八年级上册全等三角形单元测试与练习(word解析版)

八年级上册全等三角形单元测试与练习（word解析版）

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

∥，1．如图所示，ABC为等边三角形，P是ABC内任一点，PD AB，PE BC

++=____cm．

∥，若ABC的周长为12cm，则PD PE PF

PF AC

【答案】4

【解析】

【分析】

先说明四边形HBDP是平行四边形，△AHE和△AHE是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可．

【详解】

∥

解：∵PD AB，PE BC

∴四边形HBDP是平行四边形

∴PD=HB

∵ABC为等边三角形,周长为12cm

∴∠B=∠A=60°,AB=4

∥

∵PE BC

∴∠AHE=∠B=60°

∴∠AHE=∠A=60°

∴△AHE是等边三角形

∴HE=AH

∵∠HFP=∠A=60°

∴∠HFP=∠AHE=60°

∴△AHE是等边三角形，

∴FP=PH

∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm

故答案为4cm．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．

2．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____．

【答案】10

【解析】

利用正多边形的性质，可得点B 关于AD 对称的点为点E ，连接BE 交AD 于P 点，那么有PB=PF ，PE+PF=BE 最小，根据正六边形的性质可知三角形APB 是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF 的最小值为10.

故答案为10.

3．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=?，

92AEB ∠=?，则EBD ∠的度数为 ________ ．

【答案】128?

【解析】

【分析】

连接CE ，由线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，得CA=CB ，CE=CD ，

ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD ，易证?ACE ??BCD ，设∠AEC=∠BDC=x ，得则

∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，BDE 中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．

【详解】

连接CE，

∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，

∴CA=CB，CE=CD，

∵72

ABC EDC

∠=∠=?=∠DEC，

∴∠ACB=∠ECD=36°，

∴∠ACE=∠BCD，

在?ACE与?BCD中，

∵

CA CB

ACE BCD

CE CD

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴?ACE??BCD（SAS），

∴∠AEC=∠BDC，

设∠AEC=∠BDC=x，则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，

∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x）=x-20°，

∴在?BDE中，∠EBD=180°-（72°-x）-（x-20°）=128°．

故答案是：128?．

【点睛】

本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．

4．如图，点A,B,C在同一直线上,△ABD和△BCE都是等边三角形，AE,CD分别与BD,BE交于点F,G，连接FG，有如下结论：①AE=CD ②∠BFG= 60°；③EF=CG；④AD⊥CD⑤FG ∥AC 其中，正确的结论有__________________. (填序号)

【答案】①②③⑤

【解析】

【分析】

易证△ABE ≌△DBC ，则有∠BAE ＝∠BDC ，AE ＝CD ，从而可证到△ABF ≌△DBG ，则有AF ＝DG ，BF ＝BG ，由∠FBG ＝60°可得△BFG 是等边三角形，证得∠BFG ＝∠DBA ＝60°，则有FG ∥AC ，由∠CDB ≠30°，可判断AD 与CD 的位置关系．

【详解】

∵△ABD 和△BCE 都是等边三角形，∴BD ＝BA ＝AD ，BE ＝BC ＝EC ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°． ∵点A 、B 、C 在同一直线上，∴∠DBE ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE ＝∠DBC ＝120°． 在△ABE 和△DBC 中，

∵BD BA ABE DBC BE BC ∠∠=??=??=?

，∴△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC ，∴AE ＝CD ，∴①正确； 在△ABF 和△DBG

中，60BAF BDG AB DB

ABF DBG ∠∠∠∠=??=??==??

，∴△ABF ≌△DBG ，∴AF ＝DG ，BF ＝BG ． ∵∠FBG ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△BFG 是等边三角形，∴∠BFG =60°，∴②正确； ∵AE ＝CD ，AF ＝DG ，∴EF =CG ；∴③正确；

∵∠ADB ＝60°，而∠CDB =∠EAB ≠30°，∴AD 与CD 不一定垂直，∴④错误．

∵△BFG 是等边三角形，∴∠BFG =60°，∴∠GFB ＝∠DBA ＝60°，∴FG ∥AB ，∴⑤正确． 故答案为①②③⑤．

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平行线的判定和性质，证得△ABE ≌△DBC 是解题的关键．

5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12

MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法：①AD 是∠BAC 的平分线；

②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④S △DAC ：S △ABC ＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)

【答案】4【解析】

【分析】

①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；

②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出

∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；

③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；

④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=

1

2

AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．

【详解】

①连接NP，MP．在△ANP与△AMP中，∵

AN AM

NP MP

AP AP

=

?

