新概念物理教程 力学答案详解(六)

新力学习题答案（六）

6—1．一物体沿x 轴作简谐振动，振幅为12.0cm ，周期为2.0s ，在t=0时物体位于6.0cm 处且向正x 方向运动。求 （1）初位相；

（2）t=0.50s 时，物体的位置、速度和加速度；

（3）在x=-6.0cm 处且向负x 方向运动时，物体的速度和加速度。

()()()

()()()()2

2222220000000200/06.03

2cos 12.00.1/306.032sin 12.0)0.1(0.13

230

3sin 03sin 12.003

23213cos 3cos 12.006.006.0)3()

/(306.06cos 12.035.0cos 12.0)5.0()

/(06.06sin 12.035.0sin 12.0)5.0()

(306.06cos 12.035.0cos 12.05.050.0)2(3

:)1(0

sin 0

sin 03

2

/112.0/06.0cos 06.0cos 00cos sin ,cos /20.2,12.0s m t a s

m t v s

t t t t t t t m x s m t a s m t v m t x s t A t v A t x t t A a t A v t A x T

s

T m A ππ

πππ

ππππππππππππππππππππππππππππππππ

???ωπ

????ωω?ωω?ωππ

ω=-==-=-===∴=-∴>??? ?

?

-?

=-∴-

=??? ?

?

-???? ??-=--=-=-=??? ?

?

-???-==-=-=??? ?

?

-???-====??? ?

?

-?===-

=∴-==±

=======+-=+-=+===

∴==此时：：又此时速度小于时有：时：初位相又：时：则速度设振动方程为：秒弧角频率周期解：已知振幅

6—2题与6—3题：（略）

6—4．一个质量为0.25g 的质点作简谐振动，其表达式为s=6sin(5t-π/2)，式中 s 的单位为cm ，t 的单位为s 。求 （1）振幅和周期；

（2）质点在t=0时所受的作用力； （3）振动的能量。

6—5．如本题图，把液体灌入U 形管内，液柱的振荡是简谐运动吗？周期多少？ 解：分析：设某一时刻两液面高度差为2h,如图所示， 则这部分液柱受到的合力为：

()J m v E s

m v s m t s cm t dt dx v N F N t t m a F s m t s cm t dt x d a T cm A t 62

32max max 3

30

3

32

2221075.33.01025.02

121/3.0/25cos 3.0/25cos 30()2(10375.02sin 10375.025sin 10375.025sin 5.11025.0/25sin 5.1/25sin 256)2(5

22,6)1(----=--?=???==

∴=∴??? ??

-=??? ??-==?=??

? ??-?-=∴??? ??-?-=???? ????? ??--?==∴??? ?

?

--=???

??-?-===

=

=ππππππππω

π

即速度最大处）

平衡位置的动能振动的能量等于质点在加速度：周期振幅解：依题得：m

k T h kh

h g m g F h g π

ρρ2)"",,(2,

,2=--=-=-=所以是简谐振动

比合力与位移的负值成正由此可知，液柱受到的所以有而重力向下向上为正是式中即为其本身的重力

6—6．如本题图，劲度系数为k 1和k 2的两个弹簧与质量为 m 的物体组成一个振动系统。求系统振动的固有角频率。

6—7．一竖直弹簧下挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后撒手，此系统便上下振动起来。已知物体最低位置在初始位置下方10.0cm 处。求 （1）振动频率；

（2）物体在初始位置下方8.0cm 处的速率大小；

（3）若将一个300g 的砝码系在该物体上，系统振动频率就变为原来频率的一般，则原物体的质量为多少？

（4）原物体与砝码系在一起时，其新的平衡位置在何处？

)()m

k k m

k

m m kx

x

k k x k x k f m x m x k k m m 2

10212121+==

-=+-=-+-=ω固有角频率：作简谐振动正比，受到的合力与负位移成即受到的合力为：，则：的位移（比如说向右）产生一个当轴的正向

水平向右为位置为原点，弹簧组成的系统的平衡和、以的受力角度分析：

解：从()()()()()()()()s m t v t t t x cm x t s m t v m t x Hz

m

k

m k k m g t x x cm cm

A t v t /56.05

4

7.0'14sin 7.05

4

'14sin 5

3'14cos '14cos 100.5100.80.50.80

cos 100.5100.50/14sin 7.014cos 100.5)2(14/14)1(0

.196100.58

.9100.5)0(0.50.52

.10,0002200220002022-=?

