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第八章第三节空间向量在立体几何中的应用

第三节空间向量在立体几何中的应用一、填空题

1.若等边ABC ?的边长

为，平面内一点M 满足1263

CM CB CA =+

，则

M A M B ?= _________

2．在空间直角坐标系中，已知点A （1，0，2），B(1，-3，1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________。

【解析】设(0,,0)M y 由222141(3)1y y ++=+--+可得1y =-故(0,1,0)M - 【答案】(0,-1，0)

二、解答题

3.（本小题满分12分）

如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=

AD (I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ；（III ）求二面角A-CD-E 的余弦值。如图所示，建立空间直角坐标系，

点A 为坐标原点。设，1=AB 依题意得()，，，001B ()，

，，011C ()，，，020D ()，，，110E ()，

，，100F .21121M ???

?，，

（I ）()，，，解：101BF -= ()，

，，110DE -=

221

00=?++=

于是

所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为0

60.

（II ）证明：，，，由??

? ??=21121

()，，，101-= ()0020=?=，可得，，，

.AMD CE A AD AM .AD CE AM CE .0平面，故又，因此，⊥=⊥⊥=?

.CDE AMD CDE CE 平面，所以平面平面而⊥?

（III ）????

?=?=?=.

0D 0)(CDE u u z y x u ，，则，，的法向量为解：设平面 .111(1.00），，，可得令，

于是==?

??=+-=+-u x z y z x

又由题设，平面ACD 的一个法向量为).100(，，

=v .33

3100cos =?++=?=

v u v u v u ，所以， 4．（本题满分15分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ?

是以AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为PA ，

PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==．

（I ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ；

（II ）证明：在ABO ?内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ，OB 的

距离．

证明：（I ）如图，连结OP ，以O 为坐标原点，分别以OB 、OC 、OP 所在直线为x 轴，y 轴，

z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，

则()0,0,0,(0,8,0),(8,0,0),(0,8,0),O A B C -(0,0,6),(0,4,3),P E -()4,0,3F ，由题意得，

()0,4,0,G 因(8,0,0),(0,4,3)OB OE ==- ，因此平面BOE 的法向量为(0,3,4)n =

，

(4,4,3FG =--

得0n FG ?= ，又直线FG 不在平面BOE 内，因此有//FG 平面BOE

6.（本小题满分12分）

如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点。（I ）若平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 与平面DCEF 所成角的正值弦；（II ）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。

设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，以D 为坐标原点，分别以射线DC ，DF ，DA 为x,y,z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图.

则M （1,0,2）,N(0,1,0),可得MN =(-1,1,2). 又D A =（0，0，2）为平面DCEF 的法向量，可得cos(MN ,D A 3

所以MN 与平面DCEF 所成角的正弦值为

cos

· ……6分

(Ⅱ)假设直线ME 与BN 共面， ……8分则A B ?平面MBEN ，且平面MBEN 与平面DCEF 交于EN 由已知，两正方形不共面，故AB ?平面DCEF 。

又AB//CD ，所以AB//平面DCEF 。面EN 为平面MBEN 与平面DCEF 的交线，所以AB//EN 。又AB//CD//EF ，

所以EN//EF ，这与E N ∩EF=E 矛盾，故假设不成立。

所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线. ……12分 7.（13分）

如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，

NB ABCD ⊥平面，且MD=NB=1，E 为BC 的中点

（1）求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值

（2）在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS

的长；若不存在，请说明理由

17.解析：（1）在如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标D xyz -

依题意，得1(0,0,0)(1,0,0)(0,0,1),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,1),(,1,0)2

D A M C B N

E 。

(,0,1),(1,0,1)

NE AM ∴=--=-

cos ,||||

NE AM NE AM NE AM <>==?

，所以异面直线NE 与AM

所成角的余弦值为

（2）假设在线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN .

(0,1,1)AN =

可设(0,,),AS AN λλλ==

又11

(,1,0),(,1,)22

EA ES EA AS λλ=-∴=+=- .

由ES ⊥平面AMN ，得0,0,ES AM ES AN ?=??=?? 即10,

(1)0.

