含参数不等式的解法举例

含参数不等式的解法举例

教学目标：

1.进一步掌握常见不等式的解法；

2.能根据参数的“位置”正确进行分类讨论，解不等式.

教学重、难点：通过分类讨论解含参数的不等式.

教学过程：

例1．解不等式 3222(22)x x x x --<-．

解：原不等式可化为422

3220x x -?+<，即：22(21)(22)0x x --<， ∴2122x <<，∵2x y =是增函数，∴021x <<，∴102x <<

， ∴原不等式的解集为10,2?

? ???．

【变题】解关于x 的不等式 )22(22

3x x x x m --<-． 解：原不等式可化为422(1)20x x m m -+?+<，即：0)2)(12(22<--m x x ①

（1）当1m >时，由①得：m x <<22

1，∵2x y =是增函数，∴m x 2log 210<<； （2）当1m =时，由①得：0)12(22<-x ，∴x φ∈；

（3）当01m <<时，由①得：12

2<

综上所述：当1m >时，原不等式的解集为21(0,

log )2m ； 当1m =时，原不等式的解集为φ；

当01m <<时，原不等式的解集为21(log ,0)2

m ；

当0m ≤时，原不等式的解集为(,0)-∞．

例2．解不等式 222log 2log (36)x x x ≤--．

解：∵2log y x =是增函数，∴原不等式等价于

2220360236x x x x x x >??-->??≤--?

20560x x x >???--≥? 061x x x >???≥≤-?或，

∴6x ≥，即原不等式的解集为[)6,+∞．

例3．解关于x 的不等式 a x x a log log

<(0,1)a a >≠． 解：原不等式等价于 1log log a a x x

<， 即：0log )1)(log 1(log <-+x x x a a a ， ∴1log 01log <<-

（1）当1a >时， a x a x <<<

<110或； （2）当01a <<时，11<<>x a a

x 或． 综上所述：当1a >时，原不等式的解集为1

(0,)(1,)a a U ；

当01a <<时，原不等式的解集为1(,1)(,)a a +∞U ．

说明：去掉对数符号时，必须限制真数大于零.

例4．设{}|12A x x =≤≤，{}2|(1)0B x x a x a =-++≤．

（1）若A B ≠

?，求a 的取值范围； （2）若A B ?，求a 的取值范围；

（3）若A B I 为仅含一个元素的集合，求a 的取值范围.

解：()(){}10B x x x a =--≤，

∴当1a ≤时，{}1B x a x =≤≤；当1a >时，{}

1B x x a =≤≤，

又{}|12A x x =≤≤，

（1）若A B ≠

?，则a 的取值范围是()2,+∞； （2）若A B ?，则a 的取值范围是[]1,2；

（3）若A B I 为仅含一个元素的集合，则a 的取值范围是(],1-∞．

小结：

1．解指数、对数不等式的基本方法是：依据指数函数、对数函数的单调性进行等价转化，去掉对数符号时，必须限制真数大于零；

2．在解含有参数的不等式时，要根据参数的“位置”正确进行分类讨论.

作业：

1．解不等式：（1）)1(332)21(22---

1231+>--x x x ． 2. 解关于x 的不等式：（1）211221log ()log 10x a x a

-++<；

（2）34422+>+-m m mx x ；

（3）0)(log log >x a a （10<

（4）)1,0(,011log ≠>>-+a a x

x a

． 3．若方程：22221(log 4)log 104x a x a --+-=有两个不同的负根，求a 的范围.