初二数学经典题型(含答案)
初二数学经典题型
1．已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150
．求证：△PBC 是正三角形．
2.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN
＝∠F ．
3、如图，分别以△ABC
的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边
AB 的距离等于AB 的一半．
4、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．
为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC=3a 正方形的边长．
A
N
F E C
D
M
B
A P
C
D
B
6.如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB . （1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ； （2）设AP =x , △PBE 的面积为y .
① 求出
y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.
答案
1、证明如下。
首先，PA=PD ，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。
在正方形ABCD 之外以AD 为底边作正三角形ADQ ， 连接PQ ， 则
∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD ，所以△PAQ ≌△PDQ ， 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA 中，
∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB ，于是PQ=AQ=AB ， 显然△PAQ ≌△PAB ，得∠PBA=∠PQA=30°，
PB=PQ=AB=BC ，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC 是正三角形。
2、证明:连接AC,并取AC 的中点G,连接GF,GM.
又点N 为CD 的中点,则GN=AD/2;GN ∥AD,∠GNM=∠DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM ∥BC,∠GMN=∠CFN;(2)
又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN.
3、证明：分别过E 、C 、F 作直线AB 的垂线，垂足分别为M 、O 、N ，
F
在梯形MEFN 中，WE 平行NF 因为P 为EF 中点，PQ 平行于两底 所以PQ 为梯形MEFN 中位线， 所以PQ ＝（ME ＋NF ）/2
又因为，角0CB ＋角OBC ＝90°＝角NBF ＋角CBO 所以角OCB=角NBF 而角C0B ＝角Rt ＝角BNF CB=BF
所以△OCB 全等于△NBF △MEA 全等于△OAC （同理） 所以EM ＝AO ，0B ＝NF 所以PQ=AB/2.
4、过点P 作DA 的平行线，过点A 作DP 的平行线，两者相交于点E ；连接BE
因为DP 解：（1）证法一：
① ∵ 四边形ABCD 是正方形，AC 为对角线， ∴ BC=DC , ∠BCP =∠DCP=45°. ∵ PC =PC ，
∴ △PBC ≌△PDC （SAS ）. ∴ PB = PD ， ∠PBC =∠PDC . 又∵ PB = PE ，
∴ PE =PD .
② （i ）当点E 在线段BC 上(E 与B 、C 不重合)时， ∵ PB =PE ， ∴ ∠PBE =∠PEB ， ∴ ∠PEB =∠PDC ，
∴ ∠PEB +∠PEC =∠PDC +∠PEC =180°， ∴ ∠DPE =360°-(∠BCD +∠PDC +∠PEC )=90°， ∴ PE ⊥PD . ）
A B
C D
P
E
1
2
H
（ii ）当点E 与点C 重合时，点P 恰好在AC 中点处，此时，PE ⊥PD . （iii ）当点E 在BC 的延长线上时，如图. ∵ ∠PEC =∠PDC ，∠1=∠2， ∴ ∠DPE =∠DCE =90°， ∴ PE ⊥PD .
综合（i ）（ii ）（iii ）, PE ⊥PD .
（2）① 过点P 作PF ⊥BC ，垂足为F ，则BF =FE . ∵ AP =x ，AC =2， ∴ PC =2- x ，PF =FC =x x 2
2
1)2(22-=-. BF =FE =1-FC =1-(x 2
2
1-)=x 22. ∴ S △PBE =BF ·PF =
x 22(x 2
2
1-)x x 22212+-=. 即 x x y 22
212+-= (0＜x ＜2).
② 41
)22(21222122+--=+-=x x x y .
∵ 2
1
-=a ＜0，
∴ 当22=x 时，y 最大值4
1
=.
（1）证法二：① 过点P 作GF ∥AB ，分别交AD 、BC 于G 、F . 如图所示. ∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴ 四边形ABFG 和四边形GFCD 都是矩形，
△AGP 和△PFC 都是等腰直角三角形.
∴ GD=FC =FP ，GP=AG =BF ，∠PGD =∠PFE =90°. 又∵ PB =PE ，
∴ BF =FE ， ∴ GP =FE ，
∴ △EFP ≌△PGD （SAS ）. ∴ PE =PD .
A
B C
P
D
E
F A
B
C
P
D
E
F G
1
2
3
② ∴ ∠1=∠2.
∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°. ∴ ∠DPE =90°.
∴ PE ⊥PD . （2）①∵ AP =x ， ∴ BF =PG =x 22，PF =1-x 2
2.
∴ S △PBE =BF ·PF =
x 22(x 2
21-)x x 22212+-=. 即 x x y 22
212+-= (0＜x ＜2).
② 41
)22(21222122+--=+-=x x x y .
∵ 2
1
-=a ＜0，
∴ 当22=
x 时，y 最大值4
1=.
26．（本小题满分8分）
如图1，在四边形ABCD 中，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，则BME CNE ∠=∠（不需证明）．
（温馨提示：在图1中，连结BD ，取BD 的中点H ，连结HE HF 、，根据三角形中位线定理，证明HE HF =，从而12∠=∠，再利用平行线性质，可证得BME CNE ∠=∠．）
问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF ，分别交DC AB 、于点M N 、，判断OMN △的形状，请直接写出结论．
问题二：如图3，在ABC △中，AC AB >，D 点在AC 上，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60EFC ∠=°，连结GD ，判断AGD △的形状并证明．
A
C B D
F E N
M O E
B
C D
H A F N M 1 2
图1
图2
图3
A
B
C
D
F G E
26．（1）等腰三角形 ···························· 1分 （2）判断出直角三角形 ·························· 1分 证明：如图连结BD ，取BD 的中点H ，连结HF HE 、， ··········· 1分
F 是AD 的中点，
HF AB ∴∥，1
2
HF AB =
， 13∴∠=∠．
同理，1
2
HE CD HE CD =
∥，， 2EFC ∴∠=∠．
AB CD =，
∴HF HE =，
12∴∠=∠．
······························· 1分 60EFC ∠=°，
360EFC AFG ∴∠=∠=∠=°，
AGF ∴△是等边三角形． ························· 2分 AF FD =，
GF FD ∴=，
30FGD FDG ∴∠=∠=°
90AGD ∴∠=°
即AGD △是直角三角形． ························· 2分
A B
C
D F G H
E
1 2
3