高一数学人教B版必修第三册第七章 三角函数 单元检测

第七章三角函数单元检测

一、单项选择题

1.如果P位于第三象限,那么角θ所在的象限是( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.已知扇形的半径为r,周长为3r,则扇形的圆心角等于( )

A. B.1 C. D.3

3.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中

剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为S

1,圆面中剩余部分的面积为S

2

,当S

1

与S

2

的比值为时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为 ( )

A.(3-)π

B.(-1)π

C.(+1)π

D.(-2)π

4.已知sin=,则cos= ( )

A.-

B.

C.

D.-

5.把函数y=cos 2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),

然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是( )

6.函数y=lo cos的单调递增区间是( )

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

7.函数y=tan的值域为( )

A.[-1,1]

B.(-∞,-1]∪[1,+∞)

C.(-∞,1]

D.[-1,+∞)

8.(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

二、多项选择题(

9.将函数f=sin(ω>0)的图像向左平移个单位,若所得的图像与

原图像重合,则ω的值可能为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

10.关于函数y=2sin(0≤x≤9),下列结论正确的是( )

A.x=0时,y

=-

min

=-2

B.x=0时,y

min

C.x=5时,y

=2

max

D.x=9时,y

=

max

11.设函数f(x)=cos,则下列结论正确的是( )

A.f(x)的一个周期为-2π

B.y=f(x)的图像关于直线x=对称

C.f(x+π)的一个零点为x=

D.f(x)在单调递减

12.在△ABC中,C>,若函数y=f(x)在[0,1]上为单调递减函数,则下列命题不正确

的是( ) A.f(cos A)>f(cos B) B.f(sin A)>f(sin B)

C.f(sin A)>f(cos B)

D.f(sin B)

三、填空题13.(2020·北京高考)若函数f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,则

常数φ的一个取值为.

14.已知角α的终边上有一点P(1,3),

则tan α=,= .

15.arctan+arcsin= .

16.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则函数f(x)的解析式为,单调递增区间是.

四、解答题

五、17.(10分)在与530°角终边相同的角中,求满足下列条件的角.

(1)最大的负角;

(2)最小的正角;

(3)在{α|-720°≤α<-360°}内的角.

18.(12分)已知函数f(x)=1+sin,

(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值.

(2)画出函数y=f(x)在区间上的图像.

19.(12分)已知函数y=Asin(A>0,ω>0,<π)的一段图像如图所示.

(1)求此函数的解析式.

(2)求此函数在上的递增区间.

20.在已知函数

f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R的图像与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,

且图像上一个最低点为M.

(1)求f(x)的解析式.

(2)当x∈时,求f(x)的值域.

21.(12分)(2020·合肥高一检测)已知0<ω<2,

函数f(x)=sin,且f(x)=f.

(1)求f(x)的最小正周期.

(2)若f(x)在[-t,t]上单调递增,求t的最大值.

22.(12分)已知函数f(x)=2sin.

(1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合.

(2)指出函数y=f(x)的图像可以由函数y=sin x的图像经过哪些变换得到.

(3)当x∈[0,m]时,函数y=f(x)的值域为[-,2],求实数m的取值范围.

23.(12分)函数f(x)=1-2a-2acos x-2sin2x的最小值为g(a),a∈R.

(1)求g(a).

(2)若g(a)=,求a及此时f(x)的最大值.

1.【解析】选B.因为点在第三象限,因此有sin θcos θ<0,2cos θ<0, 所以cos θ<0,sin θ>0.

2.【解析】选B.弧长l=3r-2r=r,则圆心角==1.

3.【解析】选A.S

1与S

2

所在扇形圆心角的比即为它们的面积比,设S

1

与S

2

所在扇

形圆心角分别为α,β,则=,又α+β=2π,解得α=(3-)π.

4.【解析】选A.cos=cos

=-sin=-.

5.【解析】选A.把函数y=cos 2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得y=cos x+1的图像,向左平移1个单位长度,得y=cos(x+1)+1的图像,再向下平移1个单位长度得y=cos(x+1)的图像.则得到的函数为y=cos(x+1),令x=0,

得y=cos 1>0,排除C、D;又令x=-1,

得y=cos=0,排除B..

6.【解析】选B.原函数变形为y=lo(-sin 2x),

定义域为,k∈Z.研究函数y=sin 2x的单调递增区间,

得-+2kπ≤2x<2kπ+,k∈Z,

解得kπ-≤x

∩

=,k∈Z.

7.【解析】选B.因为x∈且x≠0,

所以-x∈且-x≠,即-x∈∪,当-x∈时,y≥1;

当-x∈时,y≤-1,

所以函数的值域是(-∞,-1]∪[1,+∞).

8.【解析】选B.令f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-

2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,

则sin x=0或cos x=1,又x∈[0,2π],

所以x=0,π,2π,共三个零点.

9.【解析】选A、C、D.因为将函数f=sin的图像向左平移个单位,所得图像与原图像重合,

所以是已知函数的周期的整数倍,

即k·=(k∈N*),解得ω=4k(k∈N*).

