图论第二章和第四章的课后习题

图论第二章和第四章书后练习题2.2 给出满足下列条件的图或说明这样的图为什么不存在

(a)没有奇点的图。

(b)所有顶点的度为三的图。

(c)阶至少为5的图G ,且对于G 中任意两个邻接的顶点,,v u 均有u deg v deg ≠。

(d)阶至少为5的非完全图H ,且对于H 中任意两个不邻接的顶点,,v u 均有u deg v deg ≠。 解：（a ）

（b ）

(c)

(d)

2.4 给出一个阶为6且边数为10的图G ,满足.4)(,3)(=?=G G δ 解：所求图如下所示：

2.6 在一个阶为)1(3≥n n 的图中，若度为n n ,1-和1+n 的顶点数个数均为n ，则n 必为偶数。

证：∵n-1+n+n+1=3n;

∴图中仅有度为n+1,n,n-1三种度的顶点 ∑deg(v)=(n-1)n+n*n+(n+1)n=3n 2 由图论第一定理知，3n 2

为偶数 则n 为偶数。

2.8 设G 为n 阶图，若对G 中任意三个互不邻接的顶点v u ,和w ，都有

u d e g ,1d e g d e g -≥++n w v 则G 一定是连通的吗？

解：不一定，如下图：

2.10 我们已经知道，若n 阶图G 的任意两个不邻接的顶点u 和v 都满足

,2d e g d e g -≥+n v u 则G 可能不连通。

(a) 证明：存在n 阶的连通图G ，它满足：对G 中两个任意不邻接的顶点u 和v ，都有,2deg deg -≥+n v u 且G 有两个不邻接的顶点x 和y ，使得y x deg deg +=2n -。 (b) 证明：若n 阶图G 的任意两个不邻接的顶点u 和v 都满足,2deg deg -≥+n v u 则G 至多有两个连通分支。 (c) (b)中的界是紧的吗？

（a ）证：假设deg deg 1u v n +≤-，则由定理4可知G 不是联通的，这与已知矛盾。 ∴原结论正确。

（b ）证：假设存在G1，G2,G3 三个连通分支，其阶数分别为n1,n2,n3,且n1+n2+n3≤n;

取u ∈G1 v ∈G2

12123()()()()1123G G G G d u d v d U d v n n n n n +=+≤-+-≤--≤- 矛盾！

∴至多有两个连通分支 (c)是的

2.12证明：若n 阶图G 满足1)()(-≥+?n G G δ，则G 是连通的，且4)(≤G diam 。并证明：界1-n 是紧的。 证：(反证法)

假设存在满足条件的n 阶不连通图G 。设2,

1G G 分别为G 的两个子图，阶数分别

为2,1n n

则：

2

)

12()11()()(-≤-+-≤+?n n n G G δ

与条件矛盾。

2.14 证明：若图G 的任意一条边都连接一个奇点和一个偶点，则G 是二部图且有偶数条边。 证：以G 中所有的奇点为元素作集合U ；

以G 中所有的偶点为元素作集合W

∵G 中的每条边分别连一个奇点一个偶点

∴G 的每条边必连接U 中的一个顶点和W 中的一个顶点 于是G 是二部图，U 和W 为其的部集

2.16 证明：对于阶为)512(12≥++n n 的图G ，若G 的每个顶点的度或为1+n 或为2+n ，则G 包含至少1+n 个度为2+n 的顶点或至少2+n 个度为1+n 的顶点。 证：（反正法）

假设G 之多包含n 个度为n+2的顶点，则其余n+1个点的度均为n+1 那么d ()(2)(1)(1)G v n n n n =++++=2n 2+4n+1为奇数 这与图论第一定理矛盾

同理可证至少含有n+2个度为n+1的顶点

2.18 设8阶图G 的顶点集为{}8,,2,1)(v v v G V =，若)71(d e g ≤≤=i i vi ，试求8deg v ，并给予解释。

解：由已知77deg ,66deg ,55deg ,44deg ,33deg ,22deg ,11deg =======v v v v v v v 则可以得到下图：

由图上可看出8deg v =4

2.20证明若图G 是非正则的连通图，则G 包含两个邻接顶点,,v u 使得u deg v deg ≠。 证: 假设G 不含有两个邻接点u 和v 使得v u deg deg ≠

