马芯兰数学教学法的研究与实践

马芯兰数学教学法的研究与实践——小学数学教学与创新能力的培养

目录

第一部分理论研究与教学实践

第一章绪论

第一节数学的本质

第二节数学教学与思维发展

第三节马芯兰数学教学法

第二章活动与思维一一抽象思维的起步

第一节对“数位” “计算单位”的认识与“数位筒”的教学

第二节“和” 一一小学生数学认识的第一个基本概念

第三章数学概念教学

第一节数学知识的内在联系及其概括性、结构性

第二节把最基本概念放在中心位置

第三节几个基本概念的教学一一“同样多”、“份”、“倍”等第四章计算技能的形成与训练

第一节计算技能形成的过程

第二节技能训练的特点

第五章知识的迀移与渗透

第一节小学数学知识的网络

第二节备课要从整体来把握教材

第三节迀移的概念及其在数学教学中的运用

第四节渗透是对迀移教学的创新

第六章形象思维的发展

第一节图形教学与形象思维的发展

第二节应用题教学中的线段图教学

第七章小学生数学能力的结构与培养（上）

第一节技能与能力

第二节概念教学是发展数学能力的基础

第三节“问题结构”教学第四节如何进行应用题问题结构教学

第八章小学生数学能力的结构与培养（下）

第一节解应用题过程的分析、推理能力

第二节解题灵活性的培养

第三节小学数学能力的结构

第九章小学生数学创新能力的培养

第一节数学创新能力

第二节能力和创新能力

第三节马芯兰把能力培养和创造性思维的培养统一起来

第二部分优秀教学个案选

1、整体与部分的关系

2、100以内数的认识

3、大小数的关系

4、万以内数的认识

5、整体与部分应用题训练

6、9的乘法口诀

7、有余数除法

8、倍的初步认识

9、认识两步应用题

10、长方形和正方形的面积

11、分数的初步认识

12、小数的意义

13、分数单位

14、能被2、3、5整除的数

15、工程问题应用题

16、分数应用题训练

第三部分附录

1、“马芯兰数学教学法推广实验研究”结题报告

2、马芯兰著作目录

3、马芯兰教学实录（光盘）目录后记

前言

马芯兰同志在上世纪70年代末和80年代初，对小学数学进行了两轮创造性的改革实验，实验取得巨大的成功：教学时间明显缩短，教学质量显著提高，学生学习兴趣浓厚，思维和能力得到很大增强。深入的系统的改革，创造了新的数学教学法一一马芯兰数学教学法。1984 年，北京市原教育局发出向马芯兰同志学习的通知，组织人员编写小数数学实验教材，在全市开展推广实验。全国先后有24个省市2700多学校进行推广实验，取得令人瞩目的效果。

马芯兰数学教学法是对小学数学教材、教法的全面创新，内涵丰富，具有鲜明的时代性和前瞻性。马芯兰是把思维放在学科教学的中心的第一人，也是把培养能力和创新能力落实到学科教学的第一人。她改革的主要经验是：第一、以思维为中心，抓概念教学，构建学生良好的知识结构。第二、在基本概念和技能基础上，通过思维训练，培养数学能力和创新能力。

笔者学习、研究马芯兰教学思想二十年，获益匪浅。研究、总结优秀教师教育、教学的先进经验，是有中国特色社会主义教育的重要组成部分。北京市朝阳实验小学非常珍惜马芯兰同志教学改革的宝贵思想财富。教师们都在努力学习她这种在教学中刻苦钻研、不断创新的精神，学习她热爱教育事业、热爱学生、无私奉献的敬业精神。全体数学老师认真学习，努力实践马芯兰数学教学法，并且在马芯兰老师指导下，用了两年多时间撰写了这本书一一《马芯兰数学教学法的研究与实践》。该书比较好地体现了马芯兰数学教学法的精髓。该书的出版，对推进素质教育，实现教育现代化，都有十分重要的意义。

温寒江

第一章绪论

第一节数学的本质

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，事物的数量和空间形式是事物的重要特征。随着生产力、科学技术的不断发展，人们愈来愈多地要求对自然现象作定量的研究，辩证法中“量变质变规律”，就是总结了自然界、社会和思维发展的一条普遍规律。形状与结构是物体的一个基本特征，脑科学的研究认为，形状与结构的视觉分析，在人的视感知中起着首要作用。因此，对客观事物的数量的关系和空间形式的研究，是对现实世界深刻的反映，它对于人类认识自然和改变自然起着十分重要的作用。因此，数学成为学生学习的一门基础课程。