10.【解析】选A.C.因为0≤x≤9,所以0≤x≤,

-≤x-≤-,即-≤x-≤,

所以当x-=-,

即x=0时,y=2sin(0≤x≤9)有最小值2sin=-,当x-=,

即x=5时,y=2sin(0≤x≤9)有最大值2sin=2.

11.【解析】选A.B.C.A项,因为f(x)=cos的周期为2kπ(k∈Z),

所以f(x)的一个周期为-2π,A项正确;

B项,因为f(x)=cos图像的对称轴为直线x=kπ-(k∈Z),

所以y=f(x)的图像关于直线x=对称,B项正确;

C项,f(x+π)=cos.令x+=kπ+(k∈Z),

得x=kπ-(k∈Z),当k=1时,x=,所以f(x+π)的一个零点为x=,C项正确;

D项,因为f(x)=cos的单调递减区间为(k∈Z), 单调递增区间为(k∈Z),

所以是f(x)的单调递减区间,

是f(x)的单调递增区间,D项错误.

12.【解析】选A.B.D.根据0

得0

所以sin A

cos A>cos=sin B,

又y=f(x)在[0,1]上为单调递减函数,

所以f(sin A)>f(cos B).

13.【解析】因为f(x)的最大值为2,说明sin(x+φ)和cos x可同时取得最大值1,可知sin(x+φ)=cos x,所以φ可以为+2kπ,k∈Z.

答案:(答案不唯一)

14.. 【解析】根据任意角的三角函数定义,可得tan α=3,

所以=

=tan α-=-=1.

答案:3 1

15.【解析】因为arctan=,arcsin=-,

所以arctan+arcsin=0.

答案:0

16.【解析】由图像可得T=π-π,

所以T=π,则ω=2.

又图像过点,

所以2sin=2,

所以φ=-,

所以f(x)=2sin,

其单调递增区间为(k∈Z).

答案:f(x)=2sin

(k∈Z)

17.【解析】与530°角终边相同的角为k·360°+530°,k∈Z.

(1)由-360°

故所求的最大负角为-190°.

(2)由0°

故所求的最小正角为170°.

(3)由-720°≤k·360°+530°<-360°且k∈Z,可得k=-3,

故所求的角为-550°.

18.【解析】(1)函数f(x)的最小正周期为T==π,

当sin=1时,f(x)取得最大值1+.

(2)由(1)知:

故函数y=f(x)在区间上的图像如图所示.

19.【解析】(1)由图可知,其振幅为A=2,

由=6-=8,所以周期为T=16,

所以ω===,

此时解析式为y=2sin.

因为点在函数y=2sin的图像上,所以×2+φ=2kπ-,

所以φ=2kπ-.又<π,所以φ=-.

故所求函数的解析式为y=2sin.

(2)由2kπ-≤x-≤2kπ+,

得16k+2≤x≤16k+10,

所以函数y=2sin的递增区间是

.

当k=-1时,有递增区间,当k=0时,有递增区间,与定义区间求交集得此函数在上的递增区间为,.

20.【解析】(1)由最低点为M,得A=2.

由x轴上相邻两个交点之间的距离为,

得=,即T=π,所以ω===2.

由点M在图像上得2sin=-2, 即sin=-1,故+φ=2kπ-(k∈Z),

所以φ=2kπ-(k∈Z).

又φ∈,所以φ=,

故f(x)=2sin.

(2)因为x∈,所以2x+∈,

当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值2;

当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值-1,

故当x∈时,f(x)的值域为[-1,2].

21.【解析】(1)因为f(x)=f,

所以f(x)的图像关于直线x=对称,

所以ω×+=+kπ(k∈Z),

解得ω=1+4k(k∈Z),

又因为0<ω<2,所以ω=1,

则f(x)的最小正周期T==2π.

(2)因为f(x)=sin,所以f(x)的单调递增区间为

(k∈Z).

因为f(x)在[-t,t]上单调递增,所以,

解得0

=-2,此时2x-=2kπ-,

22.【解析】(1)f(x)

min

k∈Z,即x=kπ-,k∈Z,

即此时自变量x的集合是.

(2)把函数y=sinx的图像向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图像, 再把函数y=sin的图像上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,

得到函数y=sin的图像,最后再把函数y=sin的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到函数y=2sin的图像.

(3)如图,因为当x∈[0,m]时,y=f(x)取到最大值2,所以m≥.

又函数y=f(x)在上是减函数,

故m的最大值为内使函数值为-的值,

令2sin=-,得x=,

所以m的取值范围是.

23.【解析】(1)f(x)=1-2a-2acos x-2(1-cos2x)

=2cos2x-2acos x-1-2a

=2--2a-1.

若<-1,即a<-2,则当cosx=-1时,

f(x)有最小值g(a)=2--2a-1=1;

若-1≤≤1,即-2≤a≤2,则当cos x=时,

f(x)有最小值g(a)=--2a-1;

若>1,即a>2,则当cos x=1时,f(x)有最小值g(a)=2--2a-1=1-4a.

所以g(a)=

(2)若g(a)=,由所求g(a)的解析式知只能是--2a-1=或1-4a=. 由解得a=-1或a=-3(舍).

由解得a=(舍).

=5.

此时f(x)=2+,得f(x)

max

所以若g(a)=,应有a=-1,

此时f(x)的最大值是5.