《与二次函数有关的综合问题》

与二次函数有关的综合问题

复习策略

根据大纲要求本章的学习目标主要有以下五点：

（1）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。

（2）会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。

（3）会用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，并能由此得到二次函数的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单的实际问题。

（4）会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

（5）求二次函数的解析式。

结合大纲要求及近五年的中考命题的特点和规律，主要是考查学生综合运用知识的能力，以二次函数为载体，对几何进行考查,主要涉及二次函数与三角形、四边形等综合考查。从学生的解题情况来看，考生对二次函数压轴题不得其法，普遍畏惧压轴题，得分率偏低，这往往导致中考高分不多。为此，我们对中考试卷二次函数命题方向及解题策略进行了一些探索，希望能帮助学生在中考中提高解二次函数压轴题的能力。

首先：帮助学生了解并掌握二次函数综合题常见的类型

1.函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。

2.几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。

3.存在性问题：存在性问题则主要考查分类讨论的数学思想，常见的存在性是：是否存在等腰三角形、是否存在直角三角形、是否存在三角形相似，是否存在平行四边形等。有些题在分类讨论列方程求解后，还要检验，排除干扰。

4.最值型问题：这类题则需要根据条件，创设函数，利用函数性质（一般是二次函数）求解。同时注意求最值时要注意自变量的取值范围。解这类问题要注重在图形的形状或位置的变化过程中寻找函数与几何的联系，需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动。

解题过程中应注意以下两点

1.抓住“关键点”---利用面积和周长公式、三角形相似、勾股定理、特殊等式等手段建构二次函数关系。

2.突破“难点”---（1）求最值的常见方法：利用“两点之间线段最短”的性质求一动点到两定点的距离之和的最小值；利用二次函数的性质求最值。

（2）分类讨论的常见形式：等腰三角形问题常按已知线段是底还是腰来分类；直角三角形问题常按哪个角是直角来分类；平行四边形问题常按已知线段是边还是对角线来分类；相似三角形问题常按对应边不同来分类；动点问题常按动点运动的分界点来分类。

一：常见题型：

例1 如图39－1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋C 经过点A (－3，0)，C (0，4)，点B 在抛物线上，CB ∥x 轴，且AB 平分∠CAO .

(1)求抛物线所对应的函数解析式．

(2)线段AB 上有一动点P ，过点P 作y 轴的平行线，交拋物线于点Q ，求线段PQ 的最大值．

图39－1

分析：

解：

(1)点A 的坐标为(－3，0)，点C 的坐标为(0，4)，∴AC ＝5.

∵AB 平分∠CAO ，∴∠CAB ＝∠BAO . ∵CB ∥x 轴，∴∠CBA ＝∠BAO ， ∴∠CAB ＝∠CBA ，∴AC ＝BC ＝5， ∴点B 的坐标为(5，4)．将A (－3，0)，C (0，4)，B (5，4)代入y ＝ax 2＋b x ＋c ，得

????

?0＝9a －3b ＋c ，4＝c ，4＝25a ＋5b ＋c ，解得??

?????a ＝－16，b ＝56

，c ＝4，

(2)设直线AB 所对应的函数解析式为y ＝k x ＋n ，把A (－3，

0)，B (5，4)代入，得????

?0＝－3k ＋n ，4＝5k ＋n ，解得?????k ＝1

2，n ＝32，

∴直线AB 所对应的函数解析式为y ＝12x ＋3

设点P 的坐标为(x ，12x ＋32)，则点Q 的坐标为(x ，－16x 2＋5

＋4)，

P Q ＝－16x 2＋56x ＋4－(12x ＋32)＝－16(x －1)2＋8

，

故当x ＝1时，线段P Q 的值最大，最大值为8

探究二二次函数与四边形的结合

求四边形面积的函数解析式，一般是利用割补法把四边形的面积转化为三角形面积的和或差．例2如图39－2，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋bx ＋C 的图象与x 轴交于A ，B 两点，点B 的坐标为(3，0)，与y 轴交于点C (0，－3)，点P 是直线BC 下方抛物线上的动点．