λλλ?-+=???-+=? 故12λ=

，此时11(0,,),||22AS AS == .

经检验，当2

AS =

时，ES ⊥平面AMN . 故线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN

，此时2

AS =. 8.（本小题满分12分）

如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,AB AC D ⊥、E 分别为1AA 、1B C 的中点，DE ⊥平面1BCC

（I ）证明：AB AC =

（II ）设二面角A BD C --为60°，求1B C 与平面BCD 所成的角的大小。分析一：求1B C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点1B 到面BDC 的距离即可。

19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

如题（19）图，在四棱锥S ABCD -中，AD BC 且AD CD ⊥；平面CSD ⊥平面ABCD ，,22CS DS CS AD ⊥==；E 为BS

的中点，

CE AS

（Ⅰ）点A 到平面BCS 的距离；

（Ⅱ）二面角E CD A --的大小．

（Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC 分别为x 轴，y 轴正向，建立空间

坐标系，设(,,)A A A A x y z ，因平面,,COD ABCD AD CD AD COD ⊥⊥⊥平面故平面

即点A 在xoz 平面上，因此01A A y z AD ===uuu v

，

又2

2213,A A x AS x A +===uu v ，）

因AD//BC ，故BC ⊥平面CSD ，即BCS 与平面 yOx 重合，从而点A 到平面BCS

的距离为A x =. (Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E 为BS 的中点. ΔBCS 为直角三角形 ,

知

2BS CE ==uu v uuv

设B(0,2, B Z )，B Z ＞0，则A Z ＝2，故B （0，2，2），所以E （0，1，1） .

在CD 上取点G ，设G （11,,0x y ），使GE ⊥CD .

由112,0),(,1,1),0CD GE x y CD GE =-=--+?=u u u v u u u v u u u v u u u v

故

112(1)0y --= ①

又点G 在直线CD 上，即//CG CD uu u v uu u v ，由CG u u u v =（11,2,0x y -

2y -=- ②

联立①、②，解得G

＝4

,0)3

, 故GE uu u v

(,1)3

-.又由AD ⊥CD ，

所以二面角E －CD －A 的平面角为向量GE uu u v 与向量DA uu u v 所成的角，记此角为θ .

因为GE uu u v

(0,0,1),1,1DA DA GE DA ==?=uu u v uu u v uu u v uu u v

,所以

cos GE DA GE DA

θ?==

?uu u v uu u v uu u v uu u v 故所求的二面角的大小为

作AG BD ⊥于G ，连GC ，则G C B D ⊥，AGC ∠为二面角A BD C --的平面角，

60AGC ∠=?.不妨

设AC =，则2,4A G G C ==.在RT ABD ?中，由A D A B B D A G ?=?

，易得

AD . 设点1B 到面BDC 的距离为h ，1B C 与平面

BCD 所成的角为α。利用111

B B

C BC

D S D

E S h ???=?，可求得h

=又可

求得1

BC = 11

s i n 30

h B C αα==∴=? 即1B C 与平面BCD 所成的角为30.?

分析二：作出1B C 与平面BCD 所成的角再行求解。如图可证得BC AFED ⊥面，所以面AFED BDC ⊥面。由分析一易知：四边形AFED 为正方形，连AE DF 、，并设

交点为O ，则E O B D C ⊥面，OC ∴为EC 在面B D C 内的射影。ECO ∴∠即为所求。以下略。

分析三：利用空间向量的方法求出面BDC 的法向量n

，则1B C 与平面BCD 所成的角即为1BC

与法向量n 的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。

总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。 9．（本小题共14分）

如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上. （Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；

（Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与

平面PDB 所成的角的大小.

【解法2】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，设,,AB a PD h ==

则

()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h ，

（Ⅰ）∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =-==

，

∴0,0AC DP AC DB ?=?=

，

∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面.

（Ⅱ）当PD =

且E 为PB

的中点时，(

)

11,,,222P E a a a ?? ? ???

，设AC ∩BD=O ，连接OE ，

由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角，

∵11,,,0,0,22EA a a EO ????

