过一点求曲线的切线方程的三种类型
舒云水
过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒
1.已知曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x P ，求曲线在该点处的切线方程﹒
这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率，后写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，并化简﹒
例1 求曲线33)(23+-=x x x f 在点)1,1(P 处的切线方程﹒
解：由题设知点P 在曲线上，
∵x x y 632-='，∴曲线在点)1,1(P 处的切线斜率为3)1(-='f ，所求的切线方程为)1(31--=-x y ，即43+-=x y ﹒
2. 已知曲线)(x f y =上一点))(,(11x f x A ，求过点A 的曲线的切线方程﹒
这种类型容易出错，一般学生误认为点A 一定为切点，事实上可能存在过点A 而点A 不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为))(,(00x f x P ，先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率（用0x 表示），写出切线方程
)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，再将点A 坐标),(11y x 代入切线方程得)(01x f y -=)(0x f ')(01x x -，求出0x ，最后将0x 代入方程
)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -求出切线方程﹒
例2 求过曲线x x y 23-=上的点)1,1(-的切线方程﹒ 解：设切点为点)2,(0300x x x -，232-='x y ，切线斜率为2320-x ， 切线方程为))(23()2(020030x x x x x y --=--﹒
又知切线过点)1,1(-，把它代入上述方程，得 )1)(23()2(100030x x x x --=---﹒ 解得10=x ，或2
10-=x ﹒
所求切线方程为)1)(23()21(--=--x y ，或)21)(243()181(+-=+--x y ，即02=--y x ，或0145=-+y x ﹒
上面所求出的两条直线中，直线02=--y x 是以)1,1(-为切点的切线，而切线0145=-+y x 并不以)1,1(-为切点，实际上它是经过了点)1,1(-且以)87,21(-为切点的直线，如下图所示﹒这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点﹒
3. 已知曲线)(x f y =外一点))(,(11x f x A ，求过点A 作的曲线的切线方程﹒
这种类型的题目的解法同上面第二种类型﹒
例3 过原点O 作曲线6324+-=x x y 的切线，求切线方程﹒（2009年全国卷Ⅰ文21题改编 ）
解：由题设知原点O 不在曲线上，设切点坐标为
P )63,(20400+-x x x ， x x y 643-='，切线斜率为（03064x x -）
，切线方程为：
))(64()63(003
02040x x x x x x y --=+--﹒ 又知切线过点)0,0(，把它代入上述方程，得
))(64()63(0003
02040x x x x x --=+--﹒ 整理得：0)2)(1(2020=-+x x ﹒ 解得20-=x ，或20=x ﹒ 所求切线方程为：x y 22-=或x y 22=﹒
练习：1.求曲线14)(23+-=x x x f 在点)2,1(-P 处的切线方程﹒
2. 求过曲线34313+=x y 上的点)4,2(的切线方程﹒
3.过点)2,0(作抛物线12++-=x x y 的切线，求切线方程﹒ 答案：1.035=-+y x ；2.044=--y x 或02=+-y x ；3.023=+-y x 或02=--y x ﹒
2.求曲线经过点P处的切线方程
22.求曲线经过点P 处的切线方程 例2．已知曲线C ：3()2f x x x =-+，求经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程 错解：由'2()31f x x =-，得'(1)2k f ==， 所以所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =。 错因剖析：此处所求的切线只说经过P 点，而没说P 点一定是切点，于是切线的斜率 k 与'(1)f 不一定相等。比如（如图）当02x π≤≤时，正弦曲线sin y x =在点P 处的切线 只有一条：1l ；而经过点P 的切线却有两条：1l 与2l 。 正解：设经过点P （1，2）的直线与曲线C 相 切于点00(,)x y ，则由'2()31f x x =-， 得在点00(,)x y 处的斜率'200()31k f x x ==-， 有在点00(,)x y 处的切线的方程为 2000(31)()y y x x x -=--。 又因为点00(,)x y 与点P （1，2）均在曲线C 上， 有3000200022(31)(1)y x x y x x ?=-+??-=--??，消去0y 得320000(31)(1)x x x x -=--， 解得01x =或012x =- ，于是2k =或14 -， 所以所求切线方程为2y x =或1944y x =-+。 归纳：求曲线经过点P 处的切线方程的方法 （1）解题步骤：（1）设出切点坐标00(,)x y ；（2）列关于0x 与0y 的方程组，求解方程组，进而求切线斜率；（3）写出问题的结论。 （2）上述列方程组的方法是根据下面三个条件：①切点在曲线上，②已知点在切线上，③切点处的导数等于切线斜率
曲线的切线方程