客观具体事物是多种多样、形形色色的，数学的研究舍弃它的具体内容和质的特点，只研究其数量的或空间形式的关系和规律。比如说，三个人、三张桌子、三块布。我们不是去研究三个人是男人或女人，三张桌子是书桌或餐桌，三块布是白布或是花布等等内容，而是研究它们共同的数量“三”，研究这个数和其它数的关系。又如一堵长方形的墙、一块长方形的黑板、一张长方形的纸，我们不去研究这堵墙、这块黑板、这张纸用什么材料做的，它的质地等等，而只是研究“长方形”和其它图形的关系。正是由于数学的这个本质特点，必然导致数学的研究是抽象的，它的推导是逻辑的。

数学的抽象性和逻辑性的特点，容易使人错误地认为数学是一门由纯粹的思维所产生而不是从经验中产生的科学，历史上就有这种错误的思想。我们必须指出，这种认识是错误的。数学是反映现实世界的，它的最初的基本的概念和原理，是以经验为基础的，关于这一点，恩格斯有精辟的论述：“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的。人们曾用来学习计数，从而用来做第一次算术运算的十个指头，可以是任何别的东西，但是总不是悟性的自由创造物。为了计数，不仅要有可以计数的对象，而且还要有一种在考察对象时撇开对象的其他一切特性而仅仅顾到数目的能力，而这种能力是长期的以经验为依据的历史发展的结果。和数的概念一样，形的概念也完全是从外部世界得来的，而不是在头脑中由纯粹的思维产生出来的。必须先存在具有一定形状的物体，把这些形状加以比较，然后才能构成形的概念。纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实。但是，为了能够从纯粹的状态中研究这些形式和关系，必须使它们完全脱离自己的内容，把内容作为无关重要的东西放在一边; 这样，我们就得到没有长宽高的点、没有厚度和宽度的线，a和b与x和y，即常数和变数；只是在最后才得到悟性的自由创造物和想象物，即虚数。甚至数学上各种数量的明显的相互导出，也并不证明它们的先验的来源，而只是证明它们的合理的相互关系。矩形绕自己的一边旋转而得到圆柱形，在产生这样的观念以前，一定先研究了一定数量的现实的矩形和圆柱形，即使它们在形式上是很不完全的。和其他一切科学一样，数学是从人的需要中产生的：是从丈量土地和测量容积，从计算时间和制造器皿产生的。但是，正如同在其他一切思维领域中一样，从现实世界抽象出来的规律，在一定的发展阶段上就和现实世界脱离，并且作为某种独立的东西，作为世界必须适应的外来的规律而与现实

世界相对立。社会和国家方面的情形是这样，纯数学也正是这样，它在以后被应用于世界，虽然它是从这个世界得出来的，并且只表现世界的联系形式的一部分一一正是仅仅因为这样，它才是可以应用的。”（马克思恩格斯选集.第三卷.北京.人民出版社.1973年版.77.78 页）

我们小学数学教学的实践，也充分地证实了上述观点。小学生开始学习数字时，是从实际操作起步的。学习1+1=2,老师指导学生反复地操作桌上的学具，一边操作，一边说。学习数位、计算单位时，老师指导学生操作“数位筒”，也是反反复复地操作的。这种从学生身边事物通过实际操作来认识数的方法，既符合数学本身的特点，也是符合儿童认知规律的。学生学习应用题，数字是从实际中来，然后又用来解决实际问题。这些都是反映了数学的本质。

第二节数学教学与思维发展

一、什么是思维

什么是思维？思维是人脑对客观事物在脑中的表征，即语言（符号）、表象，进行加工的一个认识过程，它既能反映、揭示事物的基本属性（本质）和事物间的规律性联系，又能预测、计划事物的未来。

定义包括了思维的两个基本属性和它的功能，思维的两个属性是：客观事物的信息，必须由人的头脑内部（体内）来表征，这表征物有语言（符号）、表象，第二，表征物是可操作的，即可加工的，以便人们进行推理并得到结论。思维的功能为：既能反映、揭示事物的基本属性或本质，和事物间规律性的联系，又能预测、计划事物的未来。

尽管人们由于研究上的需要，从不同的角度给思维做了多种不同的分类，但是从上述定义来说，思维基本分类就是抽象思维和形象思维两种，抽象思维以语言、符号作为思维的载体，思维方法主要有分析、综合，比较、分类，归纳、演绎等；形象思维以表象作为思维的载体，思维方法主要有分解、组合，概括、类比，联想、想象等。