=-= ? ? ? ????

? ，

∴cos 2EA EO AEO EA EO

?∠==

? ， ∴45AOE ?

∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45?

10.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB//DC ，∠BAD=

，CD=AD=2.，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，FC=3，

求：

（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离：（Ⅱ）二面角F-AD-E 的平面角的正切值，

18.（本小题满分12分）

如图4，在正三棱柱111ABC A B C -

中，AB =

D 是11A B 的中点，点

E 在11AC 上，且

DE AE ⊥。（I ）证明平面ADE ⊥平面11ACC A

（II ）

求直线AD 和平面ABC 所成角的正弦值。

解（I ）如图所示，由正三棱柱111ABC A B C -的性质知1AA ⊥平面111A B C 又DE ?平面A 1B 1C 1，所以DE ⊥AA 1.

而DE ⊥AE 。AA 1 AE=A 所以DE ⊥平面AC C 1A 1，又DE ?平面ADE ，故平面ADE ⊥平面AC C 1A 1。

解法2 如图所示，设O 使AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系，不妨设 A A 1=2，则AB=2，相关各点的坐标分别是

A(0,-1,0)， B （3，0，0）， C 1（0，1，2）， D （

，-21，2）。

易知=(3，1，0)， 1AC =(0，2，2)， =(2

，-21，2）

设平面ABC 1的法向量为n=（x ，y ，z ）,则有

???????=+==+=,022·,03·1z y AC n y x n 解得x=-

y ， z=-y 2，故可取n=(1，-3，6)。所以，cos (n ·

1032?=

。由此即知，直线AD 和平面AB C 1所成角的正弦值为

10。

11.（本小题满分12分）

如图3，在正三棱柱ABC -1A 1B 1C 中，AB =4, A 1A

点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E

（Ⅰ）证明：平面1A DE

⊥平面11ACC A ; （Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。

解法2 如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), 1A

.(2,0,

E(-1,0.0)

易知1A B =（-3

，DE =（0，

0），AD =（-3

0）设n=（x ，y ，z ）是平面1A DE 的一个法向量，则

1030

{

n DE n A D x ?=?=-=u u u v

u u u u v

解得,03

x z y =-

= 故可取n=

，）于是

= 由此即知，直线AD 和平面1A DE

所成的角是正弦为8

12．（本小题满分12分）

在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，

2AB =. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .

（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；

（2）求直线CD 与平面ACM 所成的角的大小；（3）求点N 到平面ACM 的距离. 方法二：

（1）同方法一；

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,4)P ，

(2,0,0)B ， (2,4,0)C ，(0,4,0)D ，(0,2,2)M ；设平面ACM 的一

个法向量(,,)n x y z = ，由,n AC n AM ⊥⊥ 可得：240

220x y y z +=??+=?

，令

1z =，则

(2,1,1)n =- 。设所求角为α

，则sin CD n CD n

α?==

，

所以所求角的大小为arcsin

。（3）由条件可得，AN NC ⊥.在Rt PAC ?中，2

P A P N P C =?,所以83

PN =

,则103NC PC PN =-=

59NC PC =，所以所求距离等于点P 到平面C A M 距离的5

，设点P 到平面C A M 距离为h

则AP n h n

?==

，所以所求距离为5h 927=。

cos ,n AD n AD n AD

?=?uuu r

uuu r uuu r

19（本小题满分12分）

如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，

,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=

（I ）求证：EF BCE ⊥平面；

（II ）设线段CD 的中点为P ，在直线AE 上是否存在一点M ，使得PM BCE 平面？若存在，请指出点M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III ）求二面角F BD A --的大小。

(Ⅰ)因为△ABE 为等腰直角三角形,AB=AE,

所以AE ⊥AB.

又因为平面ABEF ⊥平面ABCD,AE ?平面ABEF, 平面ABE F ∩平面ABCD=AB, 所以AE ⊥平面ABCD. 所以AE ⊥AD.

