立体几何第二章空间点线面的位置关系单元测试题(含详细答案及解析)

第二章综合素能检测

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为导学号 92180597( )

A．5 B．4

C．9 D．1

[答案] D

[解析] 由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．

2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线导学号 92180598( )

A．平行B．垂直

C．相交D．异面

[答案] B

[解析] 当直尺垂直于地面时，A不对；当直尺平行于地面时，C不对；当直尺位于地面上时，D不对．

3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是导学号 92180599( )

A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行

B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α、β不平行

．．．与β平行的直线

．．．，则在α内不存在

D．若m、n不平行

．．．，则m与n不可能

．．．垂直于同一平面

[答案] D

[解析] A项，α、β可能相交，故错误；

B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；

C项，若m?α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；

D项，假设m、n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．

4．已知α、β是两个平面，直线l?α，l?β，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有导学号 92180600( )

A．①③?②；①②?③

B．①③?②；②③?①

C．①②?③；②③?①

D．①③?②；①②?③；②③?①

[答案] A

[解析] 因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，

又因为l⊥α，所以l∥m.又因为l?β，所以l∥β，即①③?②；

因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，

又因为l⊥α，所以n⊥α，

又因为n?β，所以α⊥β，即①②?③.

5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，若过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H一定在导学号 92180601( )

A．直线AC上B．直线AB上

C．直线BC上D．△ABC的内部

[答案] B

[解析] ∵∠BAC＝90°，∴BA⊥AC．

又∵BC1⊥AC，

∴AC⊥平面ABC1，∴平面ABC⊥平面ABC1.

∵平面ABC∩平面ABC1＝AB，

∴C1在面ABC上的射影在直线AB上．

6．设直线l?平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有导学号 92180602( )

A．1条B．2条

C．3条D．4条

[答案] B

[解析] 如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．

7．(2016·浙江文)已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n ⊥β，则导学号 92180603( )

A．m∥l B．m∥n

C．n⊥l D．m⊥n

[答案] C

[解析] 选项A，只有当m∥β或m?β时，m∥l；选项B，只有当m⊥β时，m∥n；选项C，由于l?β，∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m?β时，m⊥n，故选C．8．(2016·南安一中高一检测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为导学号 92180604( )

A．30°B．45°

C．60°D．90°

[答案] C

[解析] 如图，连接A1C1、BC1、A1B．

∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，

∴MN∥BC1.

又A1C∥AC，

∴∠A1C1B为异面直线AC与MN所成的角．

∵△A1BC1为正三角形，

∴∠A1C1B＝60°.故选C．

9．等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C 的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为导学号 92180605( )

A．30°B．60°

C．90°D．120°

[答案] C

[解析] 如图，由A ′B ＝BC ＝1，∠A ′BC ＝90°知A ′C ＝ 2.

∵M 为A ′C 的中点，∴MC ＝AM ＝

2

2

，且CM ⊥BM ，AM ⊥BM ， ∴∠CMA 为二面角C －BM －A 的平面角． ∵AC ＝1，MC ＝MA ＝

22

，∴MC 2＋MA 2＝AC 2

， ∴∠CMA ＝90°，故选C ．

10．点P 在正方体侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且保持AP ⊥BD 1，则点P 的轨迹为导学号 92180606( )

A ．线段

B 1C

B ．BB 1的中点与C

C 1的中点连成的线段 C ．线段BC 1

D ．BC 的中点与B 1C 1的中点连成的线段 [答案] A

[解析] ∵AP ⊥BD 1恒成立，

∴要保证AP 所在的平面始终垂直于BD 1. ∵AC ⊥BD 1，AB 1⊥BD 1，AC ∩AB 1＝A ， ∴BD 1⊥面AB 1C ，∴P 点在线段B 1C 上运动．

11．如图，α⊥β，α∩β＝l ，A ∈α，B ∈β，A 、B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与

α、β所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影长分别是m 和n ，若a ＞b ，则

导学号 92180607( )

A ．θ＞φ，m ＞n

B ．θ＞φ，m ＜n

C ．θ＜φ，m ＜n

D ．θ＜φ，m ＞n

[答案] D

[解析] 由勾股定理得a 2

＋n 2

＝b 2

＋m 2

＝AB 2

. 又a ＞b ，∴m ＞n .

由已知得sin θ＝b

AB ，sin φ＝a

AB

，而a ＞b ， ∴sin θ＜sin φ，

又θ，φ∈(0，π

2

)，∴θ＜φ.

