函数概念教学的案例分析

函数概念教学的案例分析

胜利二中北校区刘兵

函数概念是高中数学重要的概念之一，其思想充斥在代数的各个方面。初中学生虽已接触过函数的概念，但那时仅对函数的概念描述性了一下，无定义域与值域可言。高中数学给函数定义一新的内涵，增加了“对应法则”和“定义域与值域”，又解释为“函数实际上是集合Ａ到集合Ｂ的映射”，由描述性语言过渡到集合映射语言。因此高中函数概念是在新的高度去同化与提升原有概念。函数概念的教学，如何激活学生原有的知识，让学生参与概念发展的全过程，以达到理解和掌握概念的教学目的，以下是一名教师关于一个函数概念教学的案例与分析。

一、案例背景：

函数概念是学生较难理解的一个难点，铁别是普通高中学生，学习的积极性、主动性乃至学习成绩相对较差，因此，如何通过函数教学，让学生不但学好函数概念，理解静与动的辩证关系，而且要培养学生学习数学的兴趣，达到教与学的双丰收。

二、组织教学：

师：鼓励学生不怕困难、勇于探索，采用自学导引组织教学。先和学生回顾初中函数概念及正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的解析式，以此提出问题，投影显示：

师：这些问题的解决对学生是一个挑战，函数例子的判定与学生已有知识发生冲突，需要对函数概念的深入理解。

学生的主要错误可能出现在：y=1(x∈R)不是函数，因为式子中没有自变量x。问题2的两个函数是同一函数,因为经过约分两式是相同的。

师：请学生关注刚发下的自学导引学案：

（ 1）学生新入学，开学初要分配座位，每一位同学指定这个班的教室里唯一一把椅子。（ 2）住校生分配宿舍，给每一位住校生指定学生宿舍里唯一一个床位。

（ 3）集合A到B的对应：乘2

（4）集合A到B的对应：求平方

（5）集合A到B的对应：求倒数

实施任务：

师：观察、讨论上面的对应都有什么样的特点？上述五个例子有什么共同点？同桌间相互交流

学生观察例子时，教师在巡视，大多学生观察、思考，也有的学生不知所措，找不到解决问题的思路，同学交流众说纷纭，意见不一致，教师找了一位平时成绩较好的学生回答问题：生：一个变量在某一范围内每取一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应。师：肯定了学生的回答，并对（1）、（2）作图示分析，以加深学生对一一对应的理解；同时师生一起回答(3)、(4)、(5)的对应为一对一、二对一、一对一。接着采用自学导引，直接用文字表述抽象出函数概念及函数三要素（定义域、值域、对应法则），并指出两个函数当且仅当他们的定义域、值域、对应法则完全相同时才是同一函数。函数概念在学生不经中引出，从而降低了难度，然后检查学生是否理解概念。请学生观察(3)、(4)、(5)，并指出定义域、值域、对应法则分别是什么？学生回答（3）中值域为｛1，2，3，4，5，6｝，显然出现了问题，一句定义正确地予以纠正，显然应去掉集合中的1、3、5才符合定义。布置学生说出“正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的定义域、值域和对应法则”。并及时纠正出现与定义相悖的地方。