-=-==

∴-

=??=?-=∴=??=?==+-=∴+?=∴====?=∴=?==∴==∴===-------此时：时有：

物体在初始位置下方时，秒弧固有角频率：轴，则：

竖直向上为正若以平衡位置为原点，处，处）在平衡位置之上即初始位置（弹簧原长振幅此时物体在振幅最大处

时，一瞬间为计时起点，则解：依题，以撒手后的????ω

6—8．如本题图，一单摆的摆长 =100cm,摆球质量m=10.0g,开始时处在平衡位置。

（1）若给小球一个向右的水平冲量F ?t=10.0g.cm/s,以刚体打击后为t=0时刻，求振动的初位相及振幅；

（2）若F ?t 是向右的，则初位相为多少？

6—9．在劲度系数为k 的弹簧下悬挂一盘，一质量为m 的重物自高度h 处落到盘中作完全弹性碰撞。已知盘子原来静止，质量为M 。求盘子振动的振幅和初位相（以碰后为t=0时刻）。

F ?()2

sin 0.1:233.01

.30

.10

.12)1(0sin 0.12

cos 0cos /0.10

.100

.101.318.900000

000000

00000π??ωωπ??ωπ???ωω=

?<-=-=?==

=

-=∴>-==±

===+===?====

A v t F cm A A v A x t A x x s

cm m t F v Hz l g 向左，则）若（则：设振动方程为：轴正向平向右为以平衡位置为原点。水依冲量定理有：解：固有角频率：()()cm m m g m k g m x m k m

k

x g kg m m k m k 0.202.01

.01968.94.01963.03.0'19614')4(1001.03

.02)

3(000==??=+=+=

=?=

===+=ω处：之下新平衡位置在初始位置

()()()()()()()2

/100012

/100

2

2

22000002

2

222202*********arccos 0

sin 2)0(12cos cos 2cos cos 22

12121

0222--???

? ??++-=∴>-=+===?

??

?

??++-=?++=

=-=+=+=

+

+=

?=++-=++-

==+=

?==+=g M m kh A gh M

m m

v t v g M m kh k

g m k M m gh m A k

m g x t A x M

m k

k g m k M m gh m A kA kx v M m k

m g

g k M g k M m x t x M m gh

M

m m

v gh

m

m v v M m v M m gh

v M m π??ω????ωω又：则：设振动方程为：固有频率为：能守恒：

系统在振动过程中机械时，则：轴正向，竖直向下为其平衡位置为坐标原点及弹簧作为一个系统，、以：

的共同速度为与撞后作完全非弹性碰撞，碰相碰撞前的速度为：与解：()

()

()()

2

0202max max 2

020402002max 02max max 2

2

20010cos 2112!4!2112cos 12cos 12

1cos 0cos cos 1.106θθθθθθθθθθθ

θ

θθ+=+=+=∴=?????????? ?

?--=?????????? ??+--=-=∴-===+=?-==+m g m g gl l

m

m g l m v T gl gl gl gl v m gl m gh m v T m g v v m g l

m v T m g T l

m v F m g 根据机械能守恒有：最大。也最大，所以此处（平衡位置），为最大值处，在证明：向心力：。力等于，试证明悬线的最大拉若单摆的振幅为—

6—11．如本题图，把一个周期为T 的单摆挂在小车里，车从斜面上无摩擦的滑下，单摆的周期如何改变？

6—12．如本题图，将一个均质圆环用三根等长的细线对称的吊在一个水平等边三角形的顶点上，绳皆铅直。将环稍微扭动，此扭摆的运动是简谐的吗？其周期为多少？ 解：从力与位移的关系判断： 依题知每根细绳的受力情况相同。

6—13．如本题图，质量为M 的平板两端用劲度系数为k 的相同的弹簧连到侧壁上，下垫有

一对质量各为m 的相同圆柱。将此系统加以左右扰动后，圆柱上下都只滚不滑。这系统作简谐振动吗？周期是多少？

此处为平衡点。

处所以周期不变，但：

成正比，角频率为与负位移（的力为：

在绳的切线方向上受到所以的作用。

力向上的非惯性外，还受到一个沿斜面绳子张力及的摆球除受重力以车作为参考系，单摆析：

解：用非惯性参照系分,0)sin sin sin sin ===-+-=+-=F l

g

l F m g m g m g m g F m m g T m g αθωθαθαθα k

m

K m T k F f k k F F M 32233(ππ

??

???