导数的几何意义、曲线的切线方程： 一、框架 1.命题分析：本题型在高考解答题主要是在第(1)问中出现，也有可能在选择题或填空题中出现，若为解答题，主要考点为：(1)导数的几何意义;(2)直线与函数图象相切的条件。 2.几何意义：函数()x f 在0x 处的导数就是曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即斜率为()0'x f . 3.物理意义：函数()s f t =在0t 处的导数就是曲线()s f t =在0t 时刻的速度. 4.曲线)(x f y =上在点())(,00x f x 处的切线方程为))(()(00'0x x x f x f y -=-. 5.切线方程的求解方程问题： 第一步：判切点：求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程。切点已知直接求，切点未知设切点； 第二步：求斜率（导数）：通常若切点为())(,00x f x ，则在该点处曲线的斜率为()0'x f ； 第三步：用公式：所对应的曲线)(x f y =上在点())(,00x f x 处的切线方程为))(()(00'0x x x f x f y -=-。 6.利用切线方程（或切线的性质）判断参数的值（或取值范围） 第一步：求斜率（导数）：求出函数()x f y =在0=x x 处的导数()0'x f ，即函数()x f y =的图象在点 ())(,00x f x 处切线的斜率； 第二步：列关系式：根据已知条件，列出关于参数的关系式； 第三步：求解即可得出结论。 7.注意点：求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程。切点已知直接求，切点未知设切点。 二、方法诠释 类型一：在某点的切线方程 例1．求曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程。 解： y ′＝3x 2－2，∴k ＝y ′|x ＝1＝3－2＝1，∴切线方程为y ＝x －1. 类型二：过某点(某点不在曲线上)的切线方程 例2．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程． 解：点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意， 所求直线方程的斜率k ＝x 3 0－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 2 0，即x 30x 0－2 ＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0. 综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0. 类型三：过某点(某点在曲线上)的切线方程,例如例3的第(2)问 例3．(1)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 在原点(0,0)处的切线方程。 (2)求过原点(0,0)且与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 相切的切线方程． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，设切线的斜率为k ，k ＝f ′(0)＝2，f (0)＝0，所求的切线方程为y ＝2x . (2)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，f (0)＝0，所求的切线方程为y ＝2x . 当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)(x 0≠0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 2 0－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0 ＝x 2 0－3x 0＋2，② 由①②得x 0＝32，k ＝y 0x 0＝－14. 所以所求曲线的切线方程为y ＝2x 或y ＝－14x . 三、巩固训练
用导数求切线方程的四种类型
用导数求切线方程的四种类型 浙江 曾安雄 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线 方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 解：由2 ()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为 (1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --= 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴． 由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用?法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0?=，得1b =-，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．
求曲线 的切线方程的几种方法
2017届高三数学二轮复习——求曲线)(x f y =的切线方程的 几种方法 课前预习 1、已知函数()ln (,)f x m x nx m n =+∈R ，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y --=，则m n += 2、若x 轴是曲线 3ln )(+-=kx x x f 的一条切线，则=k 3、已知曲线x y =与x y 8=的交点为P ，两曲线在点P 处的切线分别为21,l l ，则切线21,l l 与y 轴所围成的三角形的面积为 4、已知函数x x f =)(，x a x ln )(g =，R a ∈.若曲线)(x f y =与曲线)(x g y =相交，且在交点处有相同的切线，则切线方程为 5、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线)0(2>= x x y 和)0(3>=x x y 均相切，切点分别为),(11y x A 和),(22y x B ,则=2 1x x 典型例题 例1、已知函数 x x x f 32)(3-=． （1）求)(x f 在点)1,1(-处的切线方程； （2）若过点)1(t P ，存在3条直线与曲线)(x f y =相切，求t 的取值范围．
例2、已知函数为常数）b a b ax x x x f ,(2 5)(23+++=，其图象是曲线C ． (1)当2-=a 时，求函数)(x f 的单调递减区间； (2)已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一个点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线21l l ，的斜率分别为21,k k ．问：是否存在常数λ，使得12 k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 例3、对于函数 )(x f ，)(g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数)(x f 和)(g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点．设函数)0()(2≠-=a bx ax x f ，()x x ln g =． （1）当0,1=-=b a 时，判断函数 )(x f 和)(g x 是否相切，并说明理由； （2）已知0>=a b a ，，且函数)(x f 和)(g x 相切，求切点P 的坐标．