则可得到)()(G G δ=?这与已知G 是非正则图矛盾！ ∴G 包含两个邻接顶点,,v u 使得u deg v deg ≠

2.22对于图所示的图G ，构造一个含G 作为诱导子图的3正则图H

(a) 利用定理2.7的证明方法，H 的阶是多少？

(b) 若要使H 有最小的阶，则阶是多少？ △(G)=3 , ()1G δ=图1G 如下所示：

∵11()3()2G G δ?==图H 如下所示：

H 的阶数为20

2.24如图所示的图G ，H 是包含G 作为诱导子图的3正则图，那么H 的阶最少为多少？

G ：

解：H的阶最小是8，如下图：

2.26.证明：（a）图G是正则的当且仅当G是正则的。

(b)若G与均是正则的，则G具有奇数阶。（a）证：必要性：

设G是n阶的r正则图

∵()()

=()()

V G V G

=

E G E G

∴G与G构成n阶的完全图

G是r—正则的而n阶完全图的每个顶点的度为n-1

则G每个顶点的度为n-1-r

∴G是正则的。

充分性：同理可证。

（b）证：设G是n阶的r正则图

为n阶r正则图

G G

又∵G为r正则，则G每个顶点的度为n-1-r

题知G为r正则∴n-1-r=r 则有n=2r+1

∴G为奇数阶

2.28.考虑下面的问题：是否存在图G 和整数r ，其中()G r δ ()G r ?≤,使得按定理2.7的证明所构造的r 正则图H 不仅含有G 作为诱导子图，而且在所有满足条件的r 正则图具有最小阶。 解：不存在

2.30 从1G K =开始，应用定理2.7中的构造方法，给出一个含G 作为诱导子图的3正则图H,H 是哪一个著名的图？ 解：

H 为立方体

2.32.利用定理2.10判断下列序列是否可图的，对于可图的序列，用类似2.11的方法，构造出以该序列为度序列的图。 (a) s1: 5,3,3,3,3,2,2,2,1 (b) s2: 6,3,3,3,3,2,2,2,2,1,1 (c) s3: 6,5,5,4,3,2,1 (d) s4: 7,5,4,4,4,3,2,1 (e) s5: 7,6,5,4,4,3,2,1 解：（a ）可图 G1：

G2：

G3：

G ：

（b）可图

（c）删去6，将后面6项减1，的序列4,4,3,2,1,0

该序列为非增排列

删去首项4，将后面地4项减1的序列得序列：3,2,1,0,0 为非增序列易看出该序列不可图

∴s3不可图

（d）可图

（e）可图

2.34．存在哪些整数x(07x ≤≤)使得序列7,6,5,4,3,2,1,x 是可图的？ 解：x=4

2.36令S={2,6,7}，证明存在正整数k ，使得通过对S 中的每一项列出k 次所得到的新序列是可图的，试求最小的k.

证：由题可知有序列S 1=7……76……62……2其中每个数字都有k 个，

若k>7则按定理2.7中的方法有2S : 6……6……62……2其中6有2k-1个，2有k 个 则按此方法依次推下去则可得到一个可图序列。 对k ≤7,同理可证。

k 的最小值为4.

2.38．对于图2.19所示的图2G 的邻接矩阵A ，通过计算A 或实施矩阵乘法，确定A 2和A 3 G 2：

解：A=

???????????????01

10110010110010100110 A 2

=?????????????

???10

1

02010

103110112100112

A 3

=???????

?

?????

???02

1

20411

042431142301332

2.40.设r K G ,r ?，其中U={v 1,v 2,……v r },W={v r+1.v r+2,……v 2r }，不通过矩阵乘法，确定G

的邻接矩阵A 以及A 的幂A 2，A 3和A 4

。

解：A=?????????

?

??????????01

1

1111011

A 2=

?????????

?

?????????

?r r

r r

r r

00r

r

A 3

=??????????

??????????00

00

00

2

22

2

2

2

2

2

r

r

r

r r r

r r

A 4

=?????????

?

?????????

