与函数有关的新定义题型

1．(2016长沙25题10分)若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l

都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L

具有“一带一路”关系．此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．

(1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；

(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4，

求此“路线”L 的解析式；

(3)当常数k 满足12≤k ≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴，y

轴所围成的三角形面积的取值范围．

2．(2015长沙25题10分)在直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点．．．．．．

称之为“中国结”．

(1)求函数y ＝3x ＋2的图象上所有“中国结”的坐标；

(2)若函数y ＝k x (k ≠0，k 为常数)的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与

相应“中国结”的坐标；

(3)若二次函数y ＝(k 2－3k ＋2)x 2＋(2k 2－4k ＋1)x ＋k 2－k (k 为常数)的图象与x 轴相交得到

两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包

含有多少个“中国结”

3．(2014长沙25题10分)在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点

称为“梦之点”．例如点(－1，－1)，(0，0)，(2，2)，…都是“梦之点”，显然，这样

的“梦之点”有无数个．

(1)若点P (2，m )是反比例函数y ＝n x (n 为常数，n ≠0)的图象上的“梦之点”，求这个反比例

函数的解析式；

(2)函数y ＝3kx ＋s －1(k ，s 是常数)的图象上存在“梦之点”吗若存在，请求出“梦之点”

的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 是常数，a >0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A (x 1，

x 1)，B (x 2，x 2)，且满足－2

4．(2013长沙25题10分)设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b

的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于一个函数，如果它的自变

量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，有m ≤y ≤n ，我们就称此函数是闭区间[m ，n ]上的“闭

函数”．

(1)反比例函数y ＝2013x 是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗请判断并说明理由；

(2)若一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)是闭区间[m ，n ]上的“闭函数”，求此函数的解析式；

(3)若二次函数y ＝15x 2－45x －75是闭区间[a ，b ]上的“闭函数”，求实数a ，b 的值．

5. (2017长沙25题10分)若三个非零实数x ，y ，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另

外两个数的倒数的和，则称这三个实数x ，y ，z 构成“和谐三数组”．

(1)实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗请说明理由；

(2)若M(t ，y 1)，N (t ＋1，y 2)，R (t ＋3，y 3)三点均在函数y ＝k x (k 为常数，k ≠0)的图象上，

且这三点的纵坐标y 1，y 2，y 3构成“和谐三数组”，求实数t 的值；

(3)若直线y ＝2bx ＋2c(bc ≠0)与x 轴交于点A (x 1，0)，与抛物线y ＝ax 2＋3bx ＋3c(a ≠0)交

于B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)两点．

①求证：A ，B ，C 三点的横坐标x 1，x 2，x 3构成“和谐三数组”；

②若a >2b >3c ，x 2＝1，求点P (c a ，b a )与原点O 的距离OP 的取值范围．

6．(2011长沙25题10分)使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于

函数y ＝x －1，令y ＝0，可得x ＝1，我们就说1是函数y ＝x －1的零点．

已知函数y ＝x 2－2mx －2(m ＋3)(m 为常数)．

(1)当m ＝0时，求该函数的零点；

(2)证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；

(3)设函数的两个零点分别为x 1和x 2，且1x 1＋1x 2

＝－14，此时函数图象与x 轴的交点分别为A 、B (点A 在点B 左侧)，点M 在直线y ＝x －10上，当MA ＋MB 最小时，求直线AM

的函数解析式．

7.(2018长沙26题10分)我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．

（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；

②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；

（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；

;

①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．

5. (2017雅礼实验中学月考)已知y 是关于x 的函数，若其图象经过点P(t ，t )，则称点P 为函

数图象上的“bingo 点”，例如：y ＝2x －1上存在“bingo 点”P (1，1)．

(1)直线____________(填写直线解析式)上的每一个点都是“bingo 点”；双曲线y ＝1x 上的“bingo

点”是________；

(2)若抛物线y ＝12x 2＋(13a ＋1)x －19a 2－a ＋2上有“bingo 点”，且“bingo 点”A 、B (点A 和点B 可

以重合)的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求x 21＋x 22的最小值；

(3)若函数y ＝14x 2＋(n －k ＋1)x ＋m ＋k －1的图象上存在唯一的一个“bingo 点”，且当－2≤n ≤1

时，m 的最小值为k ，求k 的值．

6. (2018原创)在平面直角坐标系内，若点P (x ，y)满足2x ＋y ＝0，则称点P 是“反倍点”，例

如点P(2，－4)就是一个反倍点．

(1)已知点A 是第二象限的一个“反倍点”，且点A 到x 轴的距离为2，求经过点A 的反比例函

数y ＝k x 的解析式；

[

(2)已知“反倍点”B 在一次函数y ＝mx ＋2图像上，且点B 的纵、横坐标均为整数，求点B 的

坐标；

(3)已知二次函数y ＝－(x －h)2＋c 的顶点D 是“反倍点”，当抛物线与y 轴的交点C 的纵坐标

y C 取得最大值时，在抛物线上及抛物线内共有几个“反倍点”，并求出这些点的坐标．

7. (2017雅礼实验中学一模)若直线l与曲线L相交于A、B两点，直线l与y轴交于点C，且AC＝2BC，则称直线l与曲线L互为“倍数函数”，A、B两点间的水平距离为“倍长量”．