求曲线在点某处或过某点的切线方程
2求曲线在点某处或过某点的切线方程 1.求曲线在某点处的切线 例1．求曲线33y x x =+在点(2,14)P --处的切线方程 分析：由在点(2,14)P --处的切线，可知(2,14)P --是切线的切点。由导数的几何意，可得切线的斜率等于函数33y x x =+在2x =-处的导数，再由直线的点斜式方程可求得切线方程 解：由'2()33f x x =+，得切线的斜率为'(2)15k f =-=， 所以切线方程为1415(2)y x +=+，即1516y x =+ 归纳：这类问题就是已知点P 是切点，求切线方程。可以先求出函数在该点处的导数，它也就是切线的斜率，再运用直线的点斜式方求出切线方程 练习：求曲线12ln(21)y x =++在点(0,1)P 处的切线方程 解：由14()2(21)2121 f x x x x ''=??+=++，得 切线的斜率为(0)4k f '==，故所求的切线方程为 14(0)y x -=-，即410x y -+= 2.求曲线经过点P 处的切线方程 例2．已知曲线C ：3()2f x x x =-+，求经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程 错解：由'2()31f x x =-，得'(1)2k f ==， 所以所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =。 错因剖析：此处所求的切线只说经过P 点，而没说P 点一定是切点，于是切线的斜率 k 与'(1)f 不一定相等。比如（如图）当02x π≤≤时，正弦曲线sin y x =在点P 处的切线 只有一条：1l ；而经过点P 的切线却有两条：1l 与2l 。 正解：设经过点P （1，2）的直线与曲线C 相 切于点00(,)x y ，则由'2()31f x x =-， 得在点00(,)x y 处的斜率'200()31k f x x ==-，
过一点求曲线的切线方程的三种类型
过一点求曲线的切线方程的三种类型 舒云水 过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒ 1.已知曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x P ，求曲线在该点处的切线方程﹒ 这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率，后写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，并化简﹒ 例1 求曲线33)(23+-=x x x f 在点)1,1(P 处的切线方程﹒ 解：由题设知点P 在曲线上， ∵x x y 632-='，∴曲线在点)1,1(P 处的切线斜率为3)1(-='f ，所求的切线方程为)1(31--=-x y ，即43+-=x y ﹒ 2. 已知曲线)(x f y =上一点))(,(11x f x A ，求过点A 的曲线的切线方程﹒ 这种类型容易出错，一般学生误认为点A 一定为切点，事实上可能存在过点A 而点A 不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为))(,(00x f x P ，先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率（用0x 表示），写出切线方程 )(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，再将点A 坐标),(11y x 代入切线方程得)(01x f y -=)(0x f ')(01x x -，求出0x ，最后将0x 代入方程
)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -求出切线方程﹒ 例2 求过曲线x x y 23-=上的点)1,1(-的切线方程﹒ 解：设切点为点)2,(0300x x x -，232-='x y ，切线斜率为2320-x ， 切线方程为))(23()2(020030x x x x x y --=--﹒ 又知切线过点)1,1(-，把它代入上述方程，得 )1)(23()2(100030x x x x --=---﹒ 解得10=x ，或2 10-=x ﹒ 所求切线方程为)1)(23()21(--=--x y ，或)21)(243()181(+-=+--x y ，即02=--y x ，或0145=-+y x ﹒ 上面所求出的两条直线中，直线02=--y x 是以)1,1(-为切点的切线，而切线0145=-+y x 并不以)1,1(-为切点，实际上它是经过了点)1,1(-且以)87,21(-为切点的直线，如下图所示﹒这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点﹒ 3. 已知曲线)(x f y =外一点))(,(11x f x A ，求过点A 作的曲线的切线方程﹒ 这种类型的题目的解法同上面第二种类型﹒ 例3 过原点O 作曲线6324+-=x x y 的切线，求切线方程﹒（2009年全国卷Ⅰ文21题改编 ）
一般n次曲线切线方程的推导
一般n 次曲线切线方程的推导 光信1001 黄飞洪 关键词：一般n 次曲线，某点的切线方程， 提要：在求曲线上某点的切线时，通常会使用先求导得到斜率后再求切线，此法在二次曲线中尚可使用，但如果是n 次曲线就不大现实了，因此如果能找到该类曲线切线的某些规律，在求高次曲线的切线方程时会节省很多时间 首先，我们先来分析几个比较特殊的例子： ○1圆A ：x 2+y 2=r 2在（x 0,y 0）处的切线方程为x 0x+ y 0y= r 2 ○2椭圆B ：A 2a)x +（+B b y 2 )(+=1在（x 0,y 0）处的切线方程为1))(())((00=+++++B b y b y A a x a x ○3双曲线C ：A 2a)x +（-B b y 2 )(+在（x 0,y 0 ）处的切线方程为1))(())((00=++-++B b y b y A a x a x ○4抛物线C ：y 2 =2px 在（x 0,y 0）处的切线方程为y 0y=p(x+x 0) 以上都是几个比较典型的二次曲线在某点切线的方程，总结起来就是在原曲线方程框架的基础上将x 2（或y 2）型变为x 0x （或y 0y ）型，x(或y)型转变为2 0x x +（或20y y +）型，但在一般的二次曲线中包含了xy 的项，那么，这种一般型曲线的切线是否仍存在某种规律呢？ 设f(x,y)=Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0,求在（x 0,y 0）处的切线方程 方程两边求导得2Ax+By+Bxy ’+2Cyy ’+D+Ey ’=0 y’= -E Cy Bx D By Ax ++++220 ∴在（x 0,y 0）处的切线方程为y-y 0= - E Cy Bx D By Ax ++++220(x-x 0)