==∴-==-=扭摆作简谐运动

力为：三根细绳受到的水平合为比例系数）

设：角增加的方向相反，且与也正比于扭转角所以抵抗扭转的力正比于扭转角依扭摆性质：内力矩k

M

m U M m T k

U x kx kx kx u x M m m M 222"222"2

12100222

2+=+=∴=∝=+=ππ

振动。

比，所以该系统作简谐势能与位移的平方成正的位移。则势能为：

位置有一个离开平衡势能零点，设以两弹簧的平衡位置为机械能守恒：

统有弹簧力作功，所以系外力均不作功，内力只与弹簧组成的系统、、依题意，由系来判断：解：从势能与位移的关

6—14．本题图中两个相同圆柱体的轴在同一水平面上，且相距2 。两圆柱体以相同的恒定角速率按图中的转向很快地转动。在圆柱体上放一均质木板，木板与圆柱体之间的摩擦系数为μ,设μ为常量。把处在平衡位置的木板略加触动，

（1）试证明木板的运动是简谐振动，并确定其固有角频率； （2）若两圆柱体的转动方向都反向，木板是否仍作简谐振动？

解：从力与位移的关系判断木板是否作简谐振动。

6—15．竖直悬挂的弹簧振子，若弹簧本身质量不可忽略，试推导其周期公式：

()()()()不作简谐振动。

板滑到右边再掉下来，力与正位移成正比，木则：

若两圆柱的转动方向，板作简谐振动。

力与负位移成正比，木木板水平受力为：向

木板受到的两摩擦力反的水平距离为设木板的中心离，线密度为设木板的长度为轴正向作为原点，水平向右为的中心以右

左由左右

左由左gx

x L g x L g N N f f f g

L

g L k m T kx

gx x L g x L g N N f f f x O L x O l μημημημμμπμηηππ

μημημημμη2)2(22222)1(222=++--=+-=+====∴-=-=+--=-=+=∴推导过程：

。与长度成正比地增加）弹簧的伸长量由上到下（假定

为系于其上物体的质量为其劲度系数，为弹簧质量，式中M k m k

m M T ,3

/2+=π

6—16．三个质量m 的质点和三个劲度系数为k 的弹簧串联在一起，紧套在光滑的水平圆周上。求此系统简正模（即简正频率和运动方式）。

6—17．阻尼振动起始振幅为3.0cm,经过10s 后振幅变为1.0cm 。多长时间振幅将变为03.0cm?

m

()()()()()()(

)

(

)

(

)

()

()

()

()()()()[]()()m

k m

k m m k m k k k m k k m k m k k k m k m k k

k

k m k k k

k m k A m k A k A k A k A m k A k A k A k A m k i e A x x x k x x k dt

x d m x x k x x k dt x d m x x k x x k dt x d m x x x t j i i

3300

3022242023220

2220~2~~0

~~2~0~

~~2)3,2,1(~

~3212

2

22

2

2

2

2

3

22

2

3

3

22

2

2

322132************

2122322

2311221

2

321-

==

=∴=-=-+----=----=---------???

????=-+--=--+-=---==?????????---=---=---=ωωωωωωωωωωωωωωωωω即：

要有解，必需满足：

则有：令：：

则各自的运动学方程为和、移分别为设三个质点产生的线位()

()

3

lg 10

10lg 10'30.30.30.330.030.0'30.30.30.30.1100.3310

/''

'10

/110

100=

=?======∴====∴==----------t e e cm A t t e e e e s t e e A A t t t t t

t β

βββββββ，则：时设时：解：

6—18．一音叉的频率为440Hz ，从测试仪器测出声强在4.0s 内减少到1/5，求音叉的Q 值（Q=1/2Λ，Λ—阻尼度）

6—19．一个弹簧振子的质量为5.0kg,振动频率为0.50Hz,已知振幅的对数减缩为0.02,求弹簧的劲度系数k 和阻尼因素β。

6—20．弹簧振子的固有频率为2.0Hz,现施以振幅为100dyn 的谐变力，使发生共振。已知共振时的振幅为5.0cm ，求阻尼系数γ和阻力的振幅。

()

5ln 17604

5ln 28802214

5ln 51/8804402204000

π

πβωβπππνωωβββ=

?