投影显示：

理解函数的定义，应该注意：

① 函数是非空数集到非空数集的一种对应

② 符号“f:A B”表示A到B的一个函数，其三要素：定义域、值域、对应法则三者缺一不可。

③ A中数去只有任意性，B中数的必须有唯一性

④ f表示对应关系，不同函数，f含义不一样

⑤ f(x)是一个符号，不代表f与x的乘积，还可用g(x),F(x)等表示

回答前面提出的两个问题：

生甲： y=1（x∈R）是一个函数

学生训练：例 1，求下列函数定义域：

因为时间关系，教师讲了（1）（2）例题后，就下课了，布置完作业后，结束任务。

三、案例分析：

从教师的数学任务框架来看，他要求学生理解函数的概念，掌握函数三要素，会求函数定义域，这些对学生都是具有挑战性，所以本节课的教学任务。但在数学教学过程中，教师并没有保持高水平的任务，在组织学生由(1)、(2)、(3)、(4)、(5)自主建构导出函数概念时，所花的时间较少，没有帮助一般学生深入理解；问题1、问题2对学生是具有挑战性的，在很多学生还没有真正参与进去的时候，教师以成绩优秀的学生思维代替一般学生的思考；师生解决(3)、(4)、(5)定义域、值域、对应法则后，对定义域、值域这两个概念讲解只停留在表面，没有深化，对值域C B也没点清楚；写成y=kx等教师讲评时，也没有让学生暴露自己的思维过程，而只是订正，重点转移到答案正确与否。整堂课下来，虽然采用了自学导引学案、投影、积极开展师生交流，但教师更关注的是自己的思维及本堂课的教学进度，把高水平“做数学”的任务降为低水平的程序型。影响本节课的因素如下：

(1)挑战成了无问题行为：问题1、问题2对学生是具有挑战性的，为了解决这两个问题，学生必须深层次理解函数概念。理解这一概念一般要经历：识别不同事物→从一类相同事物

中抽出共性→将这种共性与记忆中的观念相联系→同已知的其它概念分化→将本质属性一般化→下定义等过程。所以函数概念建构是“只可意会而不可言传”的，必须通过学生的内化才能完成。然而老师没有保持问题的复杂性，降低了难度，大部分学生只是按照老师设计的问题回答，轻描淡写的过去了，对函数的概念形成是由教师设计好的学案直接给出。事实上，课后很多学生对函数的概念还是一知半解，自然在解决问题时错误百出。

(2)没有督促学生保持高水平的认知过程：由学生观察五种对应，得出共同点时，有些学生不知道如何去做，显得有些焦虑，老师没有促使学生努力建构，也没有给学生搭脚手架，而是更关注课堂教学进度，以成绩优秀的学生思维代替一般学生的思考。自学导引学案中的(1)、(2)、(3)、(4)、(5)五种对应，都是具体、特殊、有限的，从特殊到一般这是一个质的飞跃，它需要学生经历大量体验后才能主动建构知识，参与知识产生和形成的全过程。(3)未在概念间建立联系：函数概念的教学实际上是在初中学习的基础上进行的同化教学，所以函数概念应与初中概念紧密联系，集合A中的自变量x对应集合B中应变量y，对应关系一定要让学生理解。看到函数就该想到函数的定义域、值域，定义域求法是本节课重点之一，值域求法是难点之一，应注意联系。然而这次课教学设计忽略了这个基础。

4)教学重点转移到答案正确与否：教师在学生解决函数的定义域、值域时，未关注学生思维，而只是简单订正，在讲解例(1)、(2)时，也只关注程序及答案正确与否。教师关注模仿和反复的练习，认为这能使学生掌握知识，从而得到正确答案。

(5)未建立在学生已有的基础之上：教师更多的关注讲述自己的思维过程而不是倾听学生的思维过程，对学生的知识水平估计过高，跳跃太快，题目梯度不大，容量较大，过度稍快，学生有些还是不清楚。

(6)时间：由于教师过于关注教学进度，结果让学生自主建构函数概念的时间太少。

四、启示：

导出函数概念后，对函数、函数的定义域、值域关系，要点清楚，定义域是重点，函数的性质都是在定义域内研究的，值域是一个难点，本节课应着重讲清这几个概念。由学生展示高水平思维同时，也要发解一般同学的理解程度。

通过对一次公开课的案例分析，它给我们的帮助是明显的，我们的教师要即时总结教学经验，坚持理论与实践的结合，坚持长期的学习、积累，才能厚实我们的专业基础，提高教学水平，才能形成自己的教育思想、教学风格，成为专家型的教师。