?

=

?

?=

?

，∴△ANP≌△AMP，则

∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；

②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=

1

2

∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC=60°，故此选项正确；

③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；

④∵在Rt△ACD

中，∠2=30°，∴CD=

1

2

AD，∴BC=BD+CD=AD+

1

2

AD=

3

2

AD，S△DAC=

1

2

AC?CD=

1

4

AC?AD，∴S △ABC

=

1

2

AC?BC=

1

2

AC?

3

2

AD=

3

4

AC?AD，∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此选项正确．

故答案为①②③④．

【点睛】

本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．

6．如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为______．

【答案】7或34

【解析】

【分析】

分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．

【详解】

如图1，当∠AMB=90°时，

∵O是AB的中点，AB=8，

∴OM=OB=4，

又∵∠AOC=∠BOM=60°，

∴△BOM是等边三角形，

∴BM=BO=4，

∴Rt△ABM中，AM22

-3

AB BM

如图2，当∠AMB=90°时，

∵O是AB的中点，AB=8，

∴OM=OA=4，

又∵∠AOC=60°，

∴△AOM是等边三角形，

∴AM=AO=4；

如图3，当∠ABM=90°时，

∵∠BOM=∠AOC=60°，

∴∠BMO=30°，

∴MO=2BO=2×4=8，

∴Rt△BOM中，BM22

-=43

MO OB

∴Rt△ABM中，AM=22

=47．

AB BM

综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为43或47或4．故答案为43或

47或4．

7．如图，△ABC 中， AB=11 ， AC= 5 ，∠ BAC 的平分线 AD 与边 BC 的垂直平分线 CD 相交于点 D ，过点 D 分别作 DE⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为 E 、F ，则 BE 的长为_____．

【答案】3

【解析】

【分析】

连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．

【详解】

如图，连接CD，BD，

∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，

∴AE=AF，

∵DG是BC的垂直平分线，

∴CD=BD，

在Rt△CDF和Rt△BDE中，

CD BD

DF DE

?

?

?

＝

＝

，

∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），

∴BE=CF，

∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，

∵AB=11，AC=5，

∴BE=

1

2

（11-5）=3．

故答案为：3．

【点睛】

此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

8．如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP＝CQ时，PQ交AC于D，则DE的长为______．

【答案】

1

2

【解析】

过点Q作AD的延长线的垂线于点F.

因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠ACB=60°.

因为∠ACB=∠QCF，所以∠QCF=60°.

因为PE⊥AC，QF⊥AC，所以∠AEP=∠CFQ=90°，

又因为AP=CQ，所以△AEP≌△CFQ，所以AE=CF，PE=QC.

同理可证，△DEP≌△DFQ，所以DE=DF.

所以AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，所以DE=1

2

AC=

1

2

.

故答案为1 2 .

9．在下列结论中：①有三个角是60?的三角形是等边三角形；②有一个外角是120?的等腰三角形是等边三角形；③有一个角是60?，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是__________.

【答案】①②③④

【解析】

【分析】

依据等边三角形的定义，含有一个600角的等腰三角形是等边三角形判断即可.

【详解】

有三个角是600的三角形是等边三角形，故①正确；外角是1200时，邻补角为600，即有一个内角是600的等腰三角形是等边三角形，故②正确；轴对称的三角形是等腰三角形，且含有一个600角，因此是等边三角形，故③正确；一腰上的高也是中线，故底边等于腰长，所以此三角形是等边三角形，故④正确.

故此题正确的是①②③④.

【点睛】

此题考查等边三角形的判定方法，熟记方法才能熟练运用.