因此,AD,AB,AE 两两垂直,以A 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系A-xyz. 设AB=1,则AE=1，B （0，1，0），D (1, 0, 0 ) , E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).

因为FA=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°.

从而，11(0,,)22

F -

. 所以11(0,,)22

EF =- ,(0,1,1)BE =-

,(1,0,0)BC = .

0022

EF BE ?=+-= ,0EF BC ?= .

所以E F ⊥BE, E F ⊥BC.

因为BE ?平面BCE,B C ∩BE=B ,

所以EF ⊥平面BCE.

(Ⅱ)存在点M,当M 为AE 中点时,PM ∥平面BCE.

M ( 0,0,

12 ), P ( 1, 12,0 ). 从而PM =11

(1,,)22

--,

于是PM ·EF =11(1,,)22--·11(0,,)22

--=0

所以PM ⊥FE,又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内，

故PMM ∥平面BCE. ………………………………8分

(Ⅲ)设平面BDF 的一个法向量为1n ，并设1n

=（x,y,z ）. 110BD =-（，，）

uu u v

， 31

022

BF =-（，，）uu u v

11n 0

n 0

BD BF ?=??=??u v uu u v g u v uu u v g 即

x y 0

31y z 022

-=???-+=?? 取y=1，则x=1，z=3。从而1n 113=

（，，）

。取平面ABD 的一个法向量为2n =

（0，0，1）

。

12212

n n cos(n ,n )n n ==

=1u v u u v

u u v u u v g u v u u v 故二面角F —BD —A 的大小为

arccos 11

。……………………………………12分 14.（本题满分14分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA BC AB ===,

AB BC ⊥,求二面角111B AC C --的大小。

简答：

第一部分五年高考荟萃

2009年高考题 2005—2008年高考题

解答题

1. （2008全国Ⅱ19）（本小题满分12分）

如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点

E 在1CC 上且EC E C 31=．

C D E

A 1

B 1

C 1

（Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．

以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，

建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．

(021)(220)DE DB == ，，，，，，

1(224)(204)AC DA =--= ，，，，，．（Ⅰ）证明因为10AC DB = ，10AC DE =

，故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥．又DB DE D = ，所以1

AC ⊥平面DBE ．（Ⅱ）解设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则

DE ⊥ n ，1DA ⊥ n ．

故20y z +=，240x z +=．

令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，

，n ． 1

，

n 等于二面角1A DE B --的平面角，

．所以二面角1A DE B --的大小为arccos

． 2. （2008安徽）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4

ABC π

∠=

, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为

OA 的中点，N 为BC 的中点

（Ⅰ）证明：直线MN OCD

平面‖；

（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

作AP CD ⊥于点P ,如图,分别以AB ,AP ,AO 所在直线为

,,x y z

轴建立坐标系

(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,0,1),

A B P D

O M N ,

(1)证明

(1,1),,,2),,,2)

M N O P O D =-=--

设平面OCD 的法向量为(,,)n x

y z =,则0,

0n OP n OD =

即 20220

y z x y z -=

????-+-=??

取z =

解得n =

(1,1)044

MN n =--=

∵

MN OCD ∴平面‖

(2)解设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)22

AB MD ==-- ∵

1c o s ,2

3AB MD AB MD π

θθ===? ∴∴

, AB 与MD 所成角的大小为3

π. (3)解设点B 到平面OCD 的距离为d ，

则d 为OB

在向量n =上的投影的绝对值,

由 (1,0,2)OB =- , 得23

OB n d n ?=

.所以点B 到平面OCD 的距离为2

3 3. （2008湖南17 ）如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面

ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ;

（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.

如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的

坐标分别是A （0，0，0），B （1，

0，0），

3(2

C 1(2

D P （0，0，2）,E

（Ⅰ）证明

因为(0,

BE =，平面PAB 的一个法向量是0(0,1,0)n =，所以0BE n 和共线.从而BE ⊥平面PAB . 又因为BE ?平面PBE ，故平面PBE ⊥平面PAB .

