高中数学-集合与常用逻辑用语高考真题+模拟新题
高中数学-集合与常用逻辑用语高考真题+模拟新题
A1 集合及其运算
1．A1[·湖南卷] 设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝( ) A ．{0} B ．{0,1}
C ．{－1,1}
D ．{－1,0,1}
1．B [解析] 本题考查集合的运算，意在考查考生对集合交集的简单运算． 解得集合N ＝{ x |0≤x ≤1}，直接运算得M ∩N ＝{0,1}．
2．A1[·广东卷] 设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，则?U M ＝( ) A ．U B ．{1,3,5}
C ．{3,5,6}
D ．{2,4,6}
2．C [解析] 因为U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，所以?UM ＝{3,5,6}，所以选择C.
1．A1[·北京卷] 已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( )
A ．(－∞，－1) B.???
?
??－1，－23
C.????－2
3，3 D ．(3，＋∞)
1．D [解析] 因为A ＝{x |3x ＋2>0}＝??????
x ?
?
x >－23 ＝???
?－2
3，＋∞， B ＝{x |x <－1或x >3}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，所以A ∩B ＝(3，＋∞)，答案为D. 2．A1[·全国卷] 已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3
2．B [解析] 本小题主要考查集合元素的性质和集合的关系．解题的突破口为集合元素的互异性和集合的包含关系．
由A ∪B ＝A 得B ?A ，所以有m ＝3或m ＝m .由m ＝m 得m ＝0或1，经检验，m ＝1时B ＝{1,1}矛盾，m ＝0或3时符合，故选B.
1．A1[2012·江苏卷] 已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________. 1．{1,2,4,6} [解析] 考查集合之间的运算．解题的突破口为直接运用并集定义即可．由条件得A ∪B ＝{1,2,4,6}．
1．A1[·江西卷] 若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
1．C [解析] 考查集合的含义与表示；解题的突破口为列出所有结果，再检验元素的互异性．当x ＝－1，y ＝0时，z ＝－1，当x ＝－1，y ＝2时，z ＝1，当x ＝1，y ＝0时，z ＝1，当x ＝1，y ＝2时，z ＝3，故集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素个数为3，故选C.
1．A1[·课标全国卷] 已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )
A ．3
B ．6
C ．8
D ．10
1．D [解析] 对于集合B ，因为x －y ∈A ，且集合A 中的元素都为正数，所以x >y .故集合
B ＝{(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)}，其含有10个元素．故选D.
1．A1[·辽宁卷] 已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(?U A )∩(?∪B )＝( )
A ．{5,8}
B ．{7,9}
C ．{0,1,3}
D ．{2,4,6}
1．B [解析] 本小题主要考查集合的概念及基本运算．解题的突破口为弄清交集与补集的概念以及运算性质．
法一：∵?U A ＝{}2，4，6，7，9，?U B ＝{}0，1，3，7，9，∴(?U A )∩(?U B )＝{}7，9. 法二：∵A ∪B ＝{}0，1，2，3，4，5，6，8，∴(?U A )∩(?U B )＝?U ()A ∪B ＝{}7，9.
2．A1[·山东卷] 已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(?U A )∪B 为( )
A ．{1,2,4}
B ．{2,3,4}
C ．{0,2,4}
D ．{0,2,3,4}
2．C [解析] 本题考查集合间的关系及交、并、补的运算，考查运算能力，容易题． ∵U ＝{}0，1，2，3，4，A ＝{}1，2，3，B ＝{}2，4， ∴?U A ＝{}0，4，(?UA )∪B ＝{}0，2，4.
1．A1[·陕西卷] 集合M ＝{x |lg x >0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2] D ．[1,2]
1．C [解析] 本小题主要考查集合的概念及基本运算以及对数函数的性质、一元二次不等式的解法．解题的突破口为解对数不等式以及一元二次不等式．对于lg x >0可解得x >1；对于x 2≤4可解得－2≤x ≤2，根据集合的运算可得1 2．A1[·上海卷] 若集合A ＝{x |2x ＋1＞0}，B ＝{x ||x －1|＜2}，则A ∩B ＝________. 2.??? ?－1 2，3 [解析] 考查集合的交集运算和解绝对值不等式，解此题的关键是解绝对值不等式，再利用数轴求解． 解得集合A ＝????－12，＋∞，集合B ＝(－1,3)，求得A ∩B ＝??? ?－1 2，3. 13．A1[·四川卷] 设全集U ＝{a ，b ，c ，d }，集合A ＝{a ，b }，B ＝{b ，c ，d }，则(?U A )∪(?U B )＝________. 13．{a ，c ，d } [解析] 法一：由已知，?U A ＝{c ，d }，?U B ＝{a }，故(?U A )∪(?U B )＝{a ，c ，d }． 法二：(?U A )∪(?U B )＝?U (A ∩B )＝?U {b }＝{a ，c ，d }． 1．A1、E3[·浙江卷] 设集合A ＝{x |1 A ．(1,4) B ．(3,4) C ．(1,3) D ．(1,2)∪(3,4) 1．B [解析] 本题主要考查不等式的求解、集合的关系与运算等．由于B ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，则?R B ＝{x |x <－1或x >3}，那么A ∩(?R B )＝{x |3 [点评] 不等式的求解是进一步处理集合的关系与运算的关键． A2 命题及其关系、充分条件、必要条件 2．A2[·天津卷] 设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．A [解析] 本题考查命题及充要条件，考查推理论证能力，容易题． 当φ＝0时，f (x )＝cos(x ＋φ)＝cos x 为偶函数成立；但当f (x )＝cos(x ＋φ)为偶函数时，φ＝k π，k ∈Z, φ＝0不一定成立． 3．A2、H2[·浙江卷] 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．A [解析] 本题主要考查直线的平行关系与充要条件的判断等基础知识和基本方法． 法一：直接推理：分清条件和结论，找出推出关系即可．当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0显然平行，所以条件具有充分性；若直线l 1与直线l 2平行，则 有：a 1＝2a ＋1 ，解之得：a ＝1 或 a ＝－2，经检验，均符合，所以条件不具有必要性．故条 件是结论的充分不必要条件． 法二：把命题“a ＝1”看作集合M ＝{1}，把命题“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”看作集合N ＝{1，－2}，易知M ?N ，所以条件是结论的充分不必要条件，答案为A. 3．