用一元二次方程解决动态几何问题

例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2

变式训练一：几秒钟后，若△PQD的面积等于8cm2呢

…

变式训练二：当点Q运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，试求△PQD的面积

S与P、Q两个点运动的时间t之间的函数关系式。

动态几何找等量关系的基本思路：

(

1、若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式；

2、如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式。

例1 在矩形ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点P 从点A 开始以1cm/s 的速度沿AB 边向点B 移动,点Q 从点B 开始以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 移动,如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后⊿ PBQ 的面积等于8cm2

：

例2：等腰直角⊿ ABC 中,AB=BC=8cm,动点P 从A 点出发,沿AB 向B 移动,通过点P 引平行于BC,AC 的直线与AC,BC 分别交于R 、Q.当AP 等于多少厘米时,平行四边形PQCR 的面积等于16cm2

例3：⊿ABC 中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD ⊥ AB,垂足为D,CD=2,P 是AB 上的一动点(不与A,B 重合),且AP=x,过点P 作直线l 与AB 垂直.

i)设⊿ ABC 位于直线l 左侧部分的面积为S,写出S 与x 之间的函数关系式; ii)当x 为何值时,直线l 平分⊿ ABC 的面积

1已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形

ACDB．取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过E作EF丄CD，垂足为F

点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，則AE的长为

！

2如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2，那么矩形ABCD的面积是

3如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于

4如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为l

D B

5一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE为多少米时，有DC2=AE2+BC2．

例2 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．

（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；

（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．

{

1如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD 边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P．

（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由；

（2）再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2 cm若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．

2如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒．

（1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度；

（2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；

（3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．

3如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场ABCD的顶点B、C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min；若正方形广场的周长为40km，问几分钟后，两人相距210km

4如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，当点P到达B点或点Q到达C点时，两点停止移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，t秒钟后，

（1）求出△PBQ的面积；

（2）当△PBQ的面积等于8平方厘米时，求t的值．

（3）是否存在△PBQ的面积等于10平方厘米，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．

5、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2cm/s 的速度移动（不与B 点重合），动直线QD 从AB 开始以2cm/s 速度向上平行移动，并且分别与BC 、AC 交于Q 、D 点，连结DP ，设动点P 与动直线QD 同时出发，运动时间为t 秒，！

（1）试判断四边形BPDQ 是什么特殊的四边形如果P 点的速度是以1cm/s ，则四边形BPDQ 还会是梯形吗那又是什么特殊的四边形呢

（2）求t 为何值时，四边形BPDQ 的面积最大，最大面积是多少

￥

6、如图，A 、B 、C 、

D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止；点Q 以2cm/s 的速度向点B 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm

。

7、如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t 秒，（1）当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似

（2）当t 为何值时，△APQ 的面积为524

个平方单位

C A B Q

D … ↑ O Q

B D A C

例3、有一边为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰三角形PQR 以1cm/s 的速度沿直线l 按箭头方向匀速运动，（1）t 秒后正方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分的面积为5，求时间t ；（2）当正方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分的面积为7，求时间t ；

例4、如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P 为x 轴上的—个动点，点P 不与点0、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ，(1)求点B 的坐标；(2)当点P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标；(3)当点P 运动什么位置时，使得∠C PD=∠OAB， , 且

BD BA ，求这时点P 的坐标；

：

1、在等腰梯形ABCD 中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E 在下底边BC 上，点F 在腰AB 上. （1）若EF 平分等腰梯形ABCD 的周长，设BE 长为x ，试用含x 的代数式表示△BEF 的面积；

（2）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两部分若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；

y P

B Q R A ] D

2、如图，直角坐标系中，已知点A （2，4），B （5，0），动点P 从B 点出发沿BO 向终点O 运动，动点Q 从A 点出发沿AB 向终点B 运动．两点同时出发，速度均为每秒1

)

（1）Q 点的坐标为（

，）；（用含x （2）当x 为何值时，△APQ 是一个以AP 为腰的等腰三角形(3)记PQ 的中点为G ．请你探求点G 随点P ，Q 并说明理由；

3、如图，机器人在点A 处发现一个小球自点B 处沿x 轴向原点方向匀速滚来，机器人立即从A 处匀速直线前进去

截小球．点A 的坐标为（2，5），点B 的坐标为（10，0），

（1）若小球滚动速度与机器人的行驶速度相等，问机器人最快可在何处截到小球（2

4如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6米，BC ＝8米，动点P 以2米/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点

Q 以1米/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，设P 、Q 两点移动t 秒（0

,（1）求面积S 与时间t 的关系式；（2）在P 、Q 两点移动的过程中，四边形ABQP 与△CPQ 的面积能否相等若能，求出此时点P 的位置；若不能，请说明理由；

5、如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC 和EFG 叠放在一起（点A 与点E 重合），已知AC=8cm ，BC=6cm ，

∠C=90°，EG=4cm ，∠EGF=90°，O 是ΔEFG 斜边上的中点，如图②，若整个ΔEFG 从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB 方向平移，在ΔEFG 平移的同时，点P 从ΔEFG 的顶点G 出发，以1cm/s 的速度在直角边GF 上向点F 运动，当点P 到达点F 时，点P 停止运动，ΔEFG 也随之停止平移，设运动时间为x(s)，FG 的延长线交AC 于H ，

四边形OAHP 的面积为y （cm 2

）（不考虑点P 与G 、F 重合的情况），（1）当x 为何值时，OP//AC

（2）求y 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围；（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP 面积与ΔABC 面积的比为 13：24若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由；

（参考数据：，

，或，，25.205.436.194.413456116132251151299611422222===== 16.216.42=）