高中数学二元一次不等式组与简单的线性规划问题教案新人教A版必修

二元一次不等式组与简单的线性规划问题

【知识网络】

1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法；

2、作二元一次不等式组表示的平面区域，会求最值；

3、线性规划的实际问题和其中的整点问题。 【典型例题】

例1：（1）已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则（ ） A ．02300>+y x B ．<+0023y x 0

C ．82300<+y x

D ．82300>+y x

答案: D 。解析：将（1，2）代入l 得小于0，则003280x y +->。 （2）满足2

≤+y x 的整点的点（x ，y ）的个数是

（ ）

A ．5

B ．8

C ．12

D ．13

答案：D 。解析：作出图形找整点即可。 （3）不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域是 （ ）

答案：C 。解析：原不等式等价于??

?≤-+≥+-??

?≥-+≤+-0

30

1203012y x y x y x y x 或 两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域．

（4）设实数x , y 满足20

240230

x y x y y --≤??

+-≥??-≤?

，则y x 的最大值为 ．

答案:

32

。解析：过点3(1,)2时，y

x 有最大值32。

（5）已知12

24a b a b ≤-≤??≤+≤?

，求42t a b =-的取值范围 ．

答案： ]10,5[。解析：过点31

(,)22

时有最小值5，过点（3，1）时有最大值10。

例2：试求由不等式y ≤2及|x |≤y ≤|x |＋1所表示的平面区域的面积大小． 答案: 解：原不等式组可化为如下两个不等式组：

①???????≤+≤≥≥210y x y x y x 或 ②???????≤+-≤-≥≤2

10y x y x y x

上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分．

它所围成的面积S ＝21×4×

2－2

1

×2×1＝3．

例3：已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2

＋2x ．

(Ⅰ)求函数g (x )的解析式；

(Ⅱ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围。

答案: (Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，

则000

0,,2

.0,2

x x

x x y y y y +?=?=-????

+=-??=??即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上

∴()2

2

2

22,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故

（Ⅱ）()()()21211h x x x λλ=-++-+

①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数，1λ∴=- ②11.1x λ

λλ

-≠-=

+当时，对称轴的方程为 ⅰ）111, 1.1λ

λλλ-<-≤-<-+当时,解得

ⅱ）111,10.1当时,解得λ

λλλ

->-≥-<≤+

0.λ≤综上，

例4：要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：

今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数量少？

答案:：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则

?????

????≥≥≥+≥+≥+0

027*******y x y x y x y x 且x ，y 都是整数． 求目标函数z ＝x ＋y 取得最小值时的x ，y 的值．

如图，当x ＝3，y ＝9或x ＝4，y ＝8时，z 取得最小值．

∴需截第一种钢板3张，第二种钢板9张或第一种钢

板4张，第二种钢板8张时，可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少． 【课内练习】

1．双曲线224x y -=的两条渐近线及过（3，0）且平行其渐近线的一条直线与x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是 （ ）

A 、003003x y x y x y x -≥??+≥??--≥??≤≤?

B 、003003x y x y x y x -≥??+≤??--≥??≤≤?

C 、003003x y x y x y x -≤??+≤??++≤??≤≤?

D 、003003

x y x y x y x -≤??+≥??++≤??≤≤?

答案：A 。解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，过（3，0）且平行于y x =±的直线是3y x =-和3y x =-+，∴围成的区域为A 。

2．给出平面区域如下图所示，其中A （5，3），B （1，1），C （1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0)

取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是（ ）

A ．

32

B ．21

C ． 2

D ．2

3 答案:B 。解析：1

1,2

2

AC k a =-∴-=-，

即12

a =

。 3．设集合{(,)|,,1?A x y x y x y =--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域 (不含边界的阴影部分)是 ( )

答案:A 。解析：12111,2112x y x y x y x y x y x y x x y y ?

+>?+>--??

??

-<--∴

->--??

，故选A

A

(3,1)

B (7,9)

C 4．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋 35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费 元．

答案: 500。解析：设需第一种原料x 袋，第二种原料y 袋，3524106

,x y x y N

+

+≥??

∈?，令

140120z x y =+，∴过（1，3）时min 500z =元。

5．已知2040250x y x y x y -+≥??

+-≥??--

，

求|24|z x y =+-的最大值为 。

答案：21。解析：可行域如图，当3,1x y ==时，min (x +，于是可知可行域内各点均在直线240x y +-=的上方，故240x y +->，化简得24z x y =+-并平行移动，当过C （7，9）时，max 21z =。

6．要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小 钢板的块数如下表所示：

类 型 A 规格

B 规格

C 规格

第一种钢板 1 2 1 第二种钢板

1

1

3

每张钢板的面积,第一种为1m ,第二种为2m ,今需要A 、B 、C 三种规格的成品各12、 15、27块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小？

答案：解：设需截第一种钢板x 张,第二种钢板y 张,所用钢板面积为2zm ,

则有?????

????≥≥≥+≥+≥+0

,0,273,152,12y x y x y x y x

作出可行域(如图) 目标函数为y x z 2+=

作出一组平行直线t y x =+2(t 为参数).由??