求曲线在点处的切线方程
一、求曲线3231y x x x =-+-在点(2,3)P -处的切线方程. 二、已知成本C 与产量q 的函数关系式为C=2q 2+5,求产量q=80时的边际成本. 三、确定抛物线方程2y x bx c =++中的常数b c 、,使其与直线2y x =在2x =处相切. 四、求下列函数的单调区间: 1. 42()23f x x x =-- 2. 32()23f x x x =- 3. 42()23617f x x x =-+ 五、求下列函数的极值: 1. 32()23121f x x x x =+-+ 2. 32()(10)f x x x =- 3. 2()(2)f x x x =- 4. 32()32412f x x x x =+-+ 六、求下列函数在指定区间上的最大值和最小值: 1. 32()23121f x x x x =+-+,[3,3]x ∈- 2. 32()2153624,[1,4]f x x x x x =-+-∈ 3. 543 ()551,[1,2]f x x x x x =-++∈- 七、设函数3232y x ax bx c x x =+++=-=在处有极大值,在处有极小值-10,求常数 a b c 、、, 八、函数32 26[2,2]y x x m =-+-在区间上有最大值3,求它的最小值 九、三次函数()f x 当3x =时有极小值0,又:曲线()y f x =上点(1,8)处的切线过(3,0)点. 求()f x 的表达式 十、要靠墙建造6间猪圈(如图),若新砌墙的总长度 为36米,求每间猪圈的最大面积 【导数的应用练习题(文科)答案】 一、2|1,50.x k y x y ='==--=方程为 二、8080|4|320q q C q =='==.
圆锥曲线的切线方程总结
运用联想探究圆锥曲线的切线方程 现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆2 22r y x =+上 一点),(00y x M 的切线方程为2 00r y y x x =+；当),(00y x M 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为2 00r y y x x =+。那么，在圆锥曲线中，又 将如何？我们不妨进行几个联想。 联想一：（1）过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点),(00y x M 切线方程为 1202 0=+b y y a x x ；（2）当),(00y x M 在椭圆122 22=+b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=+b y y a x x 证明：（1）2222 1x y a b +=的两边对x 求导，得22220x yy a b ' +=，得020 2 x x b x y a y ='=-，由点斜式得切线方程为20 0020 ()b x y y x x a y -=--，即22000022221x x y y x y a b a b +=+= 。 （2）设过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 外一点),(00y x M 引两条切线，切点分别 为),(11y x A 、),(22y x B 。由（1）可知过A 、B 两点的切线方程分别为：12121=+b y y a x x 、 12222=+b y y a x x 。又因),(0 0y x M 是两条切线的交点，所以有1201201=+b y y a x x 、120 2202=+b y y a x x 。观察以上两个等式，发现),(11y x A 、),(22y x B 满足直线12020=+b y y a x x ，所以过两切点A 、B 两点的直线方程为12020=+b y y a x x 。 评注：因),(00y x M 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的位置（在椭圆上或椭圆 外）的不同，同一方程12020=+b y y a x x 表示直线的几何意义亦不同。 联想二：（1）过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上一点),(00y x M 切线方程为 1202 0=-b y y a x x ；（2）当),(00y x M 在双曲线122 22=-b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=-b y y a x x 。（证明同上） 联想三：（1）过圆锥曲线2 2 0Ax Cy Dx Ey F ++++=（A ，C 不全为零）上的点 ),(00y x M 的切线方程为00 00022 x x y y Ax x Cy y D E F ++++++=；（2）当
切线方程的求法
切线方程的求法 例1、已知曲线1y x = （1）求曲线在点()1,1P 处的切线方程 （2）求曲线过点()1,0Q 处的切线方程 （3）求满足斜率为13 -的曲线的切线方程 答案： （1）20x y +-= （2）440x y +-= （3）30x y +-=或30x y ++= 解析： (1)∵21y x '=- 又()1,1P 是曲线上的点， ∴P 是切点，所求切线的斜率为()11k f '==- 所以曲线在P 点处的切线方程为()11y x -=-- 即20x y +-= (2)显然()1,0Q 不在曲线1y x =上，则可设过该点的切线的切点为1,A a a ?? ??? ，则该切线斜率为()121k f a a '==- 则切线方程为()21 1y x a a a -=--．① 将()1,0Q 代入方程①得()21101a a a -=--， 解得12 a =， 故所求切线方程为440x y +-=.
(3)设切点坐标为1,A a a ?? ???，则切线的斜率为22113 k a =-=-，解得a = ∴ 3A ?或3A ?'- ? ?． 代入点斜式方程得 即切线方程为.：30x y +-=或30x y ++= 注：（1）在一点，则该点即为切点 （2）过一点，该点不一定是切点，需要设出切点后，在进行计算！ （3）高考中，直线的表达形式一般为一般式表达，即0Ax By C ++=的形式！
练习题 1、曲线sin x y x e =+在点()0,1处的切线方程是？ 2、曲线32y x x =+-在点P 处的切线平行于直线41y x =-，则点P 的坐标为？ 3、若曲线3y x ax =+在坐标原点处的切线方程是20x y -=，则实数a ？ 4、曲线2ln y x =在点()1,0处的切线方程为？ 5、设函数()()321f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为？ 6、曲线()1x y ax e =+在点()0,1处的切线的斜率为2-，则a =＿＿＿＿ 7、若函数()x e f x x =在x a =处的导数值与函数值互为相反数，求a 的值. 答案
曲线的切线(详解)
曲线的切线 一、 基础知识： 1、 切线的定义：设P 是曲线上的一点，Q 是曲线上与P 邻近的一点。当点Q 沿着曲 线无限接近点P 时，如果割线PQ 有一个极限位置PT ，那么直线PT 就叫做曲线在点P 处的切线。 2、 函数y=f(x)在x=x 0处可导，则曲线y=f(x)在点P 处的切线方程是： ))(()(000x x x f x f y -'=- 3、 关于切线的几个问题： （1）曲线的切线和曲线可以有几个交点？（答：可以有无数个交点） （2）直线y=kx+b 在其上一点P 处有切线吗？（答：有，切线与直线重合） 二、 例题选讲： 例1 下列曲线在点x=0处没有切线的是 （ ） （A ）y=x 3+sinx （B ）x x y cos += （C ）13+=x x y （D ）y=|x| 答：选D ，因为它在x=0处没有导数且不符合切线定义。 问1：（B ）中函数在x=0处也没有导数，它有切线吗？ 答：有，切线为直线x=0。 小结：f(x)在x 0处可导?f(x)在x 0处有切线，反之不成立 f(x)在x 0处不可导≠>f(x)在x 0处没有切线。 问2：既然不能从可导不可导来判定是否存在切线，那么怎么来判定呢？ 答：围绕定义。 小结：要深入体会运动变化思想：两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合（切点），从而割线→切线。 例2 已知曲线3 4331+=x y 。 （1）求曲线在点P （2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P （2，4）的切线方程。 解：（1）所求切线斜率k=4，故所求切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0 （2）设曲线与过点P 的切线相切于点A （x 0,343031+x ），则切线的斜率k=0|x x y ='=2 0x ， ∴切线方程为) ()(02 0343 031x x x x y -=+-， ∵点P(2,4)在切线上， ∴) 2()(402 0343 031x x x -=+- 解得x 0=2或-1， 故所求的切线方程为：4x-y-4=0或x-y+2=0。 变式：从点（-1，1）向曲线13 +=x y 引切线，试求切线的方程。
求曲线在点处切线方程
一、求曲线32 31y x x x =-+-在点(2,3)P -处的切线方程. 二、已知成本C 与产量q 的函数关系式为C=2q 2+5,求产量q=80时的边际成本. 三、确定抛物线方程2y x bx c =++中的常数b c 、,使其与直线2y x =在2x =处相切. 四、求下列函数的单调区间: 1. 42()23f x x x =-- 2. 32()23f x x x =- 3. 42()23617f x x x =-+ 五、求下列函数的极值: 1. 32()23121f x x x x =+-+ 2. 32()(10)f x x x =- 3. 2()(2)f x x x =- 4. 32()32412f x x x x =+-+ 六、求下列函数在指定区间上的最大值和最小值: 1. 32()23121f x x x x =+-+,[3,3]x ∈- 2. 32()2153624,[1,4]f x x x x x =-+-∈ 3. 543()551,[1,2]f x x x x x =-++∈- 七、设函数3232y x ax bx c x x =+++=-=在处有极大值,在处有极小值-10,求常数a b c 、、, 八、函数3226[2,2]y x x m =-+-在区间上有最大值3,求它的最小值 九、三次函数()f x 当3x =时有极小值0,又:曲线()y f x =上点(1,8)处的切线过(3,0)点. 求()f x 的表达式 十、要靠墙建造6间猪圈(如图),若新砌墙的总长度 为36米,求每间猪圈的最大面积 【导数的应用练习题(文科)答案】 一、2|1,50.x k y x y ='==--=方程为 二、8080|4|320q q C q =='==.