(Ⅱ)解

易知(1,0,2),(0,02PB BE =-= ），

1(0,0,2),(,22

PA AD =-=

设1111(,,)n x y z = 是平面PBE 的一个法向量，则由110,

n PB n BE ?=??=??

得

111122020,

000.x y z x y z +?-=??

??+?=??所以11110,2.(2,0,1).y x z n === 故可取设2222(,,)n x y z = 是平面PAD 的一个法向量，则由220,0

n PA n AD ?=??=??

得2222220020,100.22

x y z x y z ?+?-=??

+?=??

所以2220,.z x ==

故可取21,0).n =-

于是，121212

cos ,n n n n n n <>==

故平面PAD 和平面PBE

所成二面角（锐角）的大小是 4. （2008福建18）如图，在四棱锥P-ABCD 中，则面PAD ⊥底面 ABCD ，侧棱PA =PD

ABCD 为直角梯形，其中BC ∥ AD ,AB ⊥AD ,AD =2AB =2BC =2,O 为AD 中点.

（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）求异面直线PD 与CD 所成角的大小；

（Ⅲ）线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD

的

值；若不存在，请说明理由.

（Ⅰ）证明在△PAD 中PA =PD ,O 为AD 中点，所以PO ⊥AD ,

又侧面PAD ⊥底面ABCD ,平面PAD ?平面ABCD =AD , PO ?平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD .

(Ⅱ)解以O 为坐标原点，OC OD OP

、、的方向分别为x 轴、y 轴、

z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz ,依题意，易得 A (0,-1,0),B (1,-1,0),C (1,0,0),D (0,1,0),P (0,0,1),

所以110111CD PB --- ＝（，，），＝（，，）.

所以异面直线PB 与CD 所成的角是

arccos

(Ⅲ)解假设存在点Q ，使得它到平面PCD

的距离为

，由(Ⅱ)知(1,0,1),(1,1,0).CP CD =-=-

设平面PCD 的法向量为n =(x 0,y 0,z 0).

则0,0,n CP n CD ?=??=??

所以00000,0,x z x y -+=??-+=?即000x y z ==，取x 0=1,得平面PCD 的一个法向量为n =(1,1,1).

设(0,,0)(11),(1,,0),Q y y CQ y -≤≤=-

由

2CQ n n

= 解y =-

12或y =5

(舍去)，此时13,22AQ QD =

=，所以存在点Q 满足题意，此时1

AQ QD =. 5. （2007福建理?18）如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有

棱长都为2，D 为CC 1中点。（Ⅰ）求证：AB 1⊥面A 1BD ；

（Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的大小；（Ⅲ）求点C 到平面A 1BD 的距离；

（Ⅰ）证明取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．

在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，

AD ∴⊥平面11BCC B ．

取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA

的方向为x y z ，，

轴的正方向建立空间

直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，

，1(0

，(00A ，1(120)B ，，，

1(12AB ∴= ，，(210)BD =-

，，

，1(12BA =- ． 12200AB BD =-++= ，111430AB BA =-+-=

， 1AB BD ∴ ⊥，11AB BA ⊥．

1AB ∴⊥平面1A BD ．

（Ⅱ）解设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．

(11AD =-

，，1(020)AA = ，，． AD ⊥n ，1AA ⊥n ，

100AD AA ?=?∴?=?? ，，n

n 020x y y ?-+-=?

∴?=?

?，

，0y x =??∴?=??，．

令1z =

得(=，n 为平面1A AD 的一个法向量．由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，

1AB ∴

为平面1A BD 的法向量．

cos

，1114AB AB AB >==

n n ． ∴二面角1A A D B --

的大小为arccos

（Ⅲ）解由（Ⅱ），1AB

为平面1A BD 法向量，

1(200)(12BC AB =-= ，，，，．

∴点C 到平面1A BD

的距离11

2BC AB d AB === ． 6.（2006广东卷）如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直

径.AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8,BC 是⊙O 的直径， AB ＝AC ＝6，OE //AD .

(Ⅰ)求二面角B —AD —F 的大小； (Ⅱ)求直线BD 与EF 所成的角.

