数学实验教程_实验11(线性方程组及向量组的线性相关性)

实验11 线性方程组及向量组的线性相关性

实验目的

1．掌握齐次线性方程组的通解的求解方法

2．掌握非齐次线性方程组的特解和通解的求解方法

3．利用向量组线性相关与无关的几何演示，加深理解线性相关与线性无关的概念4．掌握向量组的秩和最大线性无关组的计算方法

5．理解线性方程组的解的结构的几何意义

实验准备

1．复习线性方程组的解法及其表示；

2．复习向量的基本运算、向量的线性组合及线性表示

3．复习向量组的线性相关（无关）、向量组的秩和最大线性无关组的求法等

4．复习向量空间的基及维数

实验内容

1．线性方程组的解法

2．向量的基本运算及线性组合

3．向量组的线性相关性的判别

4．向量组的秩和最大线性无关组的求法

5．线性方程组的解的结构

软件命令

表11-1 Matlab向量操作命令

实验示例

- 66 - 第一章 基础实验

【例11.1】 线性方程组的解法

求下列线性方程组的通解

1．23045607890x y z x y z x y z ++=??++=??++=?； 2．23024603690x y z x y z x y z ++=??++=??++=?；3．2314254240x y z x y z x y z -+=??

-+=??-+=?

；

4．2312264257x y z x z x y z -+=??+=??++=?； 5．26767971411725979361625225

x y z w x y z w x y z w x y z w +++=??+++=?

?+++=??+++=?。

【原理】线性方程组Ax b =的求解可以分为两类：一类是齐次线性方程组；另一类是非齐次线性方程组。无论哪一种类型，都需要先判断出该方程组的解的分布情况：唯一解？无解？无穷多解？，然后在进行求解。具体如下（n 为未知量的个数）：

【判别原理】：（1）若()(,)R A R A b n ==，则方程组Ax b =有唯一解；

（2）若()(,)R A R A b n =<，则方程组Ax b =有无穷多解； （3）若()(,)R A R A b ≠，则方程组Ax b =无解。 Matlab 命令：rank(A),rref(A,b)。

【求解方法】原理：高斯消元法。将增广矩阵化成行最简形，然后求解。 【步骤】：Step1:当Ax b =有唯一解时，可采用如下两种方法之一

● 利用命令：x=A\b ；

● 利用命令：x=linsolve(A,b)；

● 利用LU 、QR 、Cholesky 分解命令：x=U\(L\b)；x=Q\(R\b)；x=R\(R'\b) Step2: 当Ax b =有无穷多解时，可以采用下述方法

● 利用命令：null(A,'r')；

● 第一步，利用z=null(A,'r')求出0Ax =的基础解系；

第二步，利用A\b 或者rref([A,b])或者linsolve(A,b)求出Ax b =的一个特解；

第三步，利用Ax b =的解的结构理论构造处通解。

Step3：（3）当Ax b =有无解时，可以采用下述方法求出最小二乘解

● 命令：x=(A'*A)\(A'*b)； ● 命令：x=linsolve(A,B,opt)

实验11 线性方程组及向量组的线性相关性 - 67 -

【程序】：

【程序1】：LinearSysYesorNo.m

% 调用方式： str=LinearSysYesorNo(A,B)

% 判断线性方程组 Ax=b 是否有解 % 输入：系数矩阵 A ，右端矩阵 B

% 输出：解的判别的三种情况：唯一解、无解、无穷多解 中的一种。 【程序2】：SolveLinearSys.m

% 调用方式： x=SolveLinearSys(A,b)

% 求解线性方程组 Ax=b % 输入：A , b % 输出：x

% 说明：利用高斯消元法求解线性方程组 Ax=b 【程序3】：Exm12Demo02.m

% 调用前面的函数，具体求解 。

【例11.2】参数方程求解

试就参数λ的各种情况，讨论下述线性方程组的解的情况：

21

x y z x y z x y z λλλλλ?++=?

++=??++=?

