一阶常微分方程解法总结.

第一章一阶微分方程的解法的小结

⑴、可分离变量的方程:

①、形如 )()(y g x f dx

dy = 当0)(≠y g 时，得到

dx x f y g dy )()(=,两边积分即可得到结果; 当0)(0=ηg 时,则0)(η=x y 也是方程的解。

例1.1、xy dx

dy = 解:当0≠y 时，有xdx y

dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(11212

C x e C C e C y ±==为非零常数且

0=y 显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为)(1212

为常数C e C y x =

②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M

当0)()(≠y N x P 时,可有dy y N y Q dx x P x M )

()()()(=，两边积分可得结果；当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=）

x P 时，0x x =为原方程的解. 例1。2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x

解:当0)1)(1(22≠--y x 时，有dx x x dy y y 1

122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C

y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ; 当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解;

综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C

y x =--。

⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如

)(x

y g dx dy = 解法：令x y u =,则udx xdu dy +=,代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程,得到

)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x

y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx

dy 解法:令by ax u +=，则b du adx dy +=,代入得到)(1u G b

a dx du

b =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如)(2

22111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、02211

=b a b a ,转化为)(by ax G dx

dy +=，下同①; 02、0221

≠b a b a ，???=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u 得到,)()()(22112211u v g u

v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=,下同②; 还有几类:xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()(

xy v xy f dx dy x ==),(222),(x

y w x y xf dx dy == θθsin ,cos ,0))(,())(,(r y r x ydx xdy y x N ydy xdx y x M ===-++

以上都可以化为变量可分离方程。

例2。１、2

5--+-=y x y x dx dy 解:令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到u

u dx du 71+=-,有dx udu 7-= 所以)(72

为常数C C x u +-=，把ｕ代入得到)(7222为常数）（C C x y x =+--. 例2。２、1

212+-+-=y x y x dx dy 解:由???=+-=+-012012y x y x 得到?????=-=3131y x ，令??

???-=+=3131y v x u ，有???==du dx dv dy ,代入得到

u v

v u v u du dv 21222--

=--=,令u v t =,有udt tdu dv +=,代入得到t t du dt u t 212--=+,化简得到，)1(2)1(22221222t t t t d dt t t t u du +-+--=+--=，有)(2)1ln(ln 2为常数C C t t u ++--=,所以有)(1121

C e C t t C u ±=+-=，，故代入得到)0(,31313131131121

≠?????? ??+-++--=+C x y x y C x

（３)、一阶线性微分方程：一般形式：)()()

01x h y x a dx dy x a =+（标准形式:)()(x Q y x P dx

dy =+ 解法：1、直接带公式：

))(()()()()()()(?

?+??=??+?=---C dx x Q e e dx x Q e e Ce y dx x P dx x P dx x P dx x P dx x P 2、积分因子法：

])()([)

(1)(?+=C dx x Q x x x y μμ，?=dx x P e x )()(μ 3、I ＶP ：

)()(x Q y x P dx dy =+,00)(y x y = ???+?=+??=--x x ds s P ds s P x

x ds s P ds s P dt e t Q e y y dt e t Q e y t

x t x x x x x 000000)()(00)()()())(( 例３、1)1()

1(++=-+n x x e ny dx

dy x 解:化简方程为：n x x e y x n dx dy )1(1+=+-,则;)1()(,1)(n x x e x Q x n x P +=+-= 代入公式得到n dx x n dx x P x e e x -1)()1()(+=?=?

=+-μ 所以,)()

()1(])1()1([)1()(为常数C C e x C dx x e x x x y x n n x n n ++=++++=?-

(4)、恰当方程：形如dy y x N dx y x M dG t s y x G dy y x N dx y x M ),(),(..),,(,0),(),(+=?=+

解法：先判断是否是恰当方程：如果有x

y x N y y x M ??=??),(),(恒成立，那么原方程是个恰当方程,找出一个

),(),(),,(),(.),,(y x N y

y x G y X M x y x G t s y x G =??=??, 有)(,),(为常数C C y x G =；

例4、0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x

解:由题意得到,322246),(,63),(y y x y x N xy x y x M +=+= 由x

N xy y M ??==??12得到,原方程是一个恰当方程; 下面求一个),(),(),,(),(.),,(y x N y y x G y X M x y x G t

s y x G =??=?? 由2263),(),(xy x y X M x

y x G +==??得)(3),(223y y x x y x G ?++=，两边对y 求偏导得到32246)(6y y x y y x y

G +='+=???,得到34)(y y ='?,有4)(y y =?, 故42233),(y y x x y x G ++=,由0=dG ，得到

)(,34223为常数C C y y x x =++

(5)、积分因子法：

方程是一个恰当方程0..),,(,0),(),(=+?=+Ndy Mdx t s y x dy y x N dx y x M μμμ,那么称),(y x μ是原方程的积分因子;积分因子不唯一. ①当且仅当)(x N

x N y M ?=??-??,原方程有只与ｘ有关的积分因子，且为?=dx x e y x )(),(?μ,两边同乘以),(y x μ，化为恰当方程，下同(４)。 ②当且仅当)(y M

x N y M φ=-??-??，原方程有只与y 有关的积分因子,且为?=dy y e y x )(),(φμ,两边同乘以),(y x μ，化为恰当方程,下同(4）．

例5。1、02)3(2

=++xydy dx y e x