2018小学数学奥林匹克试题和解答

2018届小学数学奥林匹克竞赛初赛

1.计算：

= 。

2.1到1989这些自然数中的所有数字之和是。

3.把若干个自然数，2，3，……乘到一起，如果已知这个乘积的最末13位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是。

4.在1，，，，，…，，中选出若干个数，使它们的和大于3，至少要选个数。

5.在右边的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，那么

D+G= 。

6.如图，ABFD和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米。

7.甲乙两包糖的重量比是4：1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲乙两包糖的重量比变为7:5，那么两包糖重量的总和是克。

8.设1，3，9，27，81，243是六个给定的数，从这六个数中每次或者取一个，或者取几个不同的数求和（每个数只能取一次），可以得到一个新数，这样共得到63个新数。如果把它们从小到大依次排列起来是1，3，4，9，12……那么第60个数是。

9.有甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速度从A地开往B地，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙。甲比乙又晚出发20分钟，出发后1小时40分追上丙，那么甲出发后需

用分钟才能追上乙。

10.有一个俱乐部，里面的成员可以分成两类，第一类是老实人，永远说真话；第二类是骗子，永远说假话。某天俱乐部全体成员围着一张圆桌坐下，每个老实人的两旁都是骗子，每个骗子的两旁都是老实人。记者问俱乐部成员张三：俱乐部共有多少成员？张三回答：有45人。李四说：张三是老实人。那么张三是老实人还是骗子？张三是。

11.某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天完成；如果由第二、四、五小队合干4天完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成。那么这五个小队一起合干需要天才能完成这项工程。

12把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是。

13.把自然数1，2，3，……，998，999分成三组，如果每一组数的平均数恰好相等地，那么这三个平均数的和是。

14.某种商品的价格是：每一个1分钱，每五个4分钱，每九个7分钱。小赵的钱至多能买50个，小李的钱至多能买500个。小李的钱比小赵的钱多分钱。

15.一个自行车选手在相距950千米的甲、乙两地之间训练，从甲地出发，去时每90千米休息一次；到达乙地并休息一天后再沿原路返回，每100千米休息一次。他发现恰好有一个休息的地点与去时的一个休息地点相同，那么这个休息地点距甲地有千米。

16.现有四个自然数，它们的和是1111，如果要求这四个数的公约数尽可能地大，那么这四个数的公约数最大可能是。

17.桌面上有一条长度为100厘米的红色直线，另外有直径分别是2、3、7、15厘米的圆形纸片若干个，现在用这些圆形纸片将桌上的红线盖住，如果要使所用纸片的圆周长总和最短，那么这个周长总和是。

18.右图是一个边长为2厘米的正方体，在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小

洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是平方厘米。

19.小明在左衣袋和右衣袋中分别装有6枚和8枚硬币，并且两衣袋中硬币的总钱数相等，当任意从左边衣袋取出两个硬币和右边衣袋的任意两个硬币交换时，左边衣袋的总钱数要么比原来的钱数多二分，要么比原来钱数少二分。那么两个衣袋中共有钱。

20.从1，3，5，7，…97，99中最多可以选出个数，使它们当中的每一个数都不是另一个数的倍数。

参考答案：

1.【解】将1～1989中的每个数看成“四位数”，位数不够的前面补“0”，从0000～1999，所有数的数字之和是(0十1＋2十…＋9)×300×2＋1×1000

＝45×600＋1OOO

＝28000

而从1990～1999中的所有数的数字之和为

1×10＋9×2×10十(0＋1＋ (9)

＝10十180＋45

＝235

从而，所求所有数字之和为28000—235＝27765

2.【解】l×2×…×50中有10＋2＝12(个)因数5(在25、50中，因数5各出现2次，在5

的其它倍数中各出现一次)