12．如图，在三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，点E 、F 、H 、K 分别为AC ′、CB ′、A ′B 、B ′C ′的中点，G 为△ABC 的重心，从K 、H 、G 、B ′中取一点作为P ，使得该三棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则点P 为导学号 92180608( )

A ．K

B ．H

C ．G

D ．B ′

[答案] C

[解析] 应用验证法：选G 点为P 时，EF ∥A ′B ′且EF ∥AB ，此时恰有A ′B ′和AB 平行于平面PEF ，故选C ．

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．直线l 与平面α所成角为30°，l ∩α＝A ，m ?α，A ?m ，则m 与l 所成角的取值范围是________.导学号 92180609

[答案] [30°，90°]

[解析] 直线l 与平面α所成的30°的角为m 与l 所成角的最小值，当m 在α内适当旋转就可以得到l ⊥m ，即m 与l 所成角的最大值为90°.

14．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN

是直角，则∠C 1MN 等于________.导学号 92180610

[答案] 90°

[解析] 因为C 1B 1⊥平面ABB 1A 1，MN ?平面ABB 1A 1，所以C 1B 1⊥MN .

又因为MN ⊥MB 1，MB 1，C 1B 1?平面C 1MB 1，MB 1∩C 1B 1＝B 1，所以MN ⊥平面C 1MB 1， 所以MN ⊥C 1M ，所以∠C 1MN ＝90°.

15．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为是正确的条件即可).导学号 92180611

[答案] DM ⊥PC (或BM ⊥PC )

[解析] 连接AC ，则BD ⊥AC ，由PA ⊥底面ABCD ，可知BD ⊥PA ，∴BD ⊥平面PAC ，∴BD ⊥PC ．故当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，平面MBD ⊥平面PCD ．

16．如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若PA ⊥平面AC ，在满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________.导学号 92180612

[答案] a >6

[解析] 由题意知：PA ⊥DE ，又PE ⊥DE ，PA ∩PE ＝P ， 所以DE ⊥平面PAE ，∴DE ⊥AE . 易证△ABE ∽△ECD ． 设BE ＝x ，则AB CE ＝

BE CD ，即3a －x ＝x

3

.

∴x 2

－ax ＋9＝0，由Δ>0，解得a >6.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)(2016·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分别为AB、BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.导学号 92180613

求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；

(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

[解析] (1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC．

在△ABC中，因为D、E分别为AB、BC的中点，

所以DE∥AC, 于是DE∥A1C1.

又DE?平面A1C1F, A1C1?平面A1C1F，

所以直线DE∥平面A1C1F.

(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.

因为A1C1?平面A1B1C1, 所以A1A⊥A1C1.

又A1C1⊥A1B1, A1A?平面ABB1A1, A1B1?平面ABB1A1,

A1A∩A1B1＝A1, 所以A1C1⊥平面ABB1A1.

因为B1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D．

又B1D⊥A1F, A1C1?平面A1C1F, A1F?平面A1C1F, A1C1∩A1F＝A1, 所以B1D⊥平面A1C1F.

因为直线B1D?平面B1DE, 所以平面B1DE⊥平面A1C1F.

18．(本小题满分12分)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点.导学号 92180614

(1)求证：AC⊥BC1；

(2)求证：AC1∥平面CDB1；

(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．

[解析] (1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC．又∵C1C⊥AC．∴AC⊥平面BCC1B1.

∵BC 1?平面BCC 1B ，∴AC ⊥BC 1.

(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，又四边形BCC 1B 1为正方形． ∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，

∴DE ∥AC 1.

∵DE ?平面CDB 1，AC 1?平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1. (3)∵DE ∥AC 1，

∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角． 在△CED 中，ED ＝12AC 1＝5

2

，

CD ＝12AB ＝52，CE ＝12

CB 1＝22，

∴cos ∠CED ＝

252

＝225. ∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为22

5

.

19．(本小题满分12分)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的左视图、俯视图，在直观图中，N 是BC 的中点，M 是BD 的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.

导学号 92180615

(1)求出该几何体的体积； (2)求证：AN ∥平面CME ； (3)求证：平面BDE ⊥平面BCD ．

[解析] (1)由题意可知，四棱锥B －ACDE 中， 平面ABC ⊥平面ACDE ，AB ⊥AC ， ∴AB ⊥平面ACDE .