两种思维（抽象思维、形象思维）是完全切合数学学科的特点的。数学是研究现实世界中数量的关系及空间形式和关系，一般地说，数的研究（代数、分析) 偏重用抽象思维，而形的研究（各类几何学科）则偏重用形象思维，有的学科，如解析几何是两种思维并用。可见，过去只重抽象思维而忽视形象思维，是不利于数学的学习的，不少学生对学习几何有困难，就是由于忽视图形的训练（形象思维）所致。要发展数学的思维，就要发展两种思维。

二、小学数学教学与思维发展

(一）培养学生数量的观念

当今社会生活，从经济活动、科学技术和日常生活，都离不开数学的运用和表述。从社会经济来说，如国民经济总产值（GDP)、国家综合国力、小康社会的标准等，许多项目都是用数字来表述的。科学技术更离不开数字，如量变质变规律，是指事物数量的缓慢的不显著的变化的积累可引起显著的质的变化，像水的形态随着温度而变化；元素的周期律是指化学元素的性质随着原子序和原子量的变化而呈周期性的变化，就是典型的例子。长江三峡大坝是项世界性大工程，它的规模只用两个数字就可说清楚，一是大坝电机机组数为26,二是每台机组的装机容量为70万千瓦。而人们的日常生活，无论衣、食、住、行处处都要同数字打交道。例如，你去找朋友，要记住他家街道号码、楼房号码和门牌号码，去旅游，要知道路程多远，要了解飞机、火车或汽车票价，以便作比较，如此等

等。

因此，要教育学生喜欢数字，学会用数字来提出问题、说明问题、解决问题，知道一些数字的妙用，记忆一些常用的数字，具有一个数字的头脑。

(二）培养儿童初步的逻辑思维

1、什么是逻辑思维？逻辑思维（形式逻辑）是指人们用概念、判断、推理过

程思维的方式、方法，如分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎等。概念是抽象思维基本单位和基础，概念反映事物某一层次的基本属性和本质特征，判断是展现概念的内涵，陈述概念间属性、特征的联系的思维形式。如“我们学校是一所小学”，“玫瑰花是红的”，“张三是一个好学生”等，而要揭示事物间这些特征及其联系，还要进行推理，运用一个判断或几个判断导出新的判断。三段论是推理常用的一种形式，例如，“所有儿童6岁都要上学，这个小孩已6岁了，这个小孩也要上学。”

人们运用概念、判断、推理进行思维的时候，怎样才能做到思路的确定性和前后一致性，而不发生思维的混乱和错误，形式逻辑总结千百年来人们进行推理活动的经验教训，形成了形式逻辑的三条基本规律：同一律、矛盾律和排中律。

同一律的内容和要求是：任何一个概念（思想）是与其自身的同一，即a=a，就是说，在思维的同一个过程中，必须保持一个概念的确定性，同一性。这是推理过程的基本要求，不然就会造成思想混乱。例如，“浸在酸性溶液中的试纸是红色，这张试纸是红色的，所以这溶液是酸性的”。这个推理是错误的，因为大前提是指浸在溶液中的试纸，而小前提的“这张试纸”没有明确是否在这溶液中浸过，二者不是同一个概念。

矛盾律的内容和要求是：在同一思想过程中，关于统一思维对象的两个相互矛盾的思想不能同时都是真的。（赵志武主编《思维科学研究》，北京，人民大学出版社，1999, 205)即a不能同时等于a又不等于a。就是说，思维的同一过程中，思想必须保持前后一贯，不能自相矛盾。

排中律的内容和要求：在同一思想过程中，关于同一思维对象的两个相互矛盾的思想不能同时都是假的。（同上），就是说对于同一思维对象的两个相互矛盾的思想，不能出现模棱两可，含糊其词的现象，不然就会造成思想上的混乱。

2、小学数学是小学中唯一的一门以培养和发展学生抽象思维（逻辑思维）为主的学科。儿童初入学时，脑子里没有抽象概念，问他们什么是圆的，他们会说，车轮是圆的，皮球是圆的，呼拉圈是圆的，等等，圆的概念是同具体的东西联系在一起的。让他们数数，他们掰着手指头来数。因此，抽象思维训练的起步是缓慢的。小学生入学后用了一个学期的时间学会了20以内的加减，即使如此，他们还没有完全理解加、减的意思。另一方面，数学学科的抽象性和逻辑性的特点，又是非常有利于逻辑思维的培养。因此，应根据学科内容，重点抓住概念教学和解应用题教学来初步培养和发展儿童的抽象思维。