。 【方法一】：根据方程组的特殊性：m=n ，先利用Cramer 法则确定唯一解；然后分别讨论无解和无穷多解的情况。

syms a;

A=[a 1 1;1 a 1;1 1 a]; B=[1;a;a^2]; det(A)

factor(det(A)) solve(det(A))

因此，由Cramer 法则，当2

(2)(1)0λλ+-≠，即2,1λλ≠-≠时，有唯一解；

下面讨论其否定情况，即21λλ=-=或时原方程组的解的情况：

当2λ=-时，将2λ=-代入上面A 和B 中的a ，利用【例12.1】中的函数计算：

A=[-2 1 1;1 -2 1;1 1 -2]; B=[1;-2;4];

LinearSysYesorNo(A,B) SolveLinearSys(A,B)

可得此时，方程组无解，最小二乘解为[1;2;0]；

当1λ=时，将1λ=代入上面A 和B 中的a ，利用【例12.1】中的函数计算：

A=[1 1 1;1 1 1;1 1 1];

- 68 - 第一章 基础实验

B=[1;1;1];

LinearSysYesorNo(A,B) SolveLinearSys(A,B)

可得此时，方程组无穷多解，解为[1-c1-c2;c1;c2]。 【方法二】：直接对增广矩阵做初等行变换，变成类似行阶梯型矩阵，然后根据秩讨论。（这里需要调用三个小程序：swaprow(A,r,s)，scalerow(A,r,t)，replacerow(A,r,s,t)）： 【主程序】：Exm12Demo02.m

【子程序】：swaprow.m ；scalerow.m ；replacerow.m

% 调用方式： Y=swaprow(A,r,s)

% 交换矩阵 A 的第 r 行和第 s 行 % 输入：矩阵 A ；行号：r ，s % 输出：交换后的矩阵 Y

% 调用方式： Y=scalerow(A,r,t) % 比例行

% 输入：矩阵 A ；非零数 t ； % 输出：矩阵 Y

% 调用方式： Y=replacerow(A,r,s,t)

% 替换行：A 的第 s 行乘以数 t 加到第 r 行上 % 输入：矩阵 A ；行号 r 和 s ，数量 t % 输出：Y

【注意】：含有参数情况的线性方程组的解的情况讨论，不能直接使用Matlab 中的函数：rank,rref,因为Matlab 会默认这些参数及其表达式不等于零。因此，应该编写独立的过程加以讨论。

【例11.3】向量组的线性相关性的判别法、秩和最大线性无关组的求法

判断下列向量组的线性相关性，并求其秩和一个最大线性无关组。 1．1234(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),(1,2,1,1)αααα==-=--=；

2．123451202125111,,,,0334236073ααααα????????????????????

---??????????=====??????????-??????????-??????????

。

【原理】：向量组的秩与向量组中向量的个数之间的关系： 若两者相等，则线性无关；否则线性相关。

【最大无关组】：列向量组构成的矩阵的主元列。 【主程序】：Exm12Demo03.m

% Exm12Demo03.m : 判断向量组的线性相关性

% 第一个向量组

A=[1 2 1 3;4 -1 5 6;1 -3 -4 7;1 2 1 1]';

实验11 线性方程组及向量组的线性相关性- 69 -

LinearDependance(A)

% 第二个向量组

A=[1 2 0 2 1;-2 -5 1 -1 1;0 -3 3 4 2;3 6 0 -7 3];

LinearDependance(A)

【输出结果】：

1：线性无关，最大无关组为其本身!；

2：线性相关，最大线性无关组可以取为第1,2,4,5列向量。

【子程序】：LinearDependace.m

% 调用方式： LinearDependance(A)

% 判断矩阵 A 的列向量组的线性相关性和最大线性无关组

【例12.4】线性方程组的解的结构

运行下面的程序，利用Matlab中的图形翻转工具观察下列线性方程组的解的全体组成

的集合在三维几何空间中的图像。

1．

320

50

3580

x y z

x y z

x y z

++=

?

?

++=

?

?++=

?

； 2．

231

4254

241

x y z

x y z

x y z

-+=

?

?

-+=

?

?-+=-

?

。

【步骤】：

问题2

线性方程组的解的结构

- 70 - 第一章 基础实验

实验练习

1. 解下列方程组：

（1）220

31230

820

21240

x y z x y z x y z x y z ++=??-++=?

?-+=??++=?；（2）232243843822238x y z w u x y z w u x y z w u -+--=??-+--=??++--=?。

2．试就参数,λμ的各种情况，讨论下述线性方程组的解的情况：

231363315351012x y z w x y z w x y z w x y z w λμ

+++=??+++=?

?

-++=??--+=?。 3．判断下列向量组的线性相关性，并求其秩和一个最大线性无关组。

1234(6,4,1,1,2),(1,0,2,3,4),(1,4,9,16,22),(7,1,0,1,3)αααα=-=-=--=-。