又AC ＝AB ＝AE ＝2，CD ＝4， 则四棱锥B －ACDE 的体积为

V ＝13S ACDE ·AB ＝13×

＋2

×2＝4.

(2)连接MN ，则MN ∥CD ． ∵AE ∥CD ，∴MN ∥AE .

又MN ＝AE ＝1

2CD ，∴四边形ANME 为平行四边形，

∴AN ∥EM .

∵AN ?平面CME ，EM ?平面CME ， ∴AN ∥平面CME .

(3)∵AC ＝AB ，N 是BC 的中点， ∴AN ⊥BC ．

又平面ABC ⊥平面BCD ． ∴AN ⊥平面BCD ． 由(2)知：AN ∥EM ， ∴EM ⊥平面BCD ． 又EM ?平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面BCD ．

20．(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.导学号 92180616

(1)请按字母F 、G 、H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系．并说明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG .

[解析] (1)点F 、G 、H 的位置如图所示．

(2)平面BEC∥平面ACH.证明如下：

因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，

又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，

于是四边形BCEH为平行四边形，

所以BE∥CH，

又CH?平面ACH，BE?平面ACH，

所以BE∥平面ACH，

同理，BG∥平面ACH，

又BE∩BG＝B，

所以平面BEG∥平面ACH.

(3)连接FH交EG于点O，连接BD．

因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH，

因为EG?平面EFGH，所以DH⊥EG，

又EG⊥FH，EG∩FH＝O，

所以EG⊥平面BFHD，

又DF?平面BFHD，所以DF⊥EG，

同理DF⊥BG，

又EG∩BG＝G，

所以DF⊥平面BEG.

21．(本小题满分12分)(2016·浙江文)如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.导学号 92180617

(1)求证：BF⊥平面ACFD；

(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．

[解析] (1)延长AD、BE、CF相交于一点K，如图所示．

因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC．

又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK .

所以BF ⊥平面ACFD ．

(2)因为BF ⊥平面ACK ，所以∠BDF 是直线BD 与平面ACFD 所成的角． 在Rt △BFD 中，BF ＝3，DF ＝3

2，

∴BD ＝DF 2

＋BF 2

＝212

， 得cos ∠BDF ＝

217

， 所以直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为

217

. 22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，已知AB ＝3，

AD ＝2，PA ＝2，PD ＝22，∠PAB ＝60°.导学号 92180618

(1)求证：AD ⊥平面PAB ；

(2)求异面直线PC 与AD 所成的角的正切值； (3)求二面角P －BD －A 的正切值．

[解析] (1)证明：在△PAD 中，∵PA ＝2，AD ＝2，PD ＝22， ∴PA 2

＋AD 2

＝PD 2

，∴AD ⊥PD ． 在矩形ABCD 中，AD ⊥AB ． ∵PA ∩AB ＝A ，∴AD ⊥平面PAB ．

(2)∵BC ∥AD ，∴∠PCB 是异面直线PC 与AD 所成的角． 在△PAB 中，由余弦定理得

PB ＝PA 2＋AB 2－2PA ·AB ·cos∠PAB ＝7.

由(1)知AD ⊥平面PAB ，PB ?平面PAB ， ∴AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ， 则△PBC 是直角三角形， 故tan ∠PCB ＝PB BC ＝

72

. ∴异面直线PC 与AD 所成的角的正切值为

72

.

(3)过点P 作PH ⊥AB 于点H ，过点H 作HE ⊥BD 于点E ，连结PE . ∵AD ⊥平面PAB ，PH ?平面ABCD ，∴AD ⊥PH . 又∵AD ∩AB ＝A ，∴PH ⊥平面ABCD ． 又∵PH ?平面PHE ，∴平面PHE ⊥平面ABCD ． 又∵平面PHE ∩平面ABCD ＝HE ，BD ⊥HE ， ∴BD ⊥平面PHE .

而PE ?平面PHE ，∴BD ⊥PE ，

故∠PEH 是二面角P －BD －A 的平面角． 由题设可得，PH ＝PA ·sin60°＝3，

AH ＝PA ·cos60°＝1，BH ＝AB －AH ＝2， BD ＝AB 2＋AD 2＝13，HE ＝AD BD ·BH ＝4

13

.

∴在Rt △PHE 中，tan ∠PEH ＝PH HE ＝394

. ∴二面角P －BD －A 的正切值为

394

.