?=+=+12

,273y x y x 得),215,29(A 由于点)215

,29(A 不是

可行域内的整数点,而在可行域内的整数点中,点(4,8)和点(6,7)使z 最小,且20726824min =?+=?+=z .

答:应截第一种钢板4张,第二种钢板8张,或第一种钢板6张,第二种钢板7张,得所需

三种规格的钢板,且使所用的钢板的面积最小.

7．已知3≤x ≤6，

3

1

x ≤y ≤2x ，求x ＋y 的最大值和最小值． 答案：原不等式组等价于363020

x x x y x y ≥??≤?

?-≤??-≥?

作出其围成的区域如图所示，

将直线x ＋y ＝0向右上方平行移动，

当其经过点（3，1）时取最小值，当其经过（6，12）时取最大值． ∴(x ＋y ) min ＝3＋1＝4， (x ＋y )max ＝6＋12＝18．

即x ＋y 的最大值和最小值分别是18和4．

8．一家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料，甲种饮料的主要配方是每3份李子汁加一份苹果汁，乙种饮料的配方是李子汁和苹果汁各一半．该厂每天能获得的原料是2000L 李子汁和1000L 苹果汁，又厂方的利润是生产1L 甲种饮料得3元，生产1L 乙种饮料得4元．那么厂方每天生产甲、乙两种饮料各多少，才能获利最大？

李子汁 苹果汁 获得利润 分配方案

甲

3/4 1/4 3元 x 乙 1/2

1/2 4元 y

受限条件 2000L 1000L

（2）线性约束条件

31200042111000

4200x y x y x y ?+≤??

?+≤??

≥??≥?

（3）作出可行域：图略。

（4）构建目标函数34z x y =+，即3144

y x z =-

+ （5）求出满足条件的最大值：2000,1000x y ==时，z 取到最大值10000

9．预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的

多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1．5倍，问桌、椅各买多少才行？

答案:：设桌、椅分别买x ，y 张，则

????

??

?≥≥≤≥≤+0

,05.120002050y x x y x y y x 且x ，y ∈N *

由???==+x y y x 20002050解得???

????==7200

7

200y x ∴点A 的坐标为（7200,

7200）． 由???==+x y y x 5.120002050解得??

???==27525

y x ∴点B 的坐标为（25，275）

． 所以，满足约束条件的可行域是图中的阴影部分．

由图形直观可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为（25，2

75），但x ，y ∈N *，故y 取37． ∴买桌子25，椅子37是满足题设的最好选择．

【作业本】

A 组

1．如图所示的平面区域（阴影部分），用不等式表示为 ） A 、330x y -+< B 、330x y +-< C 、330y x --< D 、330y x -+<

答案:C 。解析：用（0，0）代入验证。

2．设点(,)P x y ，其中,x y N ∈，满足3x y +≤的点P ） A 、10个 B 、9个 C 、3 个 D 、无数个 答案:A 。解析：x,y 可取0，1，2，3且满足条件即可。

3．不等式组??

?

??-≥≤+<31y y x x

y ，表示的区域为D ，点P 1（0，-2），P 2（0，0），则

（ ）

A ．D P D P ??21且

B ．D P D P ∈?21且

C ．

D P D P ?∈21且 D ．D P D P ∈∈21且 答案：C 。解析：代入检验。

4．设,x y 满足5,

3212,

03,0 4.

x y x y x y +≤??+≤??

≤≤??≤≤?则使得目标函数65z x y =+的值最大的点(,)x y 是 ． 答案: (2,3)。解析：作出可行域即可发现。

5．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力

限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为

答案：4 ，1。解析：设甲、乙各托运的箱数为x,y ，则5424

2513x y x y +≥??

+≥?

，∴2010z x y =+，

A

b

a

10

b a --=220

b a +-=当过（4，1）时有最大值。

6．试求由不等式|x |＋|y |≤1所表示的平面区域的面积大小．

答案:原不等式等价于????

???≤≤-≥+≥≤-≥-≤≥≤-≥≥≤+0

,0,10,0,10,0,10,0,1y x y x y x y x y x y x y x y x

其表示的平面区域如图中阴影部分． ∴S ＝(2)2

＝2．

7．已知()(31),[0,1]f x a x b a x =-+-∈，若函数

()1f x ≤恒成立，求a+b 的最大值。

答案：已知()1f x ≤恒成立，则10

220

b a b a --≤??+-≤?作出可行域

令z a b =+，当z a b =+经过A 时，z 有最大值， 由10220

b a b a --=??

+-=?解得14(,)33A ，∴max 5

3z =。

8．某企业生产A 、B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：

产品品种

劳动力（个）

煤（吨）

电（千瓦）

A 产品 3 9 4

B 产品

10

4

5

已知生产每吨A 产品的利润是7万元，生产每吨B 产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A 、B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？

答案：设生产A 、B 两种产品各为x 、y 吨，利润为z 万元，则

????

??

?≥≥≤+≤+≤+0

,02005436049300103y x y x y x y x z ＝7x ＋12y

作出可行域，如图阴影所示．

当直线7x ＋12y ＝0向右上方平行移动时，经过M （20，24）时z 取最大值． ∴该企业生产A 、B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．