天津理工大学概率论与数理统计第六章习题答案详解

49

第六章 数理统计的基本概念

一.填空题

1.若n ξξξ,,,21 是取自正态总体),(2σμN 的样本，

则∑==n

i i n 11ξ服从分布 )n ,

(N 2

σμ . 2.样本),,,(n X X X 21来自总体),(~2

σμN X 则~)(22

1n S n σ

- )(1χ2-n ； ~)(n S n X μ- _)(1-n t __。其中X 为样本均值，∑=--=n i n X X n S 122

11)(。

3.设4321X X X X ,,,是来自正态总体).(220N 的简单随机样本，

+-=221)2(X X a X 243)43(X X b -，则当=a 20

1=a 时，=b 1001=b

时，统计量X 服从2

X 分布，其自由度为 2 .

4. 设随机变量ξ与η相互独立, 且都服从正态分布(0,9)N , 而129(,,,)

x x x 和

129(,,,)y y y 是分别来自总体ξ和η的简单随机样本, 则统计量

~U = (9)t .

5. 设~(0,16),~(0,9),,X N Y N X Y 相互独立, 129,,,X X X 与1216

,,,Y Y Y 分别 为X 与Y 的一个简单随机样本,

则22

2

129222

1216

X X X Y Y Y ++++++ 服从的分布为 (9,16).F

6. 设随机变量~(0,1)X N , 随机变量2~()Y n χ, 且随机变量X 与Y 相互独立,

令T =, 则2~T F (1,n ) 分布.

解：

由T =, 得22

X T Y n =. 因为随机变量~(0,1)X N , 所以22~(1).X χ

再由随机变量X 与Y 相互独立, 根据F 分布的构造, 得22

~(1,).X T F n Y n

=

50

7. 设12,,,n X X X 是总体(0,1)N 的样本, 则统计量2

2

21

11n k k X n X =-∑服从的分布为

(1,1)F n - (需写出分布的自由度).

解：由~(0,1),1,2,,i X N i n = 知22

221

2

~(1),~(1)n

k k X X n χχ=-∑, 于是

221

22

211(1)

1~(1,1)./1

1n k

n k k k X

n X F n X n X ==-=--∑∑

8. 总体2

1234~(1,2),,,,X N X X X X 为总体X 的一个样本, 设2

122

34()()

X X Z X X -=-服 从 F (1,1) 分布(说明自由度)

解：由212~(0,2)X X N σ+,

有2

2

~(1)χ, 又 2

34~(0,2)X X N σ-,

故2

2

~(1),χ

因为2

与2

独立,

所以2

1234~(1,1).X X F X X ??

+ ?-??

9.判断下列命题的正确性：( 在圆括号内填上“ 错” 或“ 对”)

(1) 若 总 体 的 平 均 值 μ与 总 体 方 差 σ2 都 存 在 ， 则 样 本 平 均 值 x 是 μ 的 一 致 估 计。 ( 对 )

(2) 若 0≠-θθ

)?(E 则 称 θ为 θ 的 渐 近 无 偏 估 计 量 .( 错 )

(3) 设总体X 的期望E(X)，方差D(X)均存在，21x x , 是X 的一个样本 ，

则统计量213

2

31x x +是 E(X) 的无偏估计量。 ( 对 )

(4) 若 θθθ

==)?()?(2

1

E E 且 )?()?(2

1

θθD D <则 以 θ2估 计 θ 较 以

θ1估 计 θ 有 效 。 ( 错 )

51

(5) 设 θn 为θ 的估计量，对任意ε > 0，如果0=≥-∞

→}|?{|lim εθθn

n P 则称 θn 是θ 的一致估计量 。 ( 对 )

（6）样本方差()

∑=--=n i i

n X X n D 1

211是总体),(~2

σμN X 中σ2 的无偏 估计量。()

2

1

1∑=-=n

i i X X n D *

是总体X 中σ2的有偏估计。 （ 对 ）

10.设321X X X ,,是取自总体X 的一个样本，则下面三个均值估计量

321332123211121

4331?,1254131?,2110351?X X X u

X X X u X X X -+=++=++=μ都

是总体均值的无偏估计，其中方差越小越有效，则 2?μ

最有效.

二、选择题

1、设总体ξ服从正态分布),(2

σN N ，其中μ已知，σ未知，321,,ξξξ是取自总体ξ的一个样本，则非统计量是( D ).