10．已知，∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，

△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A7B7A8的边长为______．

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到A 2B 2=2B 1A 2，进而得出A 3B 3=4B 1A 2=4a ，A 4B 4=8B 1A 2=8a ，A 5B 5=16B 1A 2…从而得到答案．

【详解】

∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°．

∵∠MON =30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°．

又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°．

∵∠MON =∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=a ，∴A 2B 1=a ．

∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°．

∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，

∠5=∠8=90°，∴A 2B 2=2B 1A 2，B 3A 3=2B 2A 3，∴A 3B 3=4B 1A 2=4a ，A 4B 4=8B 1A 2=8a ，

A 5

B 5=16B 1A 2=16a ，以此类推：A 7B 7=64B 1A 2=64a ．

故答案为：64a ．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题的关键．

二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）

11．如图，在射线OA ，OB 上分别截取11OA OB =，连接11A B ，在11B A ，1B B 上分别截取1212B A B B =，连接22A B ，

按此规律作下去，若11A B O α∠=，则1010A B O ∠=

（ ）

A ．102a

B ．92a

C ．20a

D ．18

a

【解析】 【分析】 根据等腰三角形两底角相等用α表示出22A B O ∠，依此类推即可得到结论．

【详解】

解：1212B A B B =，11A B O α∠=，

2212

A B O α∴∠=， 同理332111222

A B O αα∠=?=， 443

12A B O α∠=， 112n n n A B O α-∴∠=

， 101092A B O α

∴∠=，

故选：B ．

【点睛】

本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．

12．如图，等腰 Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，∠ABC 的平分线分别交 AC ，AD 于E ，F ，点M 为 EF 的中点，AM 的延长线交 BC 于N ，连接 DM ，NF ，EN ．下列结论：①△AFE 为等腰三角形；②△BDF ≌△ADN ；③NF 所在的直线垂直平分AB ；④DM 平分∠BMN ；⑤AE ＝EN ＝NC ；⑥AE BN EC BC

=．其中正确结论的个数是( )

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

【答案】D

【解析】

【分析】 ①由等腰三角形的性质得∠BAD=∠CAD=∠C=45°，再根据三角形外角性质得

∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5°，则得到∠AEF=∠AFE ，可判断△AEF 为等腰三角形，于是可对①进行判断；求出BD=AD ，∠DBF=∠DAN ，∠BDF=∠ADN ，证△DFB ≌△DAN ，由题意可得BF>BD=AD,所以BF ≠AF,所以点F 不在线段AB 的垂直平分线上，所以③不正确，由

∠ADB=∠AMB=90°， 可知A 、B 、D 、M 四点共圆， 可求出∠ABM=∠ADM=22.5°，继而可得∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°， 即可求出DM 平分∠BMN ,所以④正确；根据全等三角形的性质可得△AFB ≌△CAN ， 继而可得AE=CN ，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可得△ENC 是等腰直角三角形,继而可得AE=CN=EN ，所以⑤正确；根据等腰三角形的判定可得△BAN 是等腰三角形，可得BD=AB ，继而可得

2BD BC A BC B ==,由⑤可得2

AE EN EC EC ==所以⑥正确. 【详解】

解：∵等腰Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，

∴∠BAD=∠CAD=∠C=45°，

∵BE 平分∠ABC ，

∴∠ABE=∠CBE=12

∠ABC=22.5°， ∴∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5° ∴∠AEF=∠AFE ，

