专题10 几何概型-2018年全国1卷理科数学高考题相似模拟题分类汇编解析版
专题10 几何概型
【母题来源一】【2018高考新课标1理数10】
【母题原题】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则
A. p1=p2
B. p1=p3
C. p2=p3
D. p1=p2+p3
【答案】A
点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果. 【母题来源二】【2017高考新课标1理数2】
【母题原题】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A．1
4
B．
8
π
C．
1
2
D．
4
π
【答案】B
【母题来源三】【2016高考新课标1理数4】
【母题原题】某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
（A）1
3
（B）
1
2
（C）
2
3
（D）
3
4
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不
超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201
402
=，选B.
【考点】几何概型
【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.
【命题意图】
(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.
(2)了解几何概型的意义.
【命题规律】
一、几何概型
1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．特点：(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布．
二、几何概型的概率公式：P(A)＝构成事件A的区域长度角度
试验全部结果所构成的区域长度角度【方法总结】
1P(A)＝
构成事件A
2、与体积有关的几何概型的公式：P(A)＝构成事件A的区域体积
试验全部结果所构成的区域体积
.
1．【安徽省六安市舒城中学2018届高三仿真（三）】甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设出甲，乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件，同时列出这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的约束条件，利用线性规划作出平面区域，再利用几何概型概率公式求出概率
【详解】
设甲船到达的时间为，乙船到达的时间为，
【点睛】
本题主要考查了建模，解模能力，解答的关键是利用线性规划作出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率。
2．【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为.则阴影区域的面积约为( )
A．B．C．D．无法计算
【答案】C
【解析】
【分析】
求出正方形的面积，利用几何概型可求阴影区域的面积.
【详解】
设阴影区域的面积为，，所以.
故选C.
【点睛】
本题考查几何概型的应用，属基础题.
3．【湖北省黄石市2018年高三五月适应性考试】一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为 ( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
则
则使取到的点到三个顶点的距离都大于的概率为：
故选
【点睛】
本题是一道关于几何概型的题目，解决几何概型问题时，首先分析基本事件的总体，再找所研究事件的区域，选择合适的度量方式，然后求出结果。
4．【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷（四）】如图所示，在椭圆内任取一
个点，则恰好取自椭圆的两个端点连线与椭圆围成阴影部分的概率为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
概率，
故选：A．
【点睛】
定积分的计算：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．
(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．