A 、)(3

1

321ξξξ++ B 、μξξ221++ C 、),,max (321ξξξ

D 、

)(1

2322212

ξξξσ

++

2、设n ξξξ ,,21是来自正态总体),(2

σμN 的简单随机样本∑=--=n

i i n S 1

221

)(11ξξ，∑=-=n i i n S 1222)(1ξξ，∑=--=n i i n S 1223)(11μξ，∑=-=n i i n S 122

4)(1μξ，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是( B ).

A 、1/1--n S μξ

B 、1/2--n S μξ

C 、n

S /3μξ- D 、n S /4μξ-

3、设)2,1(~2

N ξ，n ξξξ ,,21为ξ的样本，则( C ).

A 、

)1,0(~2

1

N -ξ

B 、

)1.0(~41

N -ξ

C 、)1,0(~/21N n -ξ

D 、

)1,0(~/21

N n

-ξ 4、设n ξξξ ,,21是总体)1,0(~N ξ的样本，S ,ξ分别是样本的均值和样本标准差，

则有( C )

A 、)1,0(~N n ξ

B 、)1,0(~N ξ

C 、

∑=n

i i

n x 1

22)(~ξ

D 、)1(~/-n t S ξ

52

X X X n 12,, ,X 均 值， 则 下 述 结 论 不 成 立 的 是 ( C )。 ( A ) X 与

(?)X

X i

i n

-=∑21

独 立

( B )X i 与X j 独 立 ( 当 j i

≠ ) ( C )

X i i n

=∑1

与X i i n 2

1

=∑ 独 立

( D )X i 与X j 2

独 立 ( 当 j i

≠)

6. 设 1n 21X , ,X ,X ， 来自总体2n 212

11Y ,,Y ,Y ),,(N ~X

,X σμ 来自总

体Y ￡, ),(N ~Y

222

σμ

， 且 X 与 Y 独 立。∑∑====2

1n 1

i ,i 2

n 1i ,i 1,Y n 1

Y ,X n 1X

∑∑==-=-=212

11

n 1

i 2,i 2

2

n 2n 1i 2,i 12

n 1,)Y Y (n 1S ,)X X (n 1S

则如下结论中错误的是 ( D )。 ( A ) )1,0(N ~n n )]

()Y X [(222

12

121σ+σμ-μ--=ξ-

( B ) )1n ,1n (F ~S S )1n (n )1n (n 212n

22

n 1212212212

1

--?σσ?--=η

( C ) )2n n (~S n S n 212222n 22212n 112

1

-+χσ+

σ=

ζ

( D ) )2n n (t ~2n n 2121-+ζ

ξ

?-+=

ρ 7. 设n X X X ,,21是取自总体),0(2

σN 的样本，则可以作为2σ的无偏估计量是

( A ).

A 、∑=n i i X n 12

1

B 、∑=-n i i X n 12

11

C 、∑=n

i i X n 1

1

D 、∑=-n

i i X n 1

11

8. 3、设321,,X X X 是来自母体X 的容量为3的样本，32112

1

10351?X X X ++=μ

，32121254131?X X X ++=μ

，32132

16131?X X X ++=μ，则下列说法正确的是( B ). A 、321?,?,?μμμ

都是)(X E =μ的无偏估计且有效性顺序为321???μμμ>> B 、321?,?,?μμμ

都是)(X E =μ的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为312???μμμ

>> C 、321?,?,?μμμ

都是)(X E =μ的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为123???μμμ

>> D 、321?,?,?μμμ

不全是)(X E =μ的无偏估计，无法比

53

三. 计算题

1、在总体)2,30(~2N X 中随机地抽取一个容量为16的样本，求样本均值X 在 29到31之间取值的概率.

解：因)2,30(~2

N X ，故)162,30(~2N X ，即))2

1(,30(~2N X

)22

130

2()3120(<-<-=<<∴X P X P 9544.01)2(2)2()2(=-Φ=-Φ-Φ=

2、设某厂生产的灯泡的使用寿命),1000(~2σN X (单位：小时)，抽取一容量 为9的样本，其均方差100=S ，问)940(

解：因2

σ未知，不能用),

1000(2

n

N X σ=来解题，

而)1(~--=

n t n

S X T μ

)8(~3

t S X T μ

-=

∴ )(

)(39403940S S X P X P μ

μ-<-=<∴，而1000,100==μS )940(<∴X P )8.1()100

3

)1000940((-<=?-<=T P T P )8.1(>=T P

由表查得056.0)8.1()940(=>=

3、设721,,X X X 为总体)5.0,0(~2

N X 的一个样本，求∑=>7

1

2)4(i i X P .

