯一..
的值与它对应,我们称y 是x 的函数。其中x 是自变量,y 是因变量。
⑵函数的表示方法:
通常,表示2个变量之间的关系可用3种方法:表格、图形、式子。表示2个变量之间关系的式子通常称为函数关系式。(函数解析式)
例如s=100t 就是一个函数解析式。 ⑶函数自变量的取值范围:
自变量取使函数关系式有意义的值,叫做自变量的取值范围。 例如式子13y x =
-中,能使它有意义的值是3x ≠的一切实数,所以函数13
y x =-的取值范围是3x ≠的一切实数。
常见的使函数解析式有意义的式子有: