2019全国各地中考数学压轴大题几何综2

2019全国各地中考数学压轴大题几何综合

二、三角形中的计算和证明综合题

1.（2019?衢州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC

交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G．

（1）求CD的长．

（2）若点M是线段AD的中点，求的值．

（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG＝60°？

解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，

∴∠DAC＝∠BAC＝30°，

在Rt△ADC中，DC＝AC?tan30°＝6×＝2．

（2）由题意易知：BC＝6，BD＝4，

∵DE∥AC，

∴∠FDM＝∠GAM，

∵AM＝DM，∠DMF＝∠AMG，

∴△DFM≌△AGM（ASA），

∴DF＝AG，

∵DE∥AC，

∴＝＝，

∴＝＝＝＝．

（3）∵∠CPG＝60°，过C，P，G作外接圆，圆心为Q，

∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形．

①当⊙Q与DE相切时，如图3﹣1中，作QH⊥AC于H，交DE于P．连接QC，QG．菁优网

设⊙Q的半径为r．则QH＝r，r+r＝2，

∴r＝，

∴CG＝×＝4，AG＝2，

由△DFM∽△AGM，可得＝＝，

∴DM＝AD＝．

②当⊙Q经过点E时，如图3﹣2中，延长CO交AB于K，设CQ＝r．

∵QC＝QG，∠CQG＝120°，

∴∠KCA＝30°，

∵∠CAB＝60°，

∴∠AKC＝90°，

在Rt△EQK中，QK＝3﹣r，EQ＝r，EK＝1，

∴12+（3﹣r）2＝r2，

解得r＝，

∴CG＝×＝，

由△DFM∽△AGM，可得DM＝．

③当⊙Q经过点D时，如图3﹣3中，此时点M，点G与点A重合，可得DM＝AD＝4．

观察图象可知：当DM＝或＜DM≤4时，满足条件的点P只有一个．

2.（2019?武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°，＝n，M是BC上一点，连接AM．

（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．

①如图2，若n＝1，求证：＝．

②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）

（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点H．

∵AM⊥CN，

∴∠AHC＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠BAM+∠AMB＝90°，∠BCN+∠CMH＝90°，

∵∠AMB＝∠CMH，

∴∠BAM＝∠BCN，

∵BA＝BC，∠ABM＝∠CBN＝90°，

∴△ABM≌△CBN（ASA），

∴BM＝BN．

（2）①证明：如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．

∵BP⊥AM，

∴∠BPM＝∠ABM＝90°，

∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠CBH+∠BMP＝90°，

∴∠BAM＝∠CBH，

∵CH∥AB，

∴∠HCB+∠ABC＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABM＝∠BCH＝90°，

∵AB＝BC，

∴△ABM≌△BCH（ASA），

∴BM＝CH，

∵CH∥BQ，

∴＝＝．

②解：如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．

则BM＝CM＝m，CH＝，BH＝，AM＝m，

∵?AM?BP＝?AB?BM，

∴PB＝，

∵?BH?CN＝?CH?BC，

∴CN＝，

∵CN⊥BH，PM⊥BH，

∴MP∥CN，∵CM＝BM，

∴PN＝BP＝，

∵∠BPQ＝∠CPN，

∴tan∠BPQ＝tan∠CPN＝＝＝．

3.（2019?镇江）在三角形纸片ABC（如图1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用5张这样

的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．（1）∠ABC＝30°；

（2）求正五边形GHMNC的边GC的长．

参考值：sin78°≈0.98，cos78°＝0.21，tan78°≈4.7．

解：（1）∵五边形ABDEF是正五边形，

∴∠BAF＝＝108°，

∴∠ABC＝∠BAF﹣∠BAC＝30°，

故答案为：30；

（2）作CQ⊥AB于Q，

在Rt△AQC中，sin∠QAC＝，

∴QC＝AC?sin∠QAC≈10×0.98＝9.8，

在Rt△BQC中，∠ABC＝30°，

∴BC＝2QC＝19.6，

∴GC＝BC﹣BG＝9.6．

4.（2019?枣庄）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．

（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；

（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；

（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN ＝AM．

（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，

∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，

∵AB＝2，

∴AD＝BD＝DC＝，

∵∠AMN＝30°，

∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，

∴∠MBD＝30°，

∴BM＝2DM，

由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即（2DM）2﹣DM2＝（）2，解得，DM＝，

∴AM＝AD﹣DM＝﹣；

（2）证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，

∴∠BDE＝∠ADF，

在△BDE和△ADF中，

，

∴△BDE≌△ADF（ASA）

∴BE＝AF；

（3）证明：过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，

∴∠AME＝90°，

则AE＝AM，∠E＝45°，

∴ME＝MA，

∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，

∴∠BME＝∠AMN，

在△BME和△AMN中，

，

∴△BME≌△AMN（ASA），

∴BE＝AN，

∴AB+AN＝AB+BE＝AE＝AM．

5.（2019?成都）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tan B＝，点D为BC边上的动点（点