概念是抽象思维的基础，概念教学对于抽象思维的发展有十分重要的意义。通过教学使学生从知识的联系中理解概念，通过概念的运用和训练深化概念，懂得概念的概括性，还要从不同表达形式训练中，掌握概念的确定性、同一性。例如要理解“每份数”的概念，可以通过理解例子“每堆有5个苹果”这句话的含义，引导学生用语言表述出：有一堆就有5个苹果，有5个苹果就是一堆，每堆5个，就是堆堆都是5个。

通过应用题教学，培养和训练学生的逻辑思维。在解题时，通过解题过程中，学生审题、说题意、分析题，培养学生严密的语言；通过解题过程，培养学生逻辑的分析、综合、判断、推理的方法。

(三）发展儿童的形象思维

儿童的思维主要是形象思维，形象思维是以表象为思维材料，通过对表象的加工进行思维的。有材料表明，幼儿在会说话以前，已有简单的形象思维了。幼儿在交往、游戏、观察中，通过视觉、听觉等感觉器官，感知周围的世界，积累了表象，对表象进行了加工，初步发展了形象思维。

脑科学的研究表明，视觉的图形加工早期阶段，是用事物的局部特征，如边、线、角、交叉等来表征的，而后高层次的加工是在不断地提取形状的精细部分。儿童到了6岁，由于儿童神经系统的发展，已能抓住事物较精细的特征，说明形象思维已得到了进一步的发展。

可见，小学生入学时，两种思维发展的基础是不同的。如前所述，抽象思维的发展是从头开始，而形象思维的发展则有了一定基础了。思维（形象思维）的发展和语言的发展是互相促进的。形象思维和语言的发展是儿童6岁入学的基础和科学依据。如果没有基本的形象思维的发展，小学生识字时，能认清字的结构和笔画吗？如果没有基本的形象思维的发展，学生能读懂句子吗？

儿童入学后，形象思维继续发展，语言成为发展形象思维的一门主要学科，数学的图形教学对于发展形象思维起着主要的不可替代的作用。通过大量识别几何形体及其图形和图形间的关系，发展儿童的形象思维和空间观念；通过面积计算和解应用题中线段图，初步培养数与形结合的数学思维。

(四）儿童创造性思维的发展

传统的数学教学中没有提出对小学生培养创新能力、发展创造性思维的任务。小学生能不能培养创新能力、创造性思维？我们应该如何理解。下面从三方面来加以阐述：

1、人人都有创造力

上世纪三、四十年代以来，许多国家（包括我国）对创造学进行了广泛的研究，取得了很大的成绩，一是澄清了长期以来人们关于创造、创造力的认识，抹去了人们思想中关于创造、创造力的神秘的色彩，而是确立了创造学的两大基本原理。这两个基本原理是：

(1) 创造力人皆有之。除极少数人因患有某些疾病、遗传病或精神不正常者外，每个正常的人都具有创造的潜力。

(2) 创造力可以训练。人的创造力是可以通过教育、训练、学习而激发出来，并且可以得到不断的提高。（温寒江.连瑞庆.构建中小学创新教育体系.北京. 北京科技出版社.2002.37)

人人都有创造力，儿童是不是也具有创造力呢？回答是肯定的。许多创造学家、心理学家都有这方面的论述。例如，德国创造学家海纳特说：“从人天资和使命来看，每个人均具有创造力，他们以不同的方式显示出来”，“一般地认为：①每个人都拥有创造力，只是大小程度各异；②领悟了创造行为的作用方式，在各行各业，几乎都能激发潜在的创造力量；③适宜的教育措施对唤起和促进儿童的创造力，起着关键性作用”（海纳特.创造力.北京.工人出版社.1956)。

杜威在《民主主义和教育》一书中，对怎样认识儿童的“创新”和“创造性” 问题，做了很有价值的论述。他说：“创新以及有发明意义的筹划，乃是用新的眼光来看这种事物，用不同方法来运用这种事物”。“衡量创造性的方法就是用别人没有想到的方法，利用日常习见的事物。新奇的是操作，而不是所用的材料”。关于儿童的创造性，他又进一步说：“一切能考虑到从前没有被认识的事物的思维都是有创造性的。一个三岁的儿童，发现他能利用积木做什么事情；或者一个六岁的儿童，发现他能把五分钱加起来成为什么结果，即使世界上人人都知道这种事情，他也是一个发现者。教师所要做的事，是使每一个学生有机会在有意义的活动中使用它自己的力量、心智、个人的方法，创造性表示有目的或有指导的活动性质。……如果说我们把一个所谓统一的一般方法强加给每一个人，那么除了最杰出的人以外，所有的人都要成为碌碌庸才”。（杜威，民主主义与教育，王丞绪译，北京人民教育出版社，1990，169，169，183—184)他的这些论述，阐明了创新教育，创造性思维的培养，应该而且可以从儿童开始。