∴△AEF 为等腰三角形，所以①正确；

∵∠BAC=90°，AC=AB ，AD ⊥BC ，

∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD ，∠ADN=∠ADB=90°，

∴∠BAD=45°=∠CAD ，

∵BE 平分∠ABC ，

∴∠ABE=∠CBE= 12

∠ABC=22.5°， ∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，

∴AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，

∴AF=AE ，AM ⊥BE ，

∴∠AMF=∠AME=90°，

∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN ，

在△FBD 和△NAD 中,

∠FBD ＝∠DAN ,BD ＝AD ,∠BDF ＝∠ADN ，

∴△FBD ≌△NAD ，所以②正确；

因为BF>BD=AD,

所以BF ≠AF,

所以点F 不在线段AB 的垂直平分线上，所以③不正确

∵∠ADB=∠AMB=90°，

∴A 、B 、D 、M 四点共圆，

∴∠ABM=∠ADM=22.5°，

∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°，

∴DM 平分∠BMN ,所以④正确；

在△AFB 和△CNA 中，

∠BAF＝∠C＝45°,AB＝AC, ∠ABF＝∠CAN＝22.5°,∴△AFB≌△CAN（ASA），

∴AF=CN，

∵AF=AE，

∴AE=CN，

∵AE=AF，FM=EM，

∴AM⊥EF，

∴∠BMA=∠BMN=90°，

∵BM=BM，∠MBA=∠MBN，

∴△MBA≌△MBN，

∴AM=MN，

∴BE垂直平分线段AN，

∴AB=BN，EA=EN，

∵BE=BE，

∴△ABE≌△NBE，

∴∠ENB=∠EAB=90°，

∴EN⊥NC．

∴△ENC是等腰直角三角形,

∴AE=CN=EN，所以⑤正确；

∵AF=FN,

所以∠FAN =∠FNA,

因为∠BAD =∠FND=45°,

所以∠FAN+ ∠BAD =∠FNA+∠FND,

所以∠BAN =∠BNA,

所以AB=BN,

所以

2

2

BD

BC

A

BC

B

==，

由⑤可知，△ENC是等腰直角三角形，AE=CN=EN，

∴

2 AE EN

EC EC

==

所以AE BN

EC BC

=，所以⑥正确,

故选D.【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．

13．等边△ABC，在平面内找一点P，使△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，具备这样条件的P点有多少个？（）

A．1个B．4个C．7个D．10个

【答案】D

【解析】

试题分析：根据点P在等边△ABC内，而且△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，可知P点为等边△ABC的垂心；由此可得分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．

解：由点P在等边△ABC内，而且△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，

可知P点为等边△ABC的垂心；

因为△ABC是等边三角形，所以分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，交垂直平分线的交点就是满足要求的，

每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．

故选D．

点评：此题主要考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，有一定的拔高难度，属于中档题．

14．在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，﹣5

2

）和B（3，﹣

11

2

）是图形上的一

对对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则C点对称点的坐标是（）

A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣3

2

）C．（﹣

3

2

，﹣9）D．（﹣2，﹣1）

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用点A和点B的坐标特征可判断图形的对称轴为直线y=-4，然后写出点C关于直线y=-4的对称点即可．

【详解】

解：∵A（3，﹣5

2

）和B（3，﹣

11

2

）是图形上的一对对称点，

∴点A与点B关于直线y＝﹣4对称，

∴点C（﹣2，﹣9）关于直线y＝﹣4的对称点的坐标为（﹣2，1）．

故选：A．

【点睛】

本题考查了坐标与图形的变化，需要注意关于直线对称：关于直线x=m对称，则两点的纵坐标相同，横坐标和为2m；关于直线y=n对称，则两点的横坐标相同，纵坐标和为2n．

15．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC 于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是( )

A．AD＝BE B．BE⊥AC

C．△CFG为等边三角形D．FG∥BC

【答案】B

【解析】

试题解析：A.ABC和CDE

△均为等边三角形，

60

AC BC EC DC ACB ECD

∴==∠=∠=?

，，，

在ACD与BCE中，

{

AC BC

ACD BCE

CD CF

=

∠=∠

=，

ACD BCE

∴≌，

AD BE

∴=，正确.

B.据已知不能推出F是AC中点，即AC和BF不垂直，所以AC BE

⊥错误，故本选项符合题意.

C.CFG是等边三角形，理由如下：

180606060

ACG BCA

∠=?-?-?=?=∠，

ACD BCE

≌，

CBE CAD

∴∠=∠，

在ACG和BCF中，{

CAG CBF

AC BC

BCF ACG

∠=∠

=

∠=∠，

ACG BCF

∴≌，

CG CH

∴=，又∵∠ACG=60°

CFG

∴是等边三角形，正确.

D.CFG是等边三角形，

60

CFG ACB

∴∠?=∠

﹦，

.

FG BC

∴正确.

故选B.

16．如图，ABC ?中，AB 的垂直平分线DG 交ACB ∠的平分线CD 于点D ，过D 作DE AC ⊥于点E ，若10AC =，4CB =，则AE =（ ）

A ．7

B ．6

C ．3

D ．2

【答案】C

【解析】

【分析】 连接BD 、AD,过点D 作DF ⊥CB 于点F ，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=AD ，DE=DF ，依据HL 定理可判断出Rt △AED ≌Rt △BFD ，根据全等三角形的性质即可得出BF=AE ，再运用AAS 定理可证得Rt △CED ≌Rt △CFD ，证出CE=CF ，设AE 的长度为x ，根据CE=CF 列方程求解即可．

【详解】

如图, 连接BD 、AD,过点D 作DF⊥CB 于点F.

∵AB 的垂直平分线DG 交ACB ∠的平分线CD 于点D ，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴BD=AD，DE=DF ．∴Rt△AED≌Rt△BFD．

∴BF=AE．

又∵∠ECD=∠FCD，∠CED=∠CFD，CA=CA ，∴Rt△CED≌Rt△CFD，

∴CE=CF，

设AE 的长度为x ，则CE=10-x ，CF=CB ＋BF= CB ＋AE= 4＋x,

∴可列方程10-x=4＋x ，x=3，∴AE=3；

故选C.