A2、L4[·陕西卷] 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b i 为纯虚数” 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．B [解析] 本小题主要考查充要条件的概念以及复数的相关知识，解题的突破口为 弄清什么是纯虚数，然后根据充要条件的定义去判断．a ＋b i ＝a －b i ，若a ＋b i 为纯虚数，a ＝0且b ≠0，所以ab ＝0不一定有a ＋b i 为纯虚数，但a ＋b i 为纯虚数，一定有ab ＝0，故“ab ＝0”是复数a ＋b i 为纯虚数”的必要不充分条件，故选B. 7．A2、B4[·重庆卷] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( ) A ．既不充分也不必要的条件 B ．充分而不必要的条件 C ．必要而不充分的条件 D ．充要条件 7．D [解析] 由于f (x )是R [0,1]上为增函数时，根据对称性知f (x )在[－1,0]上为减函数．根据函数f (x )的周期性将f (x )在[－1,0]上的图象向右平移2个周期即可得到f (x )在[3,4]上的图象，所以f (x )在[3,4]上为减函数；同理当f (x )在[3,4]上为减函数时，根据函数的周期性将f (x )在[3,4]上的图象向左平移2个周期即可得到f (x )在[－1,0]上的图象，此时f (x )为减函数，又根据f (x )为偶函数知f (x )在[0,1]上为增函数(其平移与对称过程可用图表示，如图1－1所示)，所以“f (x )为[0,1]上的减函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的充要条件，选D. 3．A2、B3[·山东卷] 设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．A [解析] 本题考查充分必要条件及函数的单调性，考查推理论证能力，容易题． 当f ()x ＝a x 为R 上的减函数时，00，此时g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数成立；当g (x )＝(2－a )x 3为增函数时，2－a >0即a <2，但1 4．A2[·辽宁卷] 已知命题p ：?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0 D ．?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0 4．C [解析] 本小题主要考查存在性命题与全称命题的关系．解题的突破口为全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题． 故?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0的否定是?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))<0，故而答案选C. 2．A2[·湖南卷] 命题“若α＝π 4 ，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π 4 ，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π 4 2．C [解析] 本题考查命题的逆否命题，意在考查考生对命题的逆否命题的掌握，是基础题；解题思路：根据定义，原命题：若p 则q ，逆否命题：若綈q 则綈p ，从而求解． 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π 4 ”，故选C. [易错点] 本题易错一：对四种命题的概念不清，导致乱选；易错二：把命题的逆否命题与命题的否定混淆． 14．A2、A3、B3、E3[·北京卷] 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若同时满足条件： ①?x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0； ②?x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0. 则m 的取值范围是________． 14．(－4，－2) [解析] 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能． 满足条件①时，由g (x )＝2x －2<0，可得x <1，要使?x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，必须使x ≥1时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0恒成立， 当m ＝0时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f (x )必须开口向下， 也就是m <0，要满足条件，必须使方程f (x )＝0的两根2m ，－m －3都小于1，即? ?? ?? 2m <1， －m －3<1，可得m ∈(－4,0)． 满足条件②时，因为x ∈(－∞，－4)时，g (x )<0，所以要使?x ∈(－∞，－4)时，f (x )g (x )<0，只要?x 0∈(－∞，－4)时，使f (x 0)>0即可，只要使－4比2m ，－m －3中较小的一个大即可，当m ∈(－1,0)时，2m >－m －3，只要－4>－m －3，解得m >1与m ∈(－1,0)的交集为空集； 当m ＝－1时，两根为－2；－2>－4，不符合；当m ∈(－4，－1)时，2m <－m －3，所以只要－4>2m ， 所以m ∈(－4，－2)． 综上可知m ∈(－4，－2)． 3．A2、L4[·北京卷] 设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．B [解析] ∵若a ＝0，则复数a ＋b i 是实数(b ＝0)或纯虚数(b ≠0)． 若复数a ＋b i 是纯虚数则a ＝0.综上，a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件． 6．A2、G5[·安徽卷] 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．A [解析] 本题考查线面关系的判断，证明，充要条件的判断． 由题知命题是条件命题为“α⊥β”，命题“a ⊥b ”为结论命题，当α⊥β时，由线面垂直的性质定理可得a ⊥b ，所以条件具有充分性；但当a ⊥b 时，如果a ∥m ，就得不出α⊥β，所以条件不具有必要性，故条件是结论的充分不必要条件． 15．A2、C8、E6、E9[·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①若ab >c 2，则C <π 3； ②若a ＋b >2c ，则C <π 3； ③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π 2； ④若(a ＋b )c <2ab ，则C >π 2 ； ⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C >π 3 . 15．①②③ [解析] 本题考查命题真假的判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本不等式等． 对于①，由c 2＝a 2＋b 2 －2ab cos C ，因为 0 3 ，故①正确； 对于②，由4c 2＝4a 2＋4b 2－8ab cos C 3()a 2＋b 2即 8cos C ＋2>3????a b ＋b a ≥6，则cos C >12，因为0 3