于是，l×2×…×55的末尾有13个0，且55为最小的这样的数，

即最后出现的自然数最小为55

3.【解】首先A＝1，B＝0，E＝9。再由十位的运算可知F＝8，从而C＝7，并且10＋D－G＝8即G－D＝2，G可能为6，5，4，相应地，D为4、3、2。于是D＋G＝10、8、6

4.【解】阴影部分的面积和

＝100×3—144－2×42

＝72(平方厘米)

5.【解】两包糖重量的总和是

10÷()

＝10÷

＝ (克)

6.【解】根据题意，丙行50分钟的路程乙只需40分钟，所以∶＝

4∶5；丙行130分钟的路程。甲只需100分钟，∶＝10∶13

从而∶＝26∶25

因为乙早出发加分钟，所以甲出发后追上乙所花的时间为

25×20÷(26－25)＝500(分钟)．

7.【解】张三是骗子因为骗子与老实人是相间地围着圆桌坐的，所以两者人数相等，俱乐部的人数必定是偶数，张三讲的是假话，他是骗子.

8.【解】设原来的两位数为，则交换十位数字与个位数字后的两位数为，两个数的和为

＋＝10x＋y＋10y＋x＝11×(x＋y)

是11的倍数，因为它是平方数,所以也是11×11＝121的倍数.但这个和＜100＋100＝200＜121×2，所以这个和数为121。

9.【解】小赵的钱至多能买50个，而50＝9×5十5×1

因此，小赵有7×5＋4×1＝39(分)

小李的钱至多能买500个。而

500＝9×55＋5×1

因此，小李有7×55＋4×1＝389(分）

于是小李比小赵多389－39＝350(分)

10.【解】设这个休息地距甲地有a公里，显然a为90的倍数．且a－50

为100的倍数，此时a就只能为450.

从而这个休息地距甲地有450公里.

11.【解】这些圆纸片的直径的和≥100．所以它们的周长的和≥lOOπ≈314(厘米)

另一方面，这些圆可以恰好将长为lOO厘米的红线盖住(例如用10个7厘米，2个15厘米的圆，或50个2厘米的圆).

因此,圆周长总和最短时，这个周长总和是314厘米．

12.【解】2×2×6＋l×l×4＋××4＋××4

＝29.25(平方厘米)

13.【解】原式＝

＝1－(1－)－（）－（）－…－（）

＝1－（）

＝1－（1－）

＝

14.【解】

＝2＋＜2＋×4＝3

＝2＋＋＋(＋)＋(＋)＜2＋＋＋

＋＝3

＝2＋＋＋＋

＝2＋＋(＋)＋(＋)＋(＋＋)＞2＋＋＋＋＋＋＝3＋

(＋)－＞3

所以至少要选11个数

15.【解】最大的(即第63个数)是

1＋3＋9＋27＋81＋243＝364

第60个数(倒数第4个数)是

364－1－3＝360.

16.【解】1÷[(＋＋×2＋)÷3]＝4(天)．’

即5个小队合干需要4天.

【注】第二、四、五3个小队合干也只需要4天，所以在本题中第一、三这2个小队实际上没有人干活，这是不符合实际的。命题者考虑不够周到．

17.【解】若设每一组的平均数均为a

别总和为999a＝

a＝500

500×3＝1500

从而这三组平均教的和为1500.

18.【解】这4个数的公约数必为1111的约数，

而1111＝11×101

又11＝1十2＋3＋5

所以，101，2×101，3×101,15×101的和为1111，且最大公约数为101

因此，这四个数的公约数最大是101

19.【解】设右边衣袋的硬币“、比左边的、多2分.右边的、比左边的、

少2分，于是这8枚硬币的钱数正好相等.

由于两边钱数相等，所以左边剩下的、比右边的、多2分，比，右边的、

也多2分，从而、的钱数是2分，、的钱数也是2分，而、的钱数是4分.

由于左边的两枚硬币可以任意选取，而且不可能比2分钱少2分，所以左边每两枚的钱数是4分，左边6枚共12分，两个衣袋共有24分钱.