?33

33

3

33

30

000

r r

r r

r

r r

r

2.42.对于4K F ?，给出两个图H 1和H 2，使得H 1是F 正则的而非正则的，H 2是正则而非F

正则的。

解：H 1： H 2

2.44.对于F ?P 3，列举一个阶至少为7的F 不规则图。 解：

2.46.列举下列图作为基础图的不规则多重图

（a ）P3 (b)P4 (c)C4 (d)C5 (e)K4

(a) （b ）

(c) (d)

(e)

2.48.证明定理2.18

证：?∵G 是阶至少为2的联通图，且G 为一个不规则的多重基础图说明G 的各个顶点的

度不同，

∴2G K ≠

?∵2G K ≠且Ｇ阶至少为２并连通

∴Ｇ一定可以作为一个不规则多重图的基础图

4.2证明:所有顶点的度都是偶数的连通图不含割边 证:假设连通图G 含割边e 其关联u,v 两个顶点 删去e 得到的G 的两个连通分支G 1和G 2 令1u G ∈ 2v G ∈

∵删去e, 1

deg deg ()1G G u =-为奇数，矛盾！

∴原结论正确

4.4设G 是连通图，1e 和2e 是G 的两条割边，证明：12G e e --有三个连通分支当且仅当1

e 和2e 都是G 中的割边。

证：?∵G 是连通图且1e 仅关联两个顶点

∴1G e -最多可以将G 分割成两个连通分支 则e 2也一定为G 的割边

?1e ，2e 均为G 的割边

而1G e -可以将G 分成2个连通分支，2e 必属于某个连通分支中 则2e 又将其所在的连通分支继续分割成2个连通分支 ∴12G e e --有三个连通分支

4.6设G 是阶为3n ≥的连通图且不含割边，假设对于G 的每条边e ，G-e 的每条边都是割边，G 有什么结构？并给予证明。 解：G 为圈，证明如下：

证：设G ∈e ∵G 为圈

∴e 一定不是G 的割边，而e G -不含圈 ∴e G -∈?'e 均是割边

4.8证明：若图G 的每个顶点的度至少是2，则G 含有一个圈 证：（反证法）

假设G 不含圈

则G 中一定存在一个端点 那么此端点的度为1，矛盾！ ∴G 必含圈

4.10．对下面地三种情形，分别举出一个例子或者说明为什么不存在这样的例子。 （a ）一个图，它不是树，但它的每条边都是割边。

（b ）一个4阶树，它的补图不是树。

（c ）一个数T ，T 恰好包含3个非端点的顶点，但T 不是毛毛虫。 解：（a ） （b ）

(c)不存在，因为要使T 不是毛毛虫，则T 一定要包含至少非端点的顶点，所以T 是不存在的。

4.12（a ）列举一个树T 及其一条边e ，要求T-e 的两个连通分支是同构的

（b ）说民为什么不存在这样的树T ，包含两个不同的边1e 和2e 使得1T e -的两个连通分支是同构的，且2T e -的两个连通分支也是同构的。 解：（a ）T:

(b)若1T e -的两个连通分支1G 和2G 是同构的 又∵1e ≠2e ，令21e G ∈

∴12G e -与2G 不可能同构

∴2T e -的两个连通分支不可能是同构的

4.14已知某个35阶树T 含有25个度为1的顶点，2个度为2的顶点，3个度为4的顶点，1个度为5的顶点，和2个度为6的顶点，它还含有2个具有相同（未知的）度为x 的顶点，x 是多少？

解：234262514322125?=+?+?+?+?+?x ∴5x =

4.16（a ）列举一个6阶树，概述含有4个度为1顶点，2个度为3的顶点（只有一个数具有这个性质）

（b ）找出满徐下述条件的所有树T ，要求T 的2/3的顶点的度为1，其余的1/3顶点 的度为3。

解：（a ） (b)

4.18.某个n 阶树T 仅含有度为1,3的顶点，证明T 有（n-2）/2个度为3的顶点。 证：设T 含有x 个度为3的顶点，则有（n-2）个度为1的顶点。

∵该图为n 阶树

∴其含有（n-1）条边

则x 满足方程)1(23-=-+n x n x ，则x=(n-2)/2 .