2、什么是创造性思维

什么是创造性思维，半个多世纪来，国内外许多专家学者进行了多方面的研究，提出了多种不同说法，我们参照《构建中小学创新教育体系》一书，列举如下：

(1) 创造活动中进行的思维，就是创造性思维；

(2) 创造性思维就是直觉、灵感和发散思维；（鲁克成、罗庆生，创造学教程，北京，中国建筑工业出版社，1997，106)

(3) 创造性思维是指思维的流畅性、变通性、独特性、敏感性、精致性；

(4) 创造性思维包括发散思维和集中思维，两者的有机结合构成了各种水平的创造性思维；（潘法等，试论创造性思维理论中的几个问题，心理科学通讯，1982，5)

(5) 创造性思维乃是种种（包括各种类和类型）思维，特别是形象思维和辩证思维高度结合的结果；（燕国材，论创造性思维及其培养，教育科学研究，1992，1)

(6) 逻辑思维与形象思维、灵感思维三者之间有机结合，形成创造思维的结构模式；（北京市科技干部局，创造学及其应用，北京，科学普及出版社，1998, 82)

(7) 创造思维是两种思维（抽象思维、形象思维）的辩证统一，是更高层次的思维。（杨春鼎，形象思维学，北京，中国科技大学出版社，1997,扉页）

上述七种定义，对于研究创造思维是有一定价值的。而通过各种教学培养创造性思维，既要使两种思维都得到发展，又要在教学法上具有可操作性，以便通过具体措施训练创造性思维。上述7个定义，如果从思维的全面性（两种思维）或从思维的可操作性来分析，有的不够全面，有的可操作性差。我们课题组根据两种思维的思维，分析了创造过程的思维活动，将创造性思维定义为：创作性思维是创造过程中的思维活动，它主要是两种思维（抽象思维、形象思维）新颖的、灵活的、有机的结合。

解释如下：

(1) 新颖的

思维的新颖性指思维的结果，产生新成果、新产品、新作品、新理论、新方案（管理、实验）、新工艺、新方法。这些成果是过去未曾有过，是属于首创的，具有实用的或理论的价值。当然，从培养人才的学校来说，新颖性只是指学生在解答问题、进行实验或科技制作时，不是根据教师讲的和书本上说的，而是自己独立思考得到一种新的方法。如数学课上一题多解找到新的解题方法；写作课上写出文字优美富有新意的文章；实验课上设计出一种新的实验方案；在课外小组活动中做出一个新颖的模型、雕像或其他艺术作品等。

创新就是学生不是根据教师讲的或书本上写的，而是自己独立思考得到的一种新方法、新思路，这在我们教学中是常见的。原苏联教育家赞可夫在一次听课中看到：教师：7+7+7+4+7+7+7=?

学生：46

教师：你怎样得到的？

学生：我先把中间的4看成7,得到7X7=49,实际上4比7少3,要减去3, 得到46。

赞可夫说，这就是创造。

这种学生通过自己独立思考得到的新方法，就是学生创造的方法，几乎每堂课都可以看的，这也验证了前面所说的，每个学生都具有创造潜力。那么，为什么没有得到教师的重视呢？一个重要原因是传统教育中没有培养创新能力的任务，我们还没有把培养创新能力、创造性思维作为一个重要的教学目标，教师还不善于激发、发现和培养学生中这些创新能力的幼芽。

(2) 灵活性

灵活性的特点表现在思维的多角度、多方向以及思维的变通性、发散性和跳

跃性等。

在小学数学中，如何进行思维的灵活性、创造性训练，在马芯兰的数学教学法中，发挥得淋漓尽致，成为她教学改革中最具特色的一个部分，列举如下：

1、掌握基本概念时，让学生说：“从XX想到的……”的训练，

2、掌握应用题中“中间条件”的发散训练，

3、解应用题中的灵活性、创造性训练有：

(1) 自编应用题训练，

(2) 扩题、缩题训练，