求曲线在点某处或过某点的切线方程
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 求曲线在点某处或过某点的切线方程 1.求曲线在某点处的切线 例1．求曲线3 3y x x =+在点(2,14)P --处的切线方程 分析：由在点(2,14)P --处的切线，可知(2,14)P --是切线的切点。由导数的几何意，可得切线的斜率等于函数3 3y x x =+在2x =-处的导数，再由直线的点斜式方程可求得切线方程 解：由' 2 ()33f x x =+，得切线的斜率为' (2)15k f =-=， 所以切线方程为1415(2)y x +=+，即1516y x =+ 归纳：这类问题就是已知点P 是切点，求切线方程。可以先求出函数在该点处的导数，它也就是切线的斜率，再运用直线的点斜式方求出切线方程 练习：求曲线12ln(21)y x =++在点(0,1)P 处的切线方程 解：由14 ()2(21)2121 f x x x x ''=? ?+= ++，得 切线的斜率为(0)4k f '==，故所求的切线方程为 14(0)y x -=-，即410x y -+= 2.求曲线经过点P 处的切线方程 例2．已知曲线C ：3 ()2f x x x =-+，求经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程 错解：由' 2 ()31f x x =-，得'(1)2k f ==， 所以所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =。 错因剖析：此处所求的切线只说经过P 点，而没说P 点一定是切点，于是切线的
2斜率 k 与'(1)f 不一定相等。比如（如图）当02x π≤≤时，正弦曲线sin y x =在点P 处 的切线 只有一条：1l ；而经过点P 的切线却有两条：1l 与2l 。 正解：设经过点P （1，2）的直线与曲线C 相 切于点00(,)x y ，则由'2 ()31f x x =-， 得在点00(,)x y 处的斜率'2 00()31k f x x ==-， 有在点00(,)x y 处的切线的方程为 2000(31)()y y x x x -=--。 又因为点00(,)x y 与点P （1，2）均在曲线C 上， 有3 0002 00022(31)(1) y x x y x x ?=-+??-=--??，消去0y 得32 0000(31)(1)x x x x -=--， 解得01x =或012x =- ，于是2k =或1 4 -， 所以所求切线方程为2y x =或19 44 y x =-+。 归纳：求曲线经过点P 处的切线方程的方法 （1）解题步骤：（1）设出切点坐标00(,)x y ；（2）列关于0x 与0y 的方程组，求解方程组，进而求切线斜率；（3）写出问题的结论。 （2）上述列方程组的方法是根据下面三个条件：①切点在曲线上，②已知点在切线上，③切点处的导数等于切线斜率 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王*
曲线上一点的切线方程
'点的切线方程定理 设曲线上一点P(x o,y o),下面就是各种常用曲线上的点的切线方 程。一，圆的切线方程1圆心在原点的圆： 2 X o X V O V r 2,圆心(a, b)的圆(X (X o a)(x a) (V O a)2 b)(y b) (y r2的切线方 程： b)2r2的切线方程 2 r ，椭圆上一点P(X o,y o)的切线方程 2 1,焦点在X轴上椭圆笃 a 2 2,焦点在y轴上椭圆爲 a 2 ￥ 1的切线方程：竽 b a 2 冷1的切线方程：辔 b2a2 V o V 1 b2 ' X o X 1 斎 1 ，双曲线上一点P(x o,y o)的切线方程 x 2 1,焦点在X轴上双曲线冷 a 2 2,焦点在y轴上双曲线每 a ■4 1的切线方程：竽 b a 2 笃1的切线方程：辔 b a V o V 1 了 1 X o X b2 1 四，抛物线(P 0)上一点P(x0, y0)的切线方程 1,焦点在X轴正半轴上2,焦点在X轴负半轴上3,焦点在y轴正半轴上4,焦点在y轴负半轴上 2 y 2 y 2 x 2 x 2 px的切线方程:y0y 2px的切线方程:y0y 2py的切线方程：X0X 2 py的切线方程:x0x p(x x o) P(X X o) p(y y o) p(y y o) 1
椭圆上一点的切线方程推导 ** 2
3 斜式得切线方程为: y y o k(x X o ) 联合抛物线方程，有: y ： k(x x o ), 消去y,整理，得: y 2p x, 2 2 2 (y o k X o 2kx o y o ) 0, k 2x 2 2(k 2 X o ky o 相切， O, 即:[2(k 2 X o ky o p)]2 4k 2 (y 。2 k%2 Zk^y 。)O, P)x 整理，得：2x o k 2 2y o k p O, 抛物线的切线方程的推导过程 设过抛物线y 2 2px 上一点M(x o ,y o )的切线的斜率为k,贝y ，由点
用导数求切线方程的四种类型
