《特殊平行四边形》单元练习题(含答案)

第一章《特殊平行四边形》单元练习题

一．选择题（共10小题）

1．若菱形的两条对角线分别长8、6，则菱形的面积为( B)

A．48B．24C．14D．12

2．菱形的周长为20cm，两邻角的比为1:2，则较长的对角线长为( C)

A．4.5cm B．4cm C．D．

3．已知菱形OABC在下面直角坐标系中的位置如图所示，点(4,0)

A，60

∠=?，则点B

COA

的坐标为( D)

A．(4+，2)B．(6,2)C．(4+，D．(6，

4．在四边形ABCD中，//

=，添加下列条件不能推得四边形ABCD为菱形

AB CD，AB AD

的是( A)

A．AB CD

=

=D．AB BC =B．//

AD BC C．BC CD

5．矩形的边长是4cm，一条对角线的长是，则矩形的面积是( C)

A．2

32cm B．2C．2D．2

6．下列说法正确的有( A)

（1）一组对边相等的四边形是矩形；

（2）两条对角线相等的四边形是矩形；

（3）四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；

（4）四条边都相等的四边形是菱形．

A．1B．2C．3D．4

7．平行四边形的四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是( A) A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形

8．将一个正方形纸片放在平面直角坐标系中，已知(1,0)

D

A-，(1,1)

C，若绕点(0,0)

B-，(0,1)

顺时针旋转这个正方形，旋转角为135?，则旋转后点B的坐标B'为( C)

A．(1,1)B．(2,0)C．，0)D．(1,1)

-

9．如图，以Rt ABC

?的斜边BC为一边在ABC

?的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为

AB=，AO=，那么AC的长等于( A)

O，连接AO，如果3

A．5B．．6C．7D．8

10．如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，对角线

a b，则点P绕点E顺时针旋转90?

AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为(,)

得到的对应点P'的坐标是( D)

A．(,)

-D．(,0)

b

a b

b a C．(,0)

a b a

-B．(,)

二．填空题（共8小题）

11．如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，

=或OC，OD的中点，若要使四边形EFGH成为菱形，则ABCD应满足的条件是AB AD ⊥（写出一种即可）．

AC BD

12．如图，边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，菱形的面积为24．

13．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，且EC 平分BED ∠，1AB =，45ABE ∠=?，

则BC

14．如图，在ABCD 中，再添加一个条件 AC BD = （写出一个即可），ABCD 是矩形（图形中不再添加辅助线）

15．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是 矩形 ．

16．如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，5BC =，12AC =，M 为斜边AB 上一动点，过M 作MD AC ⊥，过M 作ME CB ⊥于点E ，则线段DE 的最小为

13

．

17．如图所示，直线经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过正方形的顶点B 、D 作BF a ⊥于点F ，DE a ⊥于点E ．若5DE =，3BF =，则EF 的长为 8 ．

18．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为(0,4)，B点在x轴上，对

角线AC，BD交于点M，OM=，则点C的坐标为(12,8)．

三．解答题（共8小题）

19．如图，在菱形ABCD中，DE AB

⊥，垂足为点E，且E为边AB的中点．

（1）求A

∠的度数；

（2）如果4

AB=，求对角线AC的长．

解：连接AC，BD

（1）四边形ABCD是菱形

AD AB

∴=

E是AB中点，DE AB

⊥

AD DB

∴=

AD DB AB

∴==

ADB

∴?是等边三角形

60

A

∴∠=?

（2）四边形ABCD是菱形

AC BD ∴⊥，

1

30

2

DAC DAB

∠=∠=?，AO CO

=，DO BO

=

4

==

AD BA

∴=，AO=

DO

2

AC

∴=

20．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作//

BD AB，并交AB的延长线相交于点E，则ACE

?是等腰三角形吗？请说明理由．

解：ACE

?是等腰三角形，理由如下：

四边形ABCD是矩形，

CD AB，

∴=，//

AC BD

即//

DC BE，

BD CE，

//

∴四边形DCEB是平行四边形，

∴=，

BD CE

∴=，

AC CE

∴?是等腰三角形．

ACE

21．如图1，ABD

?和BDC

?都是边长为1的等边三角形．

（1）四边形ABCD是菱形吗？为什么？

（2）如图2，将BDC ?沿射线BD 方向平移到△111B D C 的位置，则四边形11ABC D 是平行四边形吗？为什么？

（3）在BDC ?移动过程中，四边形11ABC D 有可能是矩形吗？如果是，请求出点B 移动的距离（写出过程）；如果不是，请说明理由（图3供操作时使用）． 解：（1）四边形ABCD 是菱形； 理由如下：