解：)5.0,0(~2

N X

)1,0(~2N X i ∴

∑∑===∴

7

1

7

1

2

22

)7(~4)2(i i i

i

x X X

∑∑==≈>=>∴7

1

7

1

22025.0)164()4(i i i i

X P X P

4、设总体)1,0(~N X ，从此总体中取一个容量为6的样本654321,,,,,X X X X X X ， 设26542321)()(X X X X X X Y +++++=，试决定常数C ，使随机变量CY 服 从2x 分布.

解：)3,0(~321N X X X ++，)3,0(~654N X X X ++

54

)1,0(~3

321N X X X ++∴

，)1,0(~36

54N X X X ++

)2(~)3

(

)3(

226

5423

21x X X X X X X +++++∴

即)2(~)(3

1

)(3

1226542321x X X X X X X +++

++ 3

1=

∴C 时，)2(~2

x CY

5、设随机变量T 服从)(n t 分布，求2T 的分布.

解：因为n

Y X T /=，其中)1,0(~N X ，)(~2

n x Y ，

n

Y X n Y X T /1//222

=

= )1(~22x X ),1(~2n F T ∴

6. 利 用 t 分 布 性 质 计 算 分 位 数 t 0.975( 50 ) 的 近 似 值 。

( 已 知 ξ ~ N ( 0， 1 ) ， p ( ξ < 1.96 ) = 0.975 )

解: 当 n 足 够 大 时，t 分 布 近 似 N (0，1),

当 u ~ N (0，1 ) 时 ，分 位 数 u 1-α 近 似 t 1-α( n ) 。

而 p { u ≥ u 0.975 } =0.025 时 ， u 0.975 = 1.926 ≈ 2 ， t 0.975 ( 50 ) ≈ 2

7. 设 ,,X ,X 21 X n 为 来 自 有 均 值 μ 和 r 阶 中 心 矩 μr 的 总

体 X 的 样 本，试证明()r n i r i X n E μμ=??

????-∑=11。又此式说明总体的r 阶 矩与样本r 阶矩有什么关系 ？

证 ： ()()r n i r n i r

i n i r i n X E n X n E μμμμ==-=??????-∑∑∑===11

1111

上 述 结 果 表 明 总 体 的 r 阶 矩 与 样 本 的 r 阶 矩 相 等 , 说 明 样

本 的

r 阶 中 心 矩 是 总 体 X 的 r 阶 中 心 矩 μr 的 无 偏 估 计 。

8. 设总体2~(0,2)X N , 1210,,,X X X 为来自总体X 的样本. 令

2

2

5

10

16i j i j Y X X ==?

???=+ ? ?????

∑∑.

试确定常数C , 使CY 服从2χ分布, 并指出其自由度.

55

解：由2~(0,2)X N , 得

~(0,1),1,2,,10.2

i

X N i = 又1210,,,X X X 互相独立,

故 510

1611~(0,5),~(0,5),22i j i j X N X N ==∑∑

10

5

~(0,1),

~(0,1),j

i

X

X

N N ∑∑

且二者独立.

从而有

2

2

510

2161~(2),20i j i j X X χ==??

??????+ ? ????????

?

∑∑ 得21

,20

C χ=

分布的自由度为2.

9. 设124125,,,,,,X X X Y Y Y 与分别是来自正态(0,1)N 的总体X 与Y 的样本,4

5

2

21

1

()()i i i i Z X X Y Y ===-+-∑∑,求EZ .

解:方法1:由

2

1

2

()222~(1),(1)1,1n

i i X X n E n n σ

χχσ--∑--=-=

可得

4

2

2

1

()~(3),i

i X

X χ=-∑521

)i i Y Y =-∑2~(4),347EZ χ∴=+=. 方法2: 2

211()()1,1n i i E S E X X DX n =??=-==??-??

∑ 222212

12(34)34347EZ E S S ES ES ∴=+=+=+=.

10.设X Y , 是 取 自 母 体 N ( μ，σ2 ) ，容 量 为 n 的 两 个 相 互 独

立 的 样 本 X 1 、X 2、 、 X n 及 Y 1、 Y 2、 、Y n 的 均 值 ，

试 确 定 n ， 使 这 两 个 样 本 均 值 之 差 超 过 σ 的 概 率 大 约 为 0.01 。 ( 已 知 Φ ( 2.58 ) = 0.995 )

解 ： 由 于 X 及 Y 均 服 从 ???? ?

?n N 2,σμ则 ???

??-22,0~σn N Y X 要 (

)(

)

01.02)2(≈>-=>-n n Y X P Y X P σσ

即

(

99.02)2(≈<-n n Y X P σ

即 (

)99.0122=-Φ

n 即 (

)

995.02=Φ

n

n2258

=..∴取n = 14

56