【点睛】

本题涉及到线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形解答．

17．如图，ABC △，AB AC =，56BAC ?∠=，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与O 点恰好重合，则∠OEC 的度数为（ ）

A ．132?

B ．130?

C ．112?

D ．110?

【答案】C

【解析】

【分析】 连接OB 、OC ，根据角平分线的定义求出∠BAO ，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC ，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB ，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO ，再求出∠OBC ，然后判断出点O 是△ABC 的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC ，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC ，根据翻折的性质可得OE=CE ，然后根据等边对等角求出∠COE ，再利用三角形内角和定理列式计算即可得出答案.

【详解】

如图，连接OB 、OC ，

∵56BAC ?∠=，AO 为BAC ∠的平分线

∴11562822

BAO BAC ??∠=∠=?= 又∵AB AC =， ∴()()

11180180566222ABC BAC ????∠=-∠=-= ∵DO 是AB 的垂直平分线，

∴OA OB =．

∴28ABO BAO ?∠=∠=，

∴622834OBC ABC ABO ???∠=∠-∠=-=

∵DO 是AB 的垂直平分线，AO 为BAC ∠的平分线

∴点О是ABC △的外心，

∴OB OC =，

∴34OCB OBC ?∠=∠=，

∵将C ∠沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合

∴OE CE =，

∴34COE OCB ?∠=∠=，

在OCE △中，1801803434112OEC COE OCB ?????∠=-∠-∠=--=

【点睛】

本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，做辅助线构造出等腰三角形是解决本题的关键.

18．如图，已知等边△ABC 的面积为43， P 、Q 、R 分别为边AB 、BC 、AC 上的动点，则PR ＋QR 的最小值是（ ）

A ．3

B ．23

C ．15

D ．4

【答案】B

【解析】 如图，作△ABC 关于AC 对称的△ACD ，点E 与点Q 关于AC 对称，连接ER ，则QR=ER ，

当点E ，R ，P 在同一直线上，且PE ⊥AB 时，PE 的长就是PR +QR 的最小值，

设等边△ABC 的边长为x 3， ∵等边△ABC 的面积为3，

∴12x ×32

3 解得x=4， ∴等边△ABC 33 即3PR +QR 的最小值是3，

故选B.

【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题等，解题的关键是正确添加辅助线构造

出最短路径.

19．如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（）

A．PD=DQ B．DE=

1

2

AC C．AE=

1

2

CQ D．PQ⊥AB

【答案】D

【解析】

过P作PF∥CQ交AC于F，∴∠FPD=∠Q，∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ACB=60°，∴∠A=∠AFP=60°，∴AP=PF，∵PA=CQ，∴PF=CQ，在△PFD与△DCQ 中，

FPD Q

PDE CDQ

PF CQ

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，∴△PFD≌△QCD，∴PD=DQ，DF=CD，∴A选项正确，

∵AE=EF，∴DE=

1

2

AC，∴B选项正确，∵PE⊥AC，∠A=60°，∴AE=

1

2

AP=

1

2

CQ，∴C选项正确，故选D．

20．如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，连接

ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：

①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（）

A．①③B．①②④C．①②③④D．①③④【答案】C

【解析】

【分析】

①易证∠CBE=∠DAE，即可求证：△ADE≌△BCE；

②根据①结论可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；

③证明△AEF≌△BED即可；

④易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．

【详解】

①∵AD为△ABC的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°．

∵Rt△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，

∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE．在△DAE和△CBE中，∵

AE BE

DAE CBE

AD BC

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ADE≌△BCE（SAS）；故①正确；

②∵△ADE≌△BCE，∴∠EDA=∠ECB．

∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE⊥DE；故②正确；

③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，∴∠BDE=∠AFE．

∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF．

在△AEF和△BED中，∵

BDE AFE

BED AEF

AE BE

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，∴△AEF≌△BED（AAS），∴BD=AF；故③正

确；

④∵AD=BC，BD=AF，∴CD=DF．

∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形．

∵DE⊥CE，∴EF=CE，∴S△AEF=S△ACE．

∵△AEF≌△BED，∴S△AEF=S△BED，∴S△BDE=S△ACE．故④正确．故选C．