ABD ?和BDC ?都是边长为1的等边三角形． AB AD CD BC DB ∴====， AB AD CD BC ∴===， ∴四边形ABCD 是菱形；

（2）四边形11ABC D 是平行四边形． 理由：11160ABD C D B ∠=∠=? 11//AB C D ∴，

又

11AB C D =，

∴四边形11ABC D 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． （3）四边形11ABC D 有可能是矩形．

此时，1130D BC ∠=?，1190D C B ∠=?，111C D = 12BD ∴=，

又111B D =， 11BB ∴=，

即点B 移动的距离是1．

22．在ABC ?中，AD BC ⊥于点D ，点E 为AC 边的中点，过点A 作//AF BC ，交DE 的延长线于点F ，连接CF ．

（1）如图1，求证：四边形ADCF 是矩形；

（2）如图2，当AB AC =时，取AB 的中点G ，连接DG 、EG ，在不添加任何辅助线和字

母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形)ADCF ．

（1）证明：

//AF BC ，

AFE EDC ∴∠=∠，

E 是AC 中点， AE EC ∴=，

在AEF ?和CED ?中， AFE CDE AEF CED AE EC ∠=∠??

∠=∠??=?

， AEF CED ∴???，

EF DE ∴=，AE EC =，

∴四边形ADCF 是平行四边形，

AD BC ⊥， 90ADC ∴∠=?， ∴四边形ADCF 是矩形．

（2）线段DG 、线段GE 、线段DE 都是ABC ?的中位线，又//AF BC ， //AB DE ∴，//DG AC ，//EG BC ，

∴四边形ABDF 、四边形AGEF 、四边形GBDE 、四边形AGDE 、四边形GDCE 都是平行

四边形．

23．已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若CAD DBC ∠=∠． （1）求证：四边形ABCD 是正方形．

（2）E 是OB 上一点，DH CE ⊥，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OE OF =．

（1）证明：四边形ABCD 是菱形，

//AD BC ∴，2BAD DAC ∠=∠，2ABC DBC ∠=∠， 180BAD ABC ∴∠+∠=?， CAD DBC ∠=∠， BAD ABC ∴∠=∠，

2180BAD ∴∠=?，90BAD ∴∠=?， ∴四边形ABCD 是正方形；

（2）证明：四边形ABCD 是正方形， AC BD ∴⊥，AC BD =，12CO AC =

，1

2

DO BO =， 90COB DOC ∴∠=∠=?，CO DO =， DH CE ⊥，垂足为H ，

90DHE ∴∠=?，90EDH DEH ∠+∠=?， 90ECO DEH ∠+∠=?， ECO EDH ∴∠=∠，

在ECO ?和FDO ?中，90ECO EDH

CO DO COE DHE ∠=∠??

=??∠=∠=??

，

()ECO FDO ASA ∴???， OE OF ∴=．

24．如图，点M 是正方形ABCD 的边BC 上一点，连接AM ，点E 是线段AM 上一点，CDE ∠的平分线交AM 延长线于点F ．

（1）如图1，若点E 为线段AM 的中点，:1:2BM CM =

，BE =AB 的长；

（2）如图2，若DA DE =，求证：BF DF +=．

解：（1）设BM x =，则2CM x =，3BC x =， BA BC =，3BA x ∴=．

在Rt ABM ?中，E 为斜边AM 中点，

2AM BE ∴==．

由勾股定理可得222AM MB AB =+， 即22409x x =+，解得2x =． 36AB x ∴==．

（2）延长FD 交过点A 作垂直于AF 的直线于H 点，过点D 作DP AF ⊥于P 点． DF 平分CDE ∠， 12∴∠=∠．

DE DA =，DP AF ⊥ 34∴∠=∠．

123490∠+∠+∠+∠=?， 2345∴∠+∠=?． 904545DFP ∴∠=?-?=?．

AH AF ∴=．

90BAF DAF ∠+∠=?，90HAD DAF ∠+∠=?，

BAF DAH ∴∠=∠．

又AB AD =，

()ABF ADH SAS ∴???．

AF AH ∴=，BF DH =． Rt FAH ?是等腰直角三角形，

∴=．

HF AF

=+=+，HF DH DF BF DF

∴+=．

BF DF