1-2-2(10年秋)绝对值方程及非负性.讲义教师版

内容基本要求

略高要求

较高要求

绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值

会利用绝对值的知识解决简单的化简问题

板块一：绝对值非负性

【例1】 ⑴()2

120a b ++-=，分别求a b ，的值；⑵若3230x y -++=，则y

的值是多少？【考点】非负数性质的综合应用【难度】1星【题型】解答【关键词】

【解析】⑴∵()2

120a b ++-=

∴1020a b +=-=， ∴12a b =-=，

⑵203023x y x y -=+===-，

，，，y x

=32-．【答案】⑴12a b =-=，；⑵3

【巩固】若42a b -=-+，则_______a b +=. 【考点】非负数性质的综合应用【难度】2星【题型】填空【关键词】

【解析】4(2)2a b +=+-= 【答案】2

【例2】求出所有满足条件1a b ab -+=的非负整数对()a b ，【考点】非负数性质的综合应用

【难度】4星

例题精讲

中考要求

绝对值方程及非负性

【题型】解答

【关键词】2010年，人大附中练习题

【解析】根据题意a b -和ab 两个代数式的值只能在0与1中取，用逐一列举的方法，求得满足条件的非负整

数对有三对()()()011011，，，，，

【答案】()()()011011，，，，，

【例3】若7

322102

m n p ++-

+-=，则23_______p n m +=＋. 【考点】非负数性质的综合应用【难度】3星【题型】填空【关键词】

【解析】3m =-，72n =，12

p =，3

232p n m +=-＋.

【答案】3

【巩固】已知245310a b c -++++=，求a 、b 、c 的值. 【考点】非负数性质的综合应用【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】略.

【答案】2a =,5b =-,1

c =-

【例4】已知a 、b 、c 都是负数，并且0x a y b z c -+-+-=，则 0xyz ．【考点】非负数性质的综合应用【难度】3星【题型】填空

【关键词】第10届，希望杯2试

【解析】根据绝对值的非负性可知x a =，x b =，z c =，所以0xyz abc =<．【答案】<

【例5】已知非零实数a 、b 、c 满足

a b c ++()2

420a b c +-+=，那么

a b

b c

+=- ．【考点】非负数性质的综合应用【难度】4星【题型】填空

【关键词】2008年，学而思杯

【解析】由非负性可得到0a b c ++=①，且420a b c -+=②，①+②得到530a c +=，

所以35a c =-，代入①可得到：25b c =-．所以3255

5275

c c

a b b c c c --+==---．

【答案】57

【例6】已知a 为实数，且满足200a a -+，求2200a -的值【考点】非负数性质的综合应用【难度】2星【题型】解答【关键词】

【解析】由题意可知：201a ≥，所以可得200a a -=200=，所以2201200a -=，所

以原式的值为201

【答案】201

【例7】设a 、b 同时满足

①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab = ．【考点】非负数性质的综合应用【难度】1星【题型】选择

【关键词】2008年，第二届两岸四地华罗庚杯

【解析】因为|1|1b b ++≥，而完全平方式非负，所以20a b -=，且1b +非负．

又因为|3|0a b +-=，所以30a b +-=，观察可知2a =，1b =，所以2ab =．

【答案】2

【例8】已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =_______ 【考点】非负数性质的综合应用【难度】4星【题型】填空

【关键词】2003年，杭州市中考题

【解析】因为2()55a b b b +++=+，我们可以知道50b +>，所以原式可以表示为： 22()55,()0,a b b b a b a b +++=++==-，又因为210a b --=，进而

111

210,31,,,339

a b a a b ab --====-=-.

【答案】1

【例9】若a 、b 、c 为整数，且1995

1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值．【考点】非负数性质的综合应用【难度】1星【题型】解答

【关键词】第6届希望杯1试

【解析】法一：根据题意：19a b -，95

c a -为非负整数，分类讨论：

①若0a b -=，1c a -=，则1b c a c -=-=，此时原式＝2； ②若1a b -=，0c a -=，则1b c b a -=-=，此时原式＝2．

法二：从总体考虑，a b -、c a -一个为0，一个为1，也就是a 、b 、c

有两个相同，另一个和他们相差1．故三者两两取差的绝对值应该有2个1和1个0，所以

2c a a b b c -+-+-=．

【答案】2

【例10】求满足1ab a b ++=的所有整数对()a b ，

【考点】非负数性质的综合应用

【难度】5星【题型】解答【关键词】

【解析】因为1ab a b ++=，且00ab a b +≥，≥，a b ，均为整数

所以可得01ab a b ?=??+=??⑴或者1

0ab a b ?=??+=??⑵

由⑴可得01ab a b =??+=?或0

1ab a b =??+=-?

又因为a b ，均为整数

所以3124123400111010a a a a b b b b ====-????????===-=????，，，由⑵得10ab a b =??+=?或1

ab a b =-??+=?

所以5656

11a a b b ==-????=-=??，综上可得：共有6对，分别是：()()()()()()011001101111----，，，，，，，，，，，

【答案】()()()()()()011001101111----，，，，，，，，，，，

【例11】已知m ，n ，p 都是整数，且35

1m n p m -+-=,则2p m m n n p -+-+-= ．

【考点】非负数性质的综合应用【难度】5星【题型】填空

【关键词】第18届，希望杯1试

【解析】根据绝对值的非负性我们可以得到下面两种情况：

（1）若0m n -=，1p m -=，则1n p -=（注意从几何意义入手解释），原式1023=++= （2）若1m n -=，0p m -=，则1n p -=,23p m m n n p -+-+-=．

【答案】3

【例12】若,,x y z 为整数，且20032003||||1x y z x -+-=，则 ||||||z x x y y z -+-+-的值是多少? 【考点】非负数性质的综合应用【难度】4星【题型】解答

【关键词】2003年，创新杯数学竞赛

【解析】2003||0,||0x y x y -≥-≥,同理2003||0z x -≥，所以一个为0，一个为1，也就是说,,x y z 有两个相同，

另一个和他们相差1.故三者两两取差的绝对值应该有2个1和1个0，所以||||||z x x y y z -+-+-=2.

当然也可以分类讨论，更利于学生接受.

【答案】2

【例13】设a 、b 是有理数，则9a b ++有最小值还是最大值？其值是多少？【考点】非负数性质的综合应用【难度】2星【题型】选择【关键词】

【解析】根据绝对值的非负性可以知道0a b +≥，则99a b ++≥，有最小值9.

【答案】有最小值9.

【例14】代数式24()a b -+最大值为，取最大值时，a 与b 的

关系是____________

【考点】非负数性质的综合应用【难度】2星【题型】选择

【关键词】2009年，十三中学单元检测【解析】略

【答案】4，互为相反数

【例15】已知210ab a +++=，求()()()()()()111

...112219941994a b a b a b +++

-+-+-+的值【考点】非负数性质的综合应用

【难度】3星【题型】解答【关键词】

【解析】由210ab a +++=得12a b =-=，

所以

()()

...112219941994a b a b a b +

-+-+-+

111

(233419951996)

=----

??? 997

1996=-

【答案】997

1996

已知()2

120a b ++-=，求a b ，的具体取值

【考点】非负数性质的综合应用

【难度】2星【题型】解答【关键词】

课后练习