中考数学专题训练4.代数与几何综合题(含答案)

代数与几何综合题

类型一动点型探究题

1. 如图①，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2 cm/s.以AQ、PQ为边作四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E.设运动的时间为t(单位：s)(0＜t≤4)，解答下列问题：

(1)用含有t的代数式表示AE＝____；

(2)如图②，当t为何值时，四边形AQPD为菱形；

(3)求运动过程中，四边形AQPD的面积的最大值．

第1题图

解：(1)5－t；

【解法提示】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，∴由勾股定理得：AB＝10 cm，∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2 cm/s，∴BP＝2t cm，∴AP＝AB－BP＝10－2t，∵四边形AQPD为平行四边形，∴AE

＝1

2AP＝5－t.

(2)如解图①，当四边形AQPD 是菱形时，DQ ⊥AP ，则cos ∠BAC ＝AE AQ ＝AC

AB ，

即5－t 2t ＝810，解得t ＝2513，

∴当t ＝25

13时，四边形AQPD 是菱形；

(3)如解图②，作PM ⊥AC 于M ，设平行四边形AQPD 的面积为S .

∵PM ∥BC ， ∴△APM ∽△ABC ， ∴AP AB ＝PM

BC ，即10－2t 10＝PM 6， ∴PM ＝6

5(5－t )，

∴S ＝AQ ·PM ＝2t ·65(5－t )＝－125t 2＋12t=15255122

+??

?

??--t (0＜t ≤4)， ∵－125＜0，∴当t ＝5

2时，S 有最大值，最大值为15 cm 2.

第1题解图

2. 已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，AB＝6，D是AB的中点，动点E从点D出发，在AB边上向左或右运动，以CE为边向左侧作正方形CEFG，直线BG，FE相交于点N(点E向左运动时如图①，点E向右运动时如图②)．

(1)在点E的运动过程中，直线BG与CD的位置关系为________；

(2)设DE＝x，NB＝y，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值；

(3)如图②，当DE的长度为3时，求∠BFE的度数．

第2题图

解：(1)BG∥CD；

【解法提示】∵四边形EFGC是正方形，∴CG＝CE，∠GCE＝∠GFE＝∠FEC ＝90°，∵∠ACB＝∠GCE＝90°，∴∠GCB＝∠ECA，∵GC＝CE，CB＝CA，∴△CAE≌△CBG.又∵∠ACB＝90°，BC＝AC，D是AB的中点，∴∠CBG＝∠CAE＝45°，∠BCD＝45°，∴∠CBG＝∠BCD，∴BG∥CD.

(2)∵CB＝CA，CD⊥AB，∠ACB＝90°，

∴CD＝BD＝AD＝3，∠CBA＝∠A＝45°，

易得△CAE ≌△CBG ， ∴∠CBG ＝∠A ＝45°，

∴∠GBA ＝∠GBC ＋∠CBA ＝90°.

∵∠BEN ＋∠BNE ＝90°，∠BEN ＋∠CED ＝90°， ∴∠BNE ＝∠CED ， ∵∠EBN ＝∠CDE ＝90°， ∴△NBE ∽△EDC ， ∴BN ED ＝BE CD ， ∴y x ＝3－x 3，

∴y ＝－3

1

(x －32)2＋34，

∵－3

1

＜0，∴x ＝32时，y 的最大值为34；

(3)如解图，作FH ⊥AB 于点H .∵CB ＝CA ，BD ＝CD ，∠BCA ＝90°，

∴CD ⊥AB ，CD ＝BD ＝AD ＝3， ∴tan ∠DCE ＝DE CD ＝3

3， ∴∠DCE ＝30°，

∵四边形EFGC是正方形，

∴EF＝EC，

∵∠CDE＝∠EHF＝90°，易证∠DCE＝∠HEF，

∴△CDE≌△EHF，

∴∠DCE＝∠HEF＝30°，FH＝DE，CD＝EH，

∵CD＝BD，

∴BD＝EH，

∴BH＝DE＝FH，

∴△BHF是等腰直角三角形，

∴∠BFH＝45°，∵∠EFH＝90°－∠HEF=60°，

∴∠BFE＝∠BFH+∠EFH＝105°.