解 (Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直,

∴AD ⊥AB , AD ⊥AF ,故∠BAD 是二面角B —AD —F 的平面角，依题意可知，ABCD 是正方形，所以∠BAD ＝450. 即二面角B —AD —F 的大小为450.

(Ⅱ)以O 为原点，BC 、AF 、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O （0，0，0），A （0，23-，0），B （23，0，0）,D （0，23-，8），E （0，0，8），F （0，23，0）

所以，)8,23,0(),8,23,23(-=--=FE BD

10064180,cos =

?++=

><=EF BD α 直线BD 与EF 所成的角为10

82arccos

7.（2005江西）如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD =AA 1=1，AB =2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；（3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4

π.

以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x , y , z 轴，建立空间直角坐标系，设AE =x ，则A 1（1，0，1），D 1（0，0，1）， E （1，x ，0），A （1，0，0），C （0，2，0）（1）证明 .,0)1,,1(),1,0,1(,1111D DA x D ⊥=-=所以因为（2）解因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0），从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，

)1,0,1(1-=，

设平面ACD 1的法向量为),,(c b a =，

则?????=?=?,

0,01AD n

A C

也即??

?=+-=+-002c a b a ，得???==c

a b

a 2，从而)2,1,2(=n ，所以点E 到平面AD 1C 的距离为

3212|

|1=-+=

n h （3）解设平面D 1EC 的法向量),,(c b a =， ∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD D x

由??

?=-+=-??????=?=?.0)2(0

0,01x b a c b D 令b =1, ∴c=2,a =2－x ， ∴).2,1,2(x -= 依题意.22

)2(222|

|||4

cos

211=+-?=

x DD n π

∴321+=x （不合，舍去），322-=x . ∴AE =32-时，二面角D 1—EC —D 的大小为

π. 第二部分三年联考汇编

2009年联考题

解答题

1.(湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题)如图，P —ABCD 是正四棱锥，1111ABCD A BC D -是正方体，其中2,AB

=PA =

（1）求证：11PA B D ⊥；

（2）求平面PAD 与平面11BDD B 所成的锐二面角θ的余弦值；（3）求1B 到平面PAD 的距离

以11B A 为x 轴，11D A 为y 轴，A A 1为z 轴建立空间直角坐标系

（1）证明设E 是BD 的中点， P —ABCD 是正四棱锥，∴ABCD PE ⊥

又2,AB PA == ∴2=PE ∴)4,1,1(P ∴ 11(2,2,0),(1,1,2)B D AP =-=

∴ 110B D AP ?=

，即11PA B D ⊥。

（2）解设平面PAD 的法向量是(,,)m x y z =

， (0,2,0),(1,1,2)AD AP ==

∴ 02,0=+=z x y 取1=z 得(2,0,1)m =-

，又平面11BDD B 的法向量是

(1,1,0)n = ∴

cos ,m n m n m n

?<>==

，

∴cos θ=。（3）解 1(2,0,2)B A =-

∴1B 到平面PAD

的距离1

B A m d m

?==

2. (陕西省西安铁一中2009届高三12月月考)如图，边长为2的等边△

PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC ＝22， M 为BC 的中点

(Ⅰ)证明：AM ⊥PM ；

(Ⅱ)求二面角P －AM －D 的大小； (Ⅲ)求点D 到平面AMP 的距离。

(Ⅰ) 证明以D 点为原点，分别以直线DA 、DC 为x 轴、y 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -, 依题意，可得

),0,2,0(),3,1,0(),0,0,0(C P D )0,2,2(),0,0,22(M A

∴(0,1,PM =-=

(AM =-=

∴,(0PM AM ?=?=

即PM AM ⊥

,∴AM ⊥PM .

(Ⅱ)解设(,,)n x y z =

，且n ⊥ 平面PAM ，则 00n PM n AM ??=???=??

即????

?=-?=-?0

)0,2,2(),,(0)3,1,2(),,(z y x z y x ∴????

?=+-=-+0220

32y x z y x ，

????

?==y

x y

z 23 取1=y ，得n =

P D