用导数求切线方程的四种类型 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．例1 曲线在点处的切线方程为（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ． 解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线的平行的抛物线的切线方程是（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ． 解：设为切点，则切点的斜率为． ． 由此得到切点．故切线方程为，即，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线上的点的切线方程． 解：设想为切点，则切线的斜率为． 切线方程为． ． 又知切线过点，把它代入上述方程，得． 解得，或．
故所求切线方程为，或，即，或． 评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 求过点且与曲线相切的直线方程． 解：设为切点，则切线的斜率为． 切线方程为，即． 又已知切线过点，把它代入上述方程，得． 解得，即． 评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性． 例5 已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程． 解：曲线方程为，点不在曲线上． 设切点为， 则点的坐标满足． 因， 故切线的方程为． 点在切线上，则有． 化简得，解得． 所以，切点为，切线方程为． 评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．
曲线上一点的切线方程
1 曲线上一点的切线方程定理 002222 00222200(,),1,:2,(,)()()()()()()P x y x y r x x y y r a b x a y b r x a x a y b y b r +=+=-+-=--+--=设曲线上一点下面就是各种常用曲线上的点的切线方程。一，圆的切线方程 圆心在原点的圆：的切线方程圆心的圆的切线方程 0022 00222222 0022220022 0022222200222(,)1,11 2,11 (,)1,11 2,1P x y x x y y x y x a b a b y y x x y x y a b a b P x y x x y y x y x a b a b y y x x y x y a b a b +=+=+=+=-=-=-=-二，椭圆上一点的切线方程 焦点在轴上椭圆的切线方程:焦点在轴上椭圆的切线方程:三，双曲线上一点的切线方程 焦点在轴上双曲线的切线方程:焦点在轴上双曲线的切线方程:21 = 00200200200200(0)(,)1,2:()2,2:()3,2:()4,2:()p P x y x y px y y p x x x y px y y p x x y x py x x p y y y x py x x p y y >==+=-=-+==+=-=-+四，抛物线上一点的切线方程 焦点在轴正半轴上的切线方程焦点在轴负半轴上的切线方程焦点在轴正半轴上的切线方程焦点在轴负半轴上的切线方程
椭圆上一点的切线方程推导 2
3 抛物线的切线方程的推导过程 设过抛物线22y px =上一点M(x 0,y 0)的切线的斜率为k,则，由点斜式得切线方程为：)(00x x k y y -=- 联合抛物线方程，有：整理，得：消去,,2), (2 00y px y x x k y y ? ? ?=-=- , 0)2(4)](2[0,0)2()(2002 022 022002002 022 000222=-+?-+--=?∴=-+++--y kx x k y k p ky x k y kx x k y x p ky x k x k 即：， 相切，Θ 整理，得：,022020=+-p k y k x
过一点求曲线的切线方程的三种类型
舒云水 过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒ 1.已知曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x P ，求曲线在该点处的切线方程﹒ 这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率，后写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，并化简﹒ 例1 求曲线33)(23+-=x x x f 在点)1,1(P 处的切线方程﹒ 解：由题设知点P 在曲线上， ∵x x y 632-='，∴曲线在点)1,1(P 处的切线斜率为3)1(-='f ，所求的切线方程为)1(31--=-x y ，即43+-=x y ﹒ 2. 已知曲线)(x f y =上一点))(,(11x f x A ，求过点A 的曲线的切线方程﹒ 这种类型容易出错，一般学生误认为点A 一定为切点，事实上可能存在过点A 而点A 不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为))(,(00x f x P ，先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率（用0x 表示），写出切线方程 )(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，再将点A 坐标),(11y x 代入切线方程得)(01x f y -=)(0x f ')(01x x -，求出0x ，最后将0x 代入方程 )(0x f y -=)(0x f ')(0x x -求出切线方程﹒
过圆锥曲线上一点的切线方程的另解