第2题解图

3. 如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝8 cm，CD＝10 cm，AD ＝6 cm，点E从点A出发，沿A→D→C方向运动，运动速度为2 cm/s，点F 同时从点A出发，沿A→B方向运动，运动速度为1 cm/s.设运动时间为t(s)，

△CEF的面积为S(cm2)．

(1)当0≤t≤3时，t＝________，EF＝10.

(2)当0≤t≤3时(如图①)，求S与t的函数关系式，并化为S＝a(t－h)2＋k的形式，指出当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？

(3)当3≤t≤8时(如图②)，求S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？

第3题图

解：(1)2；【解法提示】根据题意知，AF＝t，AE＝2t，∵∠A＝90°，∴AF2＋AE2＝EF2，即t2＋(2t)2＝(10)2，解得：t＝2(负值舍去)．

(2)当0≤t≤3时，如解图①，过点C作CP⊥AB，交AB延长线于点P，

第3题解图①

∵∠A＝∠D＝90°，

∴四边形APCD是矩形，

则CP＝AD＝6 cm，

∵AB ＝8 cm ，AD ＝6 cm ， ∴BF ＝(8－t )cm ，DE ＝(6－2t )cm ， 则S ＝S 梯形ABCD －S △AEF －S △CBF －S △CDE

＝12×(8＋10)×6－12×t ×2t －12×(8－t )×6－12×(6－2t )×10 ＝－t 2＋13t ＝－(t －132)2＋1694， 即S ＝－(t －132)2＋169

4，

∵当t ＜13

2时，S 随t 的增大而增大， ∴当t ＝3时，S 取得最大值，最大值为30； (3)当3≤t ≤8时，如解图②，过点F 作FQ ⊥CD 于点Q ，

第3题解图②

由∠A ＝∠D ＝90°，知四边形ADQF 是矩形， ∴FQ ＝AD ＝6 cm ，

∵AD ＋DE ＝2t ，AD ＝6 cm ，CD ＝10 cm ， ∴CE ＝(16－2t )cm ，

则此时S ＝1

2×(16－2t )×6＝48－6t ， ∵－6＜0，

∴S 随t 的增大而减小，

∴当t ＝3时，S 取得最大值，最大值为30cm 2．

4. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB 于点D .点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒． (1)①求线段CD 的长； ②求证：△CBD ∽△ABC ；

(2)设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值； (3)是否存在某一时刻t ，使得△CPQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．

(1)①解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，

∴AB ＝10， ∵CD ⊥AB ，

∴S △ABC ＝12BC ·AC ＝1

2AB ·CD ， ∴CD ＝BC ·AC AB ＝6×810＝524，

∴线段CD 的长为

5

24； ②证明：∵∠B ＝∠B ，∠CDB ＝∠BCA ＝90°，

∴△CBD ∽△ABC ；

(2)解：如解图②，过点P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，

由题可知DP ＝t ，CQ ＝t ， 则CP ＝

5

24

－t ， ∵∠ACB ＝∠CDB ＝90°， ∴∠HCP ＝90°－∠DCB ＝∠B ，

∵PH ⊥AC ， ∴∠CHP ＝90°， ∴∠CHP ＝∠ACB ， ∴△CHP ∽△BCA ， ∴PH AC ＝PC BA ，

∴PH 8＝10

524

t -，

∴PH ＝9625－4

5t ，

∴S ＝12CQ ·PH ＝12t (9625－45t )＝ －25(t －125)2＋288125， ∵5

2-＜0，

∴当t ＝125时，S 最大＝288

125； (3)存在，t ＝125或14.455或24

11.