D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；

（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．

（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，

∴∠BAD＝∠CDE，

∴△BAD∽△DCE．

（2）解：如图2中，作AM⊥BC于M．

在Rt△ABM中，设BM＝4k，则AM＝BM?tan B＝4k×＝3k，由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，

∴202＝（3k）2+（4k）2，

∴k＝4或﹣4（舍弃），

∵AB＝AC，AM⊥BC，

∴BC＝2BM＝2?4k＝32，

∵DE∥AB，

∴∠BAD＝∠ADE，

∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，

∴∠BAD＝∠ACB，

∵∠ABD＝∠CBA，

∴△ABD∽△CBA，

∴＝，

∴DB＝＝＝，

∵DE∥AB，

∴＝，

∴AE＝＝＝．

（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．

理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，

∴四边形AMHN为矩形，

∴∠MAN＝90°，MH＝AN，

∵AB＝AC，AM⊥BC，

∴BM＝CM＝BC＝×32＝16，

在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝＝＝12，∵AN⊥FH，AM⊥BC，

∴∠ANF＝90°＝∠AMD，

∵∠DAF＝90°＝∠MAN，

∴∠NAF＝∠MAD，

∴△AFN∽△ADM，

∴＝＝tan∠ADF＝tan B＝，

∴AN＝AM＝×12＝9，

∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝16﹣9＝7，

当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，

∵FH⊥DC，

∴CD＝2CH＝14，

∴BD＝BC﹣CD＝32﹣14＝18，

∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝18．

6.（2019?乐山）在△ABC中，已知D是BC边的中点，G是△ABC的重心，过G点的直线

分别交AB、AC于点E、F．

（1）如图1，当EF∥BC时，求证：+＝1；

（2）如图2，当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

（3）如图3，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

（1）证明：∵G是△ABC重心，

∴，

又∵EF∥BC，

∴，，

则；

（2）解：（1）中结论成立，理由如下：

如图2，过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N，FE、CB的延长线相交于点M，则△BME∽△ANE，△CMF∽△ANF，

，，

∴，

又∵BM+CM＝BM+CD+DM，

而D是BC的中点，即BD＝CD，

∴BM+CM＝BM+BD+DM＝DM+DM＝2DM，

∴，

又∵，

∴，

故结论成立；

（3）解：（1）中结论不成立，理由如下：

当F点与C点重合时，E为AB中点，BE＝AE，

点F在AC的延长线上时，BE＞AE，

∴，则，

同理：当点E在AB的延长线上时，，

∴结论不成立．

7.（2019?阜新）如图，是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC＝BC，∠ACB＝∠

ADB＝90°．

（1）如图1，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE．

①求证：CD＝CE，CD⊥CE；

②求证：AD+BD CD；

（2）若△ABC与△ABD位置如图2所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系．

（1）证明：①在四边形ADBC中，∠DAC+∠DBC+∠ADB+∠ACB＝360°，∵∠ADB+∠ACB＝180°，

∴∠DAC+∠DBC＝180°，

∵∠EAC+∠DAC＝180°，

∴∠DBC＝∠EAC，

∵BD＝AE，BC＝AC，

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，

∵∠BCD+∠DCA＝90°，

∴∠ACE+∠DCA＝90°，

∴∠DCE＝90°，

∴CD⊥CE；

②∵CD＝CE，CD⊥CE，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∴DE CD，

∵DE＝AD+AE，AE＝BD，

∴DE＝AD+BD，

∴AD+BD CD；

（2）解：AD﹣BD CD；

理由：如图2，在AD上截取AE＝BD，连接CE，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝∠ABC＝45°，

∵∠ADB＝90°，

∴∠CBD＝90°﹣∠BAD﹣∠ABC＝90°﹣∠BAD﹣45°＝45°﹣∠BAD，

∵∠CAE＝∠BAC﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，

∴∠CBD＝∠CAE，∵BD＝AE，BC＝AC，

∴△CBD≌△CAE（SAS），

∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，

∵∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝90°，

∴∠BCD+∠BCE＝90°，

即∠DCE＝90°，

∴DE CD，

∵DE＝AD﹣AE＝AD﹣BD，

∴AD﹣BD CD．

8.（2019?锦州）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，连接AD，分别

以CD和AD为直角边作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，点E，F在BC 下方，连接EF．

（1）如图1，当BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD时，

求证：①∠CAD＝∠CDF，②BD＝EF；

（2）如图2，当BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD时，猜想BD和EF之间的数量关系？

并说明理由．

（1）证明：①∵∠ACB＝90°，

∴∠CAD+∠ADC＝90°，

∵∠CDF+∠ADC＝90°，

∴∠CAD＝∠CDF；

②作FH⊥BC交BC的延长线于H，

则四边形FECH为矩形，

∴CH＝EF，

在△ACD和△DHF中，

，

∴△ACD≌△DHF（AAS）