(1)若直线l：y＝ax＋b经过点C(0，1)，与曲线L：y＝k

x其中一个交点为(1，2)，那么直线l

与曲线L是否互为“倍数函数”，请说明理由；

(2)若当k＞1时，直线l：y＝kx＋1与曲线L：y＝x2＋2kx＋k互为“倍数函数”，求直线l的解析式；

(3)直线l：y＝kx＋d与曲线L：y＝2x2＋bx＋c互为“倍数函数”，且|b－k|＝3，c≠d，AB的“倍长量”是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．

;

8. (2018原创)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (a ，b )和点Q(a ，b ′)，给出如下定义：若b ′

＝?

????b ，a≥1－b ，a<1，则称点Q 为点P 的限变点．如点(2，3)限变点坐标是(2，3)，点(－2，5)限变点坐标是(－2，－5)．

(1)若点A (－1，2)是函数y ＝a x 图象上某一个点的限变点，求a 的值；

(2)若反比例函数y ＝p ＋2x 和一次函数y ＝px ＋2(p≠0)同时过点B (p ，3)的限变点C ，求此时p

的值；

(3)若点P 在二次函数y ＝x 2＋4x －1(－3≤x ≤k ，k ≥－3)的图象上，其限变点Q 的纵坐标b′的取

值范围是－1≤b ′≤5，求k 的取值范围．

9. (2018原创)若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且△ABC 恰

好是直角三角形，则称抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 是“勾股抛物线”，其中较短直角边所在直线为

“勾线”，较长直角边所在直线为“股线”．

(1)若“勾股抛物线”y ＝x 2＋mx ＋n 的“勾线”经过点(1，1)，求m 和n 的值；

(2)已知“勾股抛物线”y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴的一个交点为(－1，0)，其“股线”与反比例函数

y ＝k x 的一个交点的横坐标是－2，求反比例函数解析式；

(3)已知“勾股抛物线”y ＝33x 2＋bx －3c (b≠0)的“勾线”、“股线”及x 轴围成的三角形面积S 的取值范围是23≤S ≤43，设t ＝－2b 4＋4b 2＋3，求t 的最大值．

￥

10. (2017雅礼教育集团期中考试)我们将自变量为x 的函数记作f (x)，若点A (m ，n )和B (n ，

t )都在函数f(x)的图象上，则称点B 是点A 在函数f(x )作用下的传承点．如点(1，3)是点(－1，

1)在函数y ＝x ＋2作用下的传承点．

(1)求点(2，－1)在函数y ＝－x ＋1作用下的传承点的坐标；

(2)直线y ＝kx ＋2与双曲线y ＝k x 交于C ，D 两点，且点D 是点C 在这两个函数作用下的传承

点，求直线与双曲线的解析式；

(3)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝ax ＋d 交于抛物线对称轴两侧的E ，F 两点，点E 的横坐

标为1，且点F 是点E 在这两个函数作用下的传承点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直

线x ＝－1，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在E ，F 两点之间的最大值与最小值之差为8，求E ，F

两点的坐标．

11. 已知y 是关于x 的函数，若其图象经过点P (t ，2t )，则称点P 为函数图象上的“偏离点”．例

如：直线y ＝x －3上存在“偏离点”P(－3，－6)．

(1)在双曲线y ＝

1上是否存在“偏离点”若存在，请求出“偏离点”的坐标；若不存在，请说明理由； (2)若抛物线y ＝－12x 2＋(23a ＋2)x －29a 2－a ＋1上有“偏离点”，且“偏离点”为A (x 1，y 1)和B(x 2，

y 2)，求w ＝x 21＋x 22－ka 3

的最小值(用含k 的式子表示)； (3)若函数y ＝14x 2＋(m －t ＋2)x ＋n ＋t －2的图象上存在唯一的一个“偏离点”，且当－2≤m ≤3

时，n 的最小值为t ，求t 的值．

12. 定义：若一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝－c x 满足a b ＝b c ，则称y ＝ax 2＋bx ＋c 为一次