【解法提示】①若CQ ＝CP ，如解图①，则t ＝524

－t .解得：t ＝125；②若PQ ＝

PC ，如解图②所示．∵PQ ＝PC ，PH ⊥QC ，∴QH ＝CH ＝1

2QC ＝

t 2.∵△CHP ∽△BCA .∴CH BC ＝CP AB .∴t 26＝10524

t ，解得t ＝14455；③若QC ＝QP ，如解图③，过点Q 作QE ⊥CP ，垂足为E ，同理可得：t ＝2411.综上所述：当t 为

524秒或14455秒或24

11秒时，△CPQ 为等腰三角形．

第4题解图

5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm.如果点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，

同时点F 由点D 出发沿DA 方向向点A 匀速运动，它们的速度分别为2cm/s 和1cm/s.FQ ⊥BC ，分别交AC 、BC 于点P 和Q ，设运动时间为t (s)(0＜t ＜4)．

(1)连接EF 、DQ ，若四边形EQDF 为平行四边形，求t 的值；

(2)连接EP ，设△EPC 的面积为y cm 2，求y 与t 的函数关系式，并求y 的最大值；

(3)若△EPQ 与△ADC 相似，请直接写出t 的值．

解：(1)在矩形ABCD中，∵AB＝6 cm，BC＝8 cm，

∴CD＝AB＝6 cm，AD＝BC＝8 cm，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠B＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝10，

∵FQ⊥BC，

∴∠FQC＝90°，

∴四边形CDFQ是矩形，

∴DF＝QC，FQ＝DC＝6 cm，

由题意知，BE＝2t，QC＝DF＝t，

∴EQ＝BC－BE－QC＝8－3t，

∵四边形EQDF为平行四边形，

∴FD＝EQ，

即t＝8－3t，

解得t＝2；

(2)∵∠FQC＝90°，∠B＝90°，

∴∠FQC＝∠B，

∴PQ∥AB，

∴△CPQ∽△CAB，

∴PQ AB ＝QC BC ， 即PQ 6＝t 8， ∴PQ ＝3

4t ， ∵S △EPC ＝1

2EC ·PQ ，

∴y ＝12·(8－2t )·34t ＝－34t 2＋3t ＝－34(t －2)2＋3， 即y ＝－3

4(t －2)2＋3， ∵a ＝－3

4＜0，

∴当t ＝2时，y 有最大值，y 的最大值为3； (3)t 的值为2或12857或128

39.

【解法提示】分两种情况讨论：若E 在FQ 左边，①当△EPQ ∽△ACD 时，可得：PQ CD ＝EQ AD ，即3

4t 6＝8－3t 8，解得t ＝2；②当△EPQ ∽△CAD 时，可得：PQ

AD ＝EQ CD ，即3

4t 8＝8－3t 6，解得t ＝128

57.若E 在FQ 右边，③当△EPQ ∽△ACD 时，可

得：PQ CD ＝EQ

AD ，即3

4t

6＝3t －88，解得t ＝4(舍去)；④当△EPQ ∽△CAD 时，可得：PQ AD ＝EQ CD ，即3

4t 8＝3t －86，解得t ＝128

39.综上所述，若△EPQ 与△ADC 相似，则t 的值为：2或12857或128

39. 类型二 动线型探究题

6. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2 cm.长为1 cm 的线段MN 在△ABC 的边AB 上沿AB 方向以1 cm/s 的速度向点B 运动(运动前点M 与点A 重合)．过M ，N 分别作AB 的垂线交直角边于P ，Q 两点，线段MN 运动的时间为t s.

(1)若△AMP 的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式(写出自变量t 的取值范围)，并求出y 的最大值；

(2)在线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由；

(3)t 为何值时，以C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？

第6题图

解：(1)当点P 在AC 上时，

∵AM ＝t ，∴PM ＝AM ·tan60°＝3t ， ∴y ＝12t ·3t ＝3

2t 2(0

2； 当点P 在BC 上时，PM ＝BM · tan 30°＝33(4－t )，

∴y ＝12t ·33(4－t )＝－36t 2＋233t ＝－36(t －2)2

＋233(1＜t <3)， 当t ＝2 s 时，y 最大＝23

3， 综上所述，

y ＝???32t 2

，0

－36t 2

＋23

3t ，1＜t <3

，

∴当t ＝2 s 时，y 最大＝23

3；

(2)∵AC ＝2，∴AB ＝4，∴BN ＝AB －AM －MN ＝4－t －1＝3－t .