(1)求这个二次函数的解析式．

(2)连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ，使得四边形POP ′C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时点P 的坐标和四边形ABPC 的最大面积．

分析：(1)图中已知抛物线上几个点？将点B ，C 的坐标代入二次函数的解析式．

(2)画出四边形POP ′C ，若四边形POP ′C 为菱形，那么点P 必在OC 的垂直平分线上，由此能求出点P 的坐标吗？

(3)由于△ABC 的面积为定值，求四边形ABPC 的最大面积，即求△BPC 的最大面积．

解：(1)将B ，C 两点的坐标代入y ＝x 2

＋b x ＋c ，得???9＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，解得?

??b ＝－2，

c ＝－3，

∴这个二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3.

(2)如图①，假设抛物线上存在点P (x ，x －2x －3)，使得四边形POP ′C 为菱形．连接PP ′

交CO 于点E .∵四边形POP ′C 为菱形，∴PC ＝PO ，PE ⊥CO ，∴OE ＝EC ＝3

2，

∴点P的纵坐标为－3

2，即x

2－2x－3＝－

2，解得x1＝

2＋10

2，x2＝

2－10

2(不合题意，

舍去)，∴存在点P(2＋10

2，－

2)，使得四边形POP′C为菱形．

(3)如图②，过点P作y轴的平行线交BC于点Q，交OB于点F，设点P的坐标为(x，x2－2x－3)．由x2－2x－3＝0，得点A的坐标为(－1，0)．∵点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，－3)，∴直线BC的解析式为y＝x－3，∴点Q的坐标为(x，x－3)，∴AB＝4，CO＝3，BO＝3，P Q＝－x2＋3x，∴S四边形ABPC

＝S△ABC＋S△BP Q＋S△CP Q＝1

2AB·CO＋

2P Q·BF＋

2P Q·FO＝

2AB·CO＋

2P Q·(BF＋FO)＝

2AB·CO＋

2P Q·BO

＝1

2×4×3＋

2(－x

2＋3x)×3＝－3

2＋9

2x＋6＝－

x－

＋

8，

∴当x＝

2时，四边形ABPC的面积最大．此时点P的坐标为?

2，－

4，四边形ABPC的

最大面积为75 8.

探究三二次函数与相似三角形的结合

例3[2014·厦门]如图39－3，已知C＜0，抛物线y＝x2＋bx＋C与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点(x2＞x1)，与y轴交于点C.

(1)若x2＝1，BC＝5，求函数y＝x2＋bx＋C的最小值；

(2)过点A作AP⊥BC，垂足为P(点P在线段BC上)，AP交y轴于点M.若OA

OM＝2，求抛

物线y＝x2＋bx＋C顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．

此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解。

分析：(1)A (x 1，0)，B (x 2，0)转化为坐标轴上的线段是什么？能求出点C 的坐标吗？

(2)先根据点B ，C 的坐标，用待定系数法求出二次函数y ＝x 2＋bx ＋C 的解析式．

(3)Rt △OAM ∽Rt △OCB 吗？如何证明？

(4)由三角形相似，根据对应边成比例，得OC OB ＝OA

OM ＝2，即OC ＝2OB ，所以－C ＝2x 2，利用x 2

2＋bx 2＋C ＝0，求得C ＝2b －4.将此关系式代入抛物线的顶点坐标，即可求得所求函数解析式．

解：(1)∵x 2＝1，∴OB ＝1.

∵BC ＝5，∴OC ＝2.∵c ＜0，∴c ＝－2. 将B (1，0)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得1＋b －2＝0，解得b ＝1，

故二次函数的解析式为y ＝x 2

＋x －2＝(x ＋12)2－9

4，

∴二次函数y ＝x 2＋x －2的最小值是－9

(2)∵AP ⊥BC ，

∴∠PMC ＋∠PCM ＝90°.