20.【解】35，37，…，99这33个数中，每一个数都不是另一个数的倍数(因为35×3＞99).

另一方面，将1，3，5，…，99这50个数，每一个都写成·t的形式．其中α是0或自然数，t是不能被3整除的自然数，由于1，3，…，99中有17个数是3的倍数，剩下 50－17＝33

不是3的倍数，所以t的值只有33种.于是从1，3，5，…，99中任取34个数，其中必有两个数的t相同，从而一个数是另一个数的倍数.

因此答案是33.

1989小学数学奥林匹克试题决赛

1．计算：

2．某水池可以用甲、乙两个水管注水．单放甲管需12小时注满，单放乙管需24小时注满．现在要求10小时注满水池，并且甲乙两管合放的时间尽可能地少，那么甲乙两管合放最少需________小时．

3．有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上：

那么，这10张纸片所盖住桌面上的面积是_________平方厘米．

4．用圆圈列出的10个数按时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如

，如图所示，那么在所有这种数中最大的一个是__________．

5．有一列数1，1989，1988，1987，…，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，那么第1989个数是__________．

6．甲乙两地之间有一条公路，李明从甲地出发步行往乙地；同时张平从乙地出发骑摩托车往甲地．80分钟后两人在途中相遇，张平到达甲地后，马上折回往乙地，在第一次相遇后又经过20分钟张平在途中追上李明．张平到达乙地后又马上折回往甲地，这样一直下去，当李明到达乙地时，张平追上李明的次数是__________次．

7．图（a）是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径．让A点不动，把整个半圆逆时针转60°角，此时B点移动到>点，见图（b），那么图中阴影部分的面积是_________平方厘米．（π＝3.14）

8．有4个不同的自然数，它们当中任意两个的和是2的倍数；任意3个数的和是3的倍数，为了使得这4个数的和尽可能小，这4个数分别是__________．

9．在桌面上放置3个两两重迭、形状相同的圆形纸片．它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米．那么图中3个阴影部分的面积和是_________平方厘米．

10．图中，把正方体的6个表面都分成9个相等的正方形．现在用红、黄、蓝3种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形颜色不同．那么用红色染成的正方形的个数最多是

__________个．

11．A、B、C、D、E5个人参加乒乓球赛，每两人都要赛一盘，并且只赛一盘．规定胜者得2分，负者得0分．现在知道比赛结果是：A和B并列第一名，C是第二名，D和E并列第四名，那么C的得分是__________分．

12．从1，2，3，4，…，1988，1989这些自然数中。最多可以取__________个数，其中每两个数的差不等于4．

13．在长260厘米，宽150厘米的台球桌上，有A，B，C，D，E，F，6个球袋，其中AB＝EF ＝130厘米．现在从A处沿45°方向打出一球，如图所示，碰到桌边后又沿45方向弹出，当再碰到桌边时，仍沿45方向弹出，如此继续下去，直到落入某个袋中为止．那么它将落入

__________袋中．

14．将14个互不相同的自然数，从小到大依次排成一列，已知其总和为170，如果去掉最大的数和最小的数那么剩下的数的总和为150，在原来已排成的次序中第二个数是__________．15．将自然数1，2，3，…依次写下去组成一个数：123456789101112113…，如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是__________．

参考答案：

1.【解】原式＝×[×(4.85＋6.15)－3.6]＋[5.5－×]

＝×3.6×(11－1)＋11×(0.5－)

＝9＋

＝10

2.【解】(小时)．

3.【解】第一张纸片盖住的面积是3×2＝6(平方厘米)后而每增加一张(纸片)．多盖

(3-2)×2＝2(平方厘米)．

于是，这10张纸片盖住桌面上的面积是

6＋2×9：24(平方厘米)

4.【解】最大的是

5.【解】数列1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，…中每隔3个数有一个1，去掉1以后，每个数比前一个少1.