过圆锥曲线上一点的切线方程的另解 先看一个具体问题： 求过椭圆1342 2=+y x 上一点)23,1(P 的切线方程． 在中学阶段解决此类问题，一般采用?方法，即设切线方程为)1(23-=-x k y ，代入13 42 2=+y x ，整理得关于x 的一元二次方程： 03124)128()43(2222=--++-++k k x k k x k ， 通过判别式?＝0)3124)(43(4)128(2222=--+-+-k k k k k ，解得2 1-=k ，故所求切线方程为042=-+y x ． 这种方法思路直，用到知识少，学生容易掌握，不足之处是运算量偏大，出错率高．那么能否给出一种求解思路简单，而运算量又较小的方法呢？ 命题：),(00y x P 为圆锥曲线0),(:=y x f C 上一点，则曲线C 上过P 点的切线方程为0)2,2(),(00=---y y x x f y x f （＊） 证明：因0),(=y x f 为二次曲线方程，知方程（＊）代表的是一条直线，记为l ．假设直线l 与曲线C 除了点),(00y x P 外还有一个公共点),(111y x P ，则有0),(11=y x f 和0)2,2(),(101011=---y y x x f y x f 同时成立，从而0)2,2(1010=--y y x x f ，这 表明),(111y x P 关于点),(00y x P 的对称点)2,2(10102y y x x P --也在曲线 C 上，因1,P P 点在直线l 上，故2P 点也在直线l 上，可见直线l 与曲线C 有三个公共点，这与直线与二次曲线最多只有两个公共点矛盾，从而证明了直线l 与曲线C 有且只有一个公共点． （１）当0),(=y x f 表示椭圆时，由于椭圆是封闭曲线，直线l 就是切线，方程（＊）即为切线方程． （２）当0),(=y x f 表示双曲线时，只要断定直线l 与双曲线的渐近线不平行，就能证明直线l 就是切线，方程（＊）为其切线方程． 设双曲线C 方程：)0,0(122 22>>=-b a b y a x ，则方程（＊）： 020********=-+-x b y a y y a x x b ． 当00≠y 时，其斜率0202y a x b k =，因渐近线斜率为a b ±，若a b y a x b =0202 或 a b y a x b -=0 202，则,000=-ay bx 或,000=+ay bx 从而0202202=-y a x b ，与
浅谈过圆上一点求圆的切线的方法
浅谈过圆上一点求圆的切线的方法 近日在带领学生复习《圆的方程》一章时，遇到这样一个问题：已知圆的方程为x2+y2=25，求过点（3，4）的圆的切线方程。本人通过一种简易的方法通过口算即得出答案：3x+4y-25=0.求解圆的切线方程的问题，是高考的考点，也是平时学习的重点，求圆的切线过程比较复杂，运算麻烦，所以容易出错，是学生比较头疼的一个问题，在求圆的切线问题中有两种情况，一种是求过圆外一点求圆的切线，另一种种情况是求经过圆上一点求圆的切线方程问题，本人对第二种情况进行了归纳、推导，得出快速求解的方法，此方法针对高三学生应对高考中此类问题有实际意义，故介绍如下。 设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，经过圆上一点（x0，y0）的切线方程是什么？，我们把圆的方程写成（x-a）（x-a）+（y-b）（y-b）=r2形式，把其中一个x换成x0，一个y换成y0，则得到（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2，然后整理成直线方程的一般形式即得到所求切线的方程。此法在学生高考中快速解决求圆上点的切线问题提供了一个途径，学生可应用此法快速解决选择题，填空题，或者用它来检验分析解答题的答案是否正确。此方法的特点是速度快，不易错，容易上手。 下面就上面介绍的方法的理论依据进行推导：先从简单情况入手，当a=0，b=0时，那么圆的圆心在原点上，圆的方程为x2+y2= r2，设点（x0，y0）在圆上，如上图所示，那么经过这个点的直径与切线互相垂直，两者斜率互为负倒数即K直径=y0/ x0， K切线=—x 0/ y 0，又因为切线过点（x0，y0），根据点斜式直线方程得： （y— y0）=—x 0/ y 0（x— x0），整理得方程x0 x+ y0 y=x02+ y 02，由于点（x0，y0）在圆上且圆心在原点，所以x02+ y 02=r2，由此我们得到所求切线方程为x0 x+ y0 y=r2，即我们所讨论的方法的特殊形式（圆心在原点）。在此基础上，我们又推想圆心不在原点的圆的切线方程的推导方法，设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，求经过圆上一点（x0，y0）的切线方程，我们以（a，b）为坐标原点建立新坐标系x‘o‘y‘，新坐标系与原坐标系的坐标之间关系为x‘=x-a，y‘=y-b，则（x0，y0）在新坐标系中的坐标为（x0‘，y0‘），x0‘=x0-a，y0‘=y0-b，在新坐标系中圆的方程为x‘2+y‘2= r2，根据第一种情况推导出结论：经过（x0‘，y0‘）点的切线方程为x0‘x‘+y0‘y‘= r2，然后根据坐标之间的关系转换到原坐标系方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2。 以上推导方法的原理为过圆上点的切线与过该点的直径互相垂直，通过垂直直线间的斜率关系K1K2=-1可以得到切线的斜率，然后应用点斜式求解直线方程，第二种情况是在第一种情况的基础上，借助坐标变换得出的，在新坐标系中构建出第一种情况的模型，然后利用坐标变换还原到原来的坐标系中，这种方法化简了推导过程，解决了运算的困难，取得深入浅出的效果。