∵∠OAM ＋∠OMA ＝90°，∠OMA ＝∠PMC ， ∴∠OAM ＝∠PCM ， ∴Rt △OAM ∽Rt △OCB ， ∴OA OM ＝OC

OB ＝2，即OC ＝2OB . ∵x 1＜0，x 2＞0， ∴－c ＝2x 2.

由x 22＋bx 2＋c ＝0，得c ＝2b －4，

∴二次函数y ＝x 2＋bx ＋c ＝x 2＋bx ＋2b －4.

它的顶点坐标是(－b 2，－b 2

＋8b －16

)．

∵－b 2＋8b －164＝－(－b 2)2－4·(－

b 2)－4，

∴顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是y ＝－x 2－4x －4(x ＞－3

本题考查了二次函数的综合运用，关键是用菱形、圆的性质，形数结合解题。

2012年23．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

（1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；

考点：翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。

分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出

PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；

（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，进而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可．

解答：（1）解：如图1，∵PE=BE，

∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．

即∠PBC=∠BPH．

又∵AD∥BC，

∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH．

（2）△PHD的周长不变为定值8．

证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，

∴△ABP≌△QBP．

∴AP=QP，AB=BQ．

又∵AB=BC，

∴BC=BQ．

又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，

∴△BCH≌△BQH．

∴CH=QH．

∴△PHD的周长为：

PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．

此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理、二次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．

本题考查了相似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用。

2014年：24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

解答：解：（1）由B（-1，0）可知OB=1，∵OA=OC=4OB，

∴OA=OC=4，OB=1，

∴C（0，4），A（4，0）．

设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，

则

16a+4b+c=0

a-b+c=0

c=4 ，

解得：

a=-1

b=3

c=4

，

则抛物线的解析式是y=-x2+3x+4；

（2）存在．

①当以C为直角顶点时，

过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1

，

过点P1作y轴的垂线，垂足是M，M，如图1．∵∠A CP1=90°，∴∠MCP1+∠ACO=90°．

∵∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠MCP1=∠OAC．

∵OA=OC，

∴∠MCP1=∠OAC=45°，

∴∠MCP1=∠MP1C，

∴MC=MP1，

设P（m，-m2+3m+4），

则m=-m2+3m+4-4，

解得：m1=0（舍去），m2=2．

∴m=2，此时-m2+3m+4=6，

∴P1P的坐标是（2，6）．

②当点A为直角顶点时，

过A作AP2⊥AC交抛物线于点P2，

过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F，如图2．

∴P2N∥x轴，

由∠CAO=45°得∠OAP2 =45°，

∴∠FP2N=45°，AO=OF．

∴P2N=NF，

设P2（n，-n2+3n+4），

则-n+4=-（-n2+3n+4），

解得：n1=-2，n2=4（舍去），

∴n=-2，

此时-n2+3n+4=-6，

∴P2的坐标是（-2，-6）．

综上所述：P的坐标是（2，6）或（-2，-6）；

本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，以及等腰三角形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．

2015年：24．（12分）已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=

﹣2，

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（1）由题意可知，，是方程的两根，由根与系数的关系可得，+=，=-2．

∵，∴．即：．∴m=1．∴抛物线解析式为．

（2）存在x轴，y轴上的点M，N，使得四边形DNME的周长最小．

∵，

∴抛物线的对称轴为，顶点D的坐标为（2，6）．

又抛物线与y轴交点C的坐标为（0，2），点E与点C关于对称，

∴E点坐标为（4，2）．

作点D关于y轴的对称点D′，作点E关于x轴的对称点E′，

则D′坐标为（-2，6），E′坐标为（4，-2）．连接D′E′，交x轴于M，交y轴与N．

此时，四边形DNME的周长最小为D′E′+DE．（如图1所示）

延长E′E，D′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8．

∴D′E′==．