函数和反比例函数的“等比”函数．

(1)试判断(需写出判断过程)一次函数y ＝x ＋b 与反比例函数y ＝－9x 是否存在“等比”函数若存

在，请写出它们的“等比”函数的解析式；

(2)若一次函数y ＝9x ＋b(b ＜0)与反比例函数y ＝－c x 存在“等比”函数，且“等比”函数的图象与

y ＝－c x 的图象的交点的横坐标为x ＝－13，求反比例函数的解析式；

(3)若一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝－c x (其中a >0，c >0，a ＝3b)存在“等比”函数，且y

＝ax ＋b 的图象与“等比”函数图象有两交点A (x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，试判断“等比”函数图象上

是否存在一点P (x ，y)(其中x 1

的最大值；若不存在，请说明理由．

;

13. (2017青竹湖湘一二模)若将函数C 1的图象沿直线x ＝a 对折，与函数C 2的图象重合，则

称函数C 1与C 2互为“镜面函数”，直线x ＝a 叫作函数C 1、C 2的“镜面直线”，如：函数y ＝1x 与

函数y ＝－1x 互为“镜面函数”，y 轴为它们的“镜面直线”；

(1)若“镜面直线”为x ＝1，求一次函数C 1：y ＝－12x 的“镜面函数”C 2的解析式；

(2)若函数C 1：y ＝x 2＋4x ＋3与x 轴交于A 、B 两点(x A ＞x B )，顶点为P ，射线PA 与双曲线y

＝6x 交于点Q ，且Q 点在函数C 1的“镜面函数”C 2上，求函数C 1、C 2的“镜面直线”；

(3)若“镜面直线”为x ＝1，函数L 2：y ＝－12x 2－x ＋c ＋4的“镜面函数”L 1与x 轴交于C 、D 两点，

C 点在

D 点左侧，顶点为M ，与y 轴交于点

E ，若ME ⊥DE ，求代数式OC·OE OD 的值．

14. (2017长沙中考模拟卷八)对于某一函数给出如下定义：若存在实数p ，当其自变量的值

为p 时，其函数值等于p ，则称p 为这个函数的不变值．．．

．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q 称为这个函数的不变长度．．．．

．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q 为零．例如，图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q 等于1.

(1)分别判断函数y ＝x －1、y ＝1x 、y ＝x 2有没有不变值如果有，求出其不变长度；

(2)函数y ＝2x 2－bx .

①若其不变长度为0，求b 的值；

②若1≤b ≤3，求其不变长度q 的取值范围；

(3)记函数y ＝x 2－2x (x ≥m )的图象为G 1，将G 1沿x ＝m 翻折后得到的函数图象记为G 2.函数G

的图象由G 1和G 2两部分组成，若其不变长度q 满足0≤q ≤3，求m 的取值范围．

第14题图

15. (2017长沙中考模拟卷三)若y 是关于x 的函数，H 是常数(H ＞0)，若对于此函数图象上的

任意两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，都有|y 1－y 2|≤H ，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有

常数H 的最小值，称为该函数的界高．如图所表示的函数的界高为4.

(1)若函数y ＝k x (k ＞0)(－2≤x ≤－1)的界高为6，则k ＝________；

{

(2)若函数y ＝kx ＋1(－2≤x ≤1)的界高为4，求k 的值；

(3)已知函数y ＝x 2－2ax ＋3a (－2≤x ≤1)的界高为254，求a 的值．

第15题图

16. (2017麓山国际实验学校二模)概念：P、Q分别是两条线段a、b上任意一点，线段PQ 长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m＋4，n)是平面直角坐标系中四点．

(1)根据上述概念，当m＝2，n＝2时，如图①，线段BC与线段OA的距离是______；当m ＝5，n＝2时，如图②，线段BC与线段OA的距离(即线段AB长)为________；

(2)如图③，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d 关于m的函数解析式；

(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M.

①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；

②点D的坐标为(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为点H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

第16题图

17. (2017长沙中考模拟卷四)在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)

的“非常距离”，给出如下定义：

若|x 1－x 2|≥|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1－x 2|；

若|x 1－x 2|＜|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1－y 2|.

例如：点P 1(1，2)，点P 2(3，5)，因为|1－3|＜|2－5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2

－5|＝3，也就是图①中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与

垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点)．

（

(1)已知点A(－12，0)，点B 为y 轴上的一个动点，

①若点A 与点B 的“非常距离”为2，求满足条件的点B 的坐标；

②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；

(2)已知C 是直线y ＝34x ＋3上的一个动点，

①如图②，点D 的坐标是(0，1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；

②如图③，点E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距

离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标．

第17题图

18. .