1989÷3＝663，

所以第1989个数是1989－663×2＋1＝664.

6.【解】假设李明20分钟行走1份，则李明80分钟走4份，于是，张平在20分钟内可行驶

4×2＋1＝9(份)

即李明与张平的速度比为1∶9

由此，当李明从甲走到乙时张明从乙到甲，从甲到乙，…，共走了9次

于是，张平共追上李明

(9－1)÷2＝4(次)

7.【解】阴影部分的面积等于全部图形的面积减去一个直径为3厘米的

半圆的面积，从而等于一个半径为3厘米的圆的面积的．即

×π×＝{×3.14×9－4.71(平方厘米)

8.【解】任两个数的和是2的倍数，所以这些数的奇偶性相同

任三个数的和是3的倍数，所以这些数除以3，所得余数必定相同(否则在三个数的和中换一个数，和将不是3的倍数)

于是，这些数除以6所得余数相同。和最小的四个数是1，7(＝1＋6)，13(＝7＋6)，19＝(13＋6).

9.【解】阴影部分的面积和

＝100×3－144 2×42

＝72(平方厘米)

10.【解】最多是22个．

将图中三个面上打点的方格染红，打×的方格染黄，其余的染蓝，它们的对面也同样地涂色，这样就有

(5＋4＋2)×2＝22

个方格染红，而且有公共边的正方形颜色不同

【注】要证明红色的正方形不能超过22个，需要用枚举法，将正方体切成三层，上面一层只有一种方式使红色的方格超过8个，即图2．

中央一层最多可染6个红色方格，即图3。但上一层红色方格有9个时，中央一层只能染4个红色方格，所以红色方格的总数≤9＋4＋9或8＋6＋8．

即不超过22个．

11.【解】每个人的得分都是偶数，D、E二人比赛时，胜者得2分，所以D、E的得分至少是2,C的得分至少是4，如果C的得分大于4，那么A、B的得分大于6，五人总分大于2×2＋4＋6×2＝20

但五个人共赛

5×4÷2＝10

盘，总得分为

10×2＝20

因此，C的得分只能是4(这时A、B各得6分).

12.【解】将1～1989排成四个数列：

1，5，9，…，1985，1989

2，6，10，…，1986

3，7，11．…，1987

4，8，12，…，1988

每个数列相邻两项的差是4，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于4，每个数列中不能取相邻的项，因此，第一个数列只能取出一半，因为它有(1989－1)÷4＋1＝498项，所以最多取出249(＝498÷2)项，例如1，9，13，…，1985.同样，后三个数列每个最多可取249项，因而最多取出

249×4＝996

个数，其中每两个的差不等于4.

13.【解】将每个点用一对坐标表示．前一个是这点到FA的距离，后一个

是这点到FD的距离，于是A的坐标是(0，150)，球经过的路线如下：

(0，l50)→(150，0)→(260，110)→(220，150)→(70，0)→(0，70)→(80，

150)→(230,0)→(260，30)→(140，150)→(0,10)→(10，0)→(160，150)→

(260,50)→(210，0)→(60，150)→(0，90)→(90，0)→(240，150)→(260，130)

一(130，0)

因此，该球最后落入E袋

14.【解】由题意可知最大数与最小数之和为20。若20分成1＋19，即最小数为1，最大数

为19．只有当其余12个数为7、8、9…18时，其和才为150（＝），此时原来排成的次序中第二个数为7

若20分成2＋18，即最小的数为2，最大的数为18，其余12个数的和最大只能为138(＝

)与题意不符。同理其余情形也不合题意。

故在原来已排成的次序中第二个数为7。

15.【解】注意到能被72整除的数必能被8和9整除。从而数字和为9的倍数，且末三位构成的数为8的倍数。于是可得这个自然数为36[536被8整除。(1十2＋3＋…＋9)×(1＋1十1)＋1×9十1＋2×9＋2＋3×7十1＋2＋3＋4＋5＋6被9整除]