4.20证明或反驳：

（a ）若G 是阶为n 且边数为m 的图，，且G 含3个圈，则2+≥n m （b ）恰含两个正则树

解：（a）对下图，则有

m=n;

(b)树至少含有两个端点，则对3

≥

n时，其不可能时正则的。

4.22设T是一个n阶树，证明：T的补图T的变数与1

n

K-的边树相同

证：∵T为n阶树，则T有n-1条边

∴T有n(n-1)/2-(n-1)条边即有(n2-3n+2)/2条边

而1

n

K-有(n-1)(n-2)/2=(n2-3n+2)/2边

∴T的补图T的变数与1

n

K-的边树相同

4.24（a）找出阶为4

≥

n的所有图G，要求由G的任意3个顶点所诱导的子图都是树，若不存在这样的的树，说明理由。

（b）提出（a）中问题的一个推广，并解决之。

解：（a）只要该图中含有4圈而不含3圈均可满足条件

（b）任意k个顶点的诱导子图都是树

解答：含有k+1个圈且不含有k圈

4.26证明：连通图G 的一条边e是割边当且仅当e属于G的任意一个生成树。

证：e是连通图G的割边

?e不再G的任意一个圈上

?e一定在G的任一生成树上

4.28 分别应用Kruskal算法与Prim算法寻找图4.12中赋权图的一个最小生成树，在每种情形下都要说明该书是如何构造的。

7

解：Kruskal算法得图如下：

→

2

→

→

6

→

Prim 算法得图如下：

→

2

→

→

6

→

4.32证明：存在唯一的正整数k,使得任一图都不会恰好含有k 个生成树。 证：k=2

1）G 不连通生成树个数为0

2）G 连通含圈时，生成树个数大于等于3 G 是树时，生成树个数为1

所以，存在k=2个使得任一图都不会恰好有k 生成树。

4.34（a ）确定图4.18中的图G 的生成树的个数

（b ）对于5R ≥，确定图4.18中的图k G 的生成树个数（注意到（a ）是k=4的情况） G ：

解：（a ）①不含e1,e2,e3的树，删去余下边地任一条即可，共有9种

②恰含e1,e2,e3中一条的树，设含有e1,共有18种，则该情况共有54318=? 种

③恰含e1,e2,e3中两条的树，设含有e1,e2,e3共有18种，则该情况共有

54318=?种

共有54+54+9=117种

（b ）①不含有三角形三条边的有3(k-1)种

②恰含有三角形三边中的有)1)(1(33--?k k 种 ③恰含有三角形三条边的有)1)(1)(1(---k k k 种 则共有512623+-+k k k 种 4.36确定图4.20中途G 的生成数个数

解：（a ）不含有中间五边形的共有15种

（b ）恰含中间五边形的一条边的有3005125=??种

（c ）恰含有中间五边形的两条边的有810)2)45((933=÷????种

（d ）恰含有中间五边形的三条边的有1620633))123()345((=?????÷??种 （e ）恰含有中间五边形的四条边的有1215533333=?????种 生成树的个数共有3945种

4.38用矩阵定理来证实具有顶点集1234{,,,}v v v v 的不同树的个数。 证： 邻接矩阵A= ??

???????

???01

1

1

10111101

1110 C=?????

?

???

???31

-1

-1

-1-31-1-1-1-31-1-1-1-3 将C 按第三行展开得：3

1

-1

-131

-11-3--=16 则生成树的个数为16.

4.40设T 和T ’为n 阶连通图G 的两个生成树。证明：存在G 的生成树序列T=T 0,T 1,……，

T k =T ’，使得对每个i )11(-≤≤k i ，i T 与1i T +有n-2条公共边。

证：由题意可知T 与T ’有k 条边不同，则'(')i e E T ?∈且'()i e E T ?,i=1,……k

T=T 0,，T 0+e 1’含有一个圈C 0，那么必定存在一条边e 1使得10()e E T ∈且1(')e E T ? 则T 0+e 1’-e 1=T 1是树；

归纳假设T i 时成立，1'(')i e E T +?∈且1'()i e E T +?

T i +e ’i+1含有一个圈C i ，则C i 必定含有一条边e i+1且1()i i e E T +∈，1(')i e E T +?

则111'i i i i T e e T ++++-=是树。

因而i T 与1i T +有n-2条公共边。