==Λ==?===?===

Λ--Q e e A A t 知：

由秒弧解：

01

.05.002.0/(50.5/(50.022222

000=?===

∴====?=

=?==λνλ

ββλππωωπππνωT

T

m k m

k 振幅的对数：米）牛秒）弧解：

即：

秒）

弧解：共振时：极大2

20

02/(42β

ωβππνωω-=

===m F A

6—21．设有两个同方向同频率的简谐振动

求合成振动的振幅和初位相。

6—22．说明下列两种情形下的垂直振动合成各代表什么运动，并画出轨迹图来。

6—23．两支C 调音叉,其一是标准的256Hz 20s 内听到10拍。问待校音叉的频率是多少？

6—24．本题图为相互垂直振动合成的李萨如图形。已知横方向振动的角频率为ω，求纵方向振动的角频率。

?

?

? ??

+=??? ??+=43cos 3,4cos 21πωπωt A x t A x ()

12

73

3tan 4

2443cos 32301

002

2π

?π

π

??ππ=

?==-

=??

? ??--+

=

-A A A

A A A A A 设合成的初位相为合成：

解：用三角法求振动的合顺时针方向）

）

（逆时针方向））（椭圆运动：解：这两种运动均代表(12(112

2

2222

22=+=+B y A x B y A x Hz

Hz T s T 5.2555.2565.0256256222210

20

2211212或左解：

拍

拍=∴±=-?=-===-∴==νννπνπνπ

π

ωω

v

6—25.解：略

6—26．本题图为t=0时刻平面简谐波的波形，波朝负x 方向传播，波速为v=330m/s 。试写出波函数u(x,t)的表达式。

6—27．设有一维简谐波

式中x 、u 的单位为cm ，t 的单位为s 。求振幅、波长、频率、波速，以及x=10cm 处振动的

y

x

x y y x n n n y n x =ωω，则有：

最多交点为轴的直线与李萨如图的平行于，最多交点为轴的直线与李萨如图的：若平行于解：根据李萨如图原理ω

ωωωωωωωωωω

ωωωωω

ωωωωω

ωωωωωωωωω331

3

)

6(33326)5(34

343

4

)

4(23

2323)3(2

3

232

3

46)

2(222

24)1(==?====?=====?====?====?=====?===∴x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y n n n n n n n n n n n n ()()()?

?? ?

?

-+=∴==

∴=

=

==∴=∴=-

==++=2103300cos 01.0,330021650

1022.01.02

2

01.0cos ,00πππ

ωπ

λ

πλ

π

λλ

π

??ωx t t x u Hz

T

v

T k m m m

A kx t A t x u 依图可知：解：设波函数为?

?

? ??-=30010.02cos 0.2),(x t

t x u π这就是所求的初位相

处落后的位相为：处比，与题目比较有：

解：波函数为3

2301022010/30/30001001010.0300.22cos ),(π

πλπλλλπ=?=?=======∴===??

?

??-=x x cm x s

m s cm T

v Hz T v s

T cm cm A x T t A t x u

初位相。

6—28．写出振幅为A 、频率为ν、波速为c 、朝正x 方向传播的一维简谐波的表达式。

6—29．频率在20至20*103Hz 的弹性波能触发人的听觉。设空气里的声速为330m/s,求这两

个频率声波的波长。

6—30．人眼所能见到的光（可见光）的波长范围是4000埃（紫光）到7600埃（红光），求可见光的频率范围（1埃=10-10m,光速c=3*108m/s ）。

6—31．一无限长弹簧振子链，所有弹簧的劲度系数为K ，自然长度为a/2，振子质量m 和m`相间。试证明：此链有两支频谱，即对应每个波数k 有两个角频率

()?

?

? ??-=???

??-=∴=

==?

?

?

??-==c x t A c x t A t x u c

Tc T x T t A t x u πνννπνλν

λπ?2cos 2cos ,12cos ),(00又：，波函数为解：不防取m v

Hz m v

Hz v

vT 165.02000

330

:20005.1620330

:20:2

221

11==

=

====

==

=νλννλνν

λ时时解Hz c

Hz c

c

c

14

10

814

10

8105.710

4000103109.310

7600103?=??==

?=??===

∴=

--小

大大

小解：λνλνλ

νν

λ()()()()几乎不动。

相比，的振动反相位，且与、，即频的光频支，

的振动同相位；对于高、即对于低频的声频支，光频支声频支的情况下有在和m m m m A m

m A m m A A m K k ka

m K k m m k k '''~'~

',~

'~)('2)(2sin 2:

'2121-==???

?

??