∴QN ＝BN ·tan 30°＝3

3(3－t )，

由题知，若要四边形MNQP 为矩形，需PM ＝QN ，且P ，Q 分别在AC ，

BC 上，

即3t ＝33(3－t )，∴t ＝3

4，

∴当t ＝3

4s 时，四边形MNQP 为矩形． (3)由(2)知，当t ＝3

4 s 时，

四边形MNQP 为矩形，此时PQ ∥AB ， ∴△PQC ∽△ABC ，

除此之外，当∠CPQ ＝∠B ＝30°时， △QPC ∽△ABC ，此时CQ CP ＝tan 30°＝33， ∵AM AP ＝cos 60°＝12，∴AP ＝2AM ＝2t ， ∴CP ＝2－2t ，

∵BN BQ ＝cos 30°＝32，∴BQ ＝BN 32＝233(3－t )，

又BC ＝23，∴CQ ＝23－233(3－t )＝23t

3， ∴23t 32－2t ＝33

，解得t ＝12，

∴当t ＝12s 或3

4s 时，以C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似． 7. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝

5 cm ，BC ＝

6 cm ，AD 是BC 边上的高．点P 由C 出发沿CA 方向匀速运动．速度为1 cm/s.同时，直线EF 由BC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1 cm/s ，EF //BC ，并且EF 分别交AB 、AD 、AC 于点E ，Q ，F ，连接PQ .若设运动时间为t (s)(0＜t ＜4)，解答下列问题：

(1)当t 为何值时，四边形BDFE 是平行四边形？

(2)设四边形QDCP 的面积为y (cm 2)，求出y 与t 之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t ，使点Q 在线段AP 的垂直平分线上？若存在，求出此时点F 到直线PQ 的距离h ；若不存在，请说明理由．

第7题图

解：(1)如解图①，连接DF ，

第7题解图①

∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝3， 在Rt △ABD 中AD ＝52－32＝4， ∵EF //BC ， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴EF BC ＝AQ AD ，

∴EF 6＝4－t 4，∴EF ＝3

2(4－t )， ∵EF //BD ，

∴当EF ＝BD 时，四边形EFDB 是平行四边形， ∴3

2(4－t )＝3， ∴t ＝2，

∴当t ＝2s 时，四边形EFDB 是平行四边形； (2)如解图②，作PN ⊥AD 于N ，

第7题解图②

∵PN //DC ， ∴PN DC ＝AP AC ， ∴PN 3＝5－t 5， ∴PN ＝3

5(5－t )， ∴y ＝12DC ·AD －12AQ ·PN ＝6－12(4－t ) ·35(5－t ) ＝6－(310t 2－27

10t ＋6) ＝－310t 2＋27

10t (0＜t ＜4)； (3)存在．理由如下：

如解图③，作QN ⊥AC 于N ，作FH ⊥PQ 于H .

第7题解图③

∵当QN 为AP 的垂直平分线时QA ＝QP ，QN ⊥AP ，

∴AN ＝NP ＝12AP ＝1

2(5－t )， 由题意cos ∠CAD ＝AD AC ＝AN

AQ ， ∴1

2（5－t ）4－t

＝45，∴t ＝73，

∴当t ＝7

3s 时，点Q 在线段AP 的垂直平分线上．

∵sin ∠FPH ＝FH PF ＝sin ∠CAD ＝35，∵P A ＝5－73＝83，AF ＝AQ ÷45＝25

12， ∴PF ＝712，∴FH ＝720.

∴点F 到直线PQ 的距离h ＝7

20(cm)． 类型三 动图型探究题

8. 如图①，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，AD ＝6cm ，BD ＝8cm ，∠DBC ＝90°，现将△AEF 沿BD 的方向匀速平移，速度为2cm/s ，同时，点G 从点D 出发，沿DC 的方向匀速移动，速度为2cm/s.当△AEF 停止移动时，点G 也停止运动，连接AD ，AG ，EG ，过点E 作EH ⊥CD 于点H ，如图②所示，设△AEF 的移动时间为t (s)(0＜t ＜4)． (1)当t ＝1时，求EH 的长度； (2)若EG ⊥AG ，求证：EG 2＝AE ·HG ；