?==

>>ωωωω

6—32．本题图中O 为波源，向左右两边发射振幅为A 、角频率ω的简谐波，波速为c 。BB`为反射面，它到O 的距离为5λ/4（λ—波长）。试在有无半波突变的两种情况下，讨论O 点两边合成波的性质。

6—33．解：（略）

'2'

')(2''')2(2

sin 22sin

2)(22/2

,'')1(21m K

m K k K K K K m K m m m ka

m K ka k m K

m K K

K K K K K m K m m m K

a om om m ==

=+=∴===

=?=

+?=∴ωωωω系统（弹簧并联）

组成一个振动的两个弹簧与之间由劲度系数均为两固定看作：

来说几乎不动，此时可对于对于光频支，）（弹簧串联）（的两头各连接弹簧振子

同位相，可看作、对于低频的声频支，，弹性系数为然长度为解：两两振子之间的自0

000',',2'222

222

12

22524545)2(',',2'1??ννπ

ππ

ππ

ππππλ??νν====+?=?+==?===A A O A A O 所以叠加后差为振幅、频率相同，相位）有半波相位，两列波（所以叠加后无波动。

（来回），

相差振幅、频率相同，相位）无半波相位，两列波（对应于点的右边：

。

位相反，叠加后无波动幅相同，频率相同，相有半波相位：两列波振相同，所以叠加后振幅波相位、频率、频率）无半波相位时，两列（点的左边：

解：

6—34．入射简谐波的表达式为

在x=0处的自由端反射，设振幅无损失，求反射波的表达式。

6—35．设入射波为

反射点为一自由端。求 （1）反射波的表达式；

（2）合成的柱波表达式，并说明哪里是波腹，哪里是波节。

6—36．在同一直线上相向传播的两列同频同幅的波，甲波在A 点是波峰时已波在B 点是波

谷，A 、B 两点相距20.0m 。已知两波的频率为100Hz ，波速为200m/s,求AB 联线上静止不动点的位置。

,

42cos ),(??

?

???+??? ??+=πλπx T t A t x u ?

?

?

???+??? ??-=??????+??? ??+=42cos ),(,

42cos ),(πλππλπx T t A t x u x T t A t x u 反射波：入射波：以没有相位跃变解：是自由端反射，所处发生反射

在0,2cos ),(=??

?

??+=x x T t A t x u λπ处为波节

处为波腹

：

）合成的柱波的表达式（）反射波的表达式为：解：（λλωπλπλπλπλπ??? ?

?

+±=±=∴=???

????? ??=?

??

??-+??? ??+=?

?

?

??-=212

cos cos 22cos 2cos 22cos 2cos 22cos 1n x n

x t

kx A t T x A x T t A x T t A u x T t A u 处

：即距：峰与波谷处，即距静止不动点为甲波的波甲波与已波的相位差为点是波谷，点是波峰时已波在又：甲波在，既相距相距解：m m m m m m m A A B A m AB m

c

cT 20,5.2,0.2,5.1,0.1,5.0,0,,4

3,2,4,0100.202100

200

λλλλπ

λνλ∴∴∴==

=

=

6—37．利用表面张力波的色散关系（6.95）式求其群速，并证明相速等于群速时相速最小。

6—38．（1）沿一平面简谐波传播的方向看去，相距2cm 的A 、B 两点中B 点相位落后π/6。

以知振源的频率为10Hz ，求波长与波速。

小。

相速等于群速时相速最时：而当且的极小值：

求相速为：群速为：式有：解：依∴=?

??? ??==???

?

??+???

? ??+

=

+

+

=

???

? ??=+==

???? ??>=?=+???? ??+-=???? ??+=??????

?

?

?+=+

=

=

+

+

=

=∴+

=c

g g

g

g g g g g g k gk k g v g k

k g c g

k dk c d g k k k g k g k k g dk d k

k gk dk d dk dc c k

k gk k

c k gk k g dk

d v k gk g g 4

/13

3

2

4

/122233

3

2

32242

1

32

132

12002132

1

)95.6(ργγ

ργρργγργρργρ

γρ

γργργγ

ργ

ρργργργργρ

γω

ρ

γρ

γωρ

γωs

m T

c m

cm /4.21024.024.02426

/2=?===

∴==?=

λνλ

λπ

πλ解：依题有：

（2）若波源以40cm/s 的速度向着A 运动，B 点的相位将比A 落后多少？

6—39．两个观察者A 和B 携带频率均为1000Hz 的声源。如果A 静止，B 以10m/s 的速率

向A 运动，A 和B 听到的拍频是多少？设声速为340m/s 。

()()π

ππλ?λ17.02232

.002

.02'232.010

1

02.04.04.2'=?=?==?

?-=-=s A B m T vs c 点落后：点的相位比观察着静止的情形：解：这是属于波源运动