2020最新中考数学黄金30题系列-专题一 经典母题30题

专题一经典母题30题一、选择题

1．﹣2的相反数是（）

A．2 B．﹣2 C．1

2

D．

1

2

【答案】A．

【解析】

试题分析：﹣2的相反数是2，故选A．

考点：相反数．

2．下列图形中，是轴对称图形的是（）

A． B． C． D．【答案】C．

考点：轴对称图形．

3．已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）

A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形

B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形

C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形

D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形

【答案】B．

【解析】

试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；

∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；

∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；

∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；

故选B．

考点：平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定．

4．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（）

A．中位数是4，平均数是3.75 B．众数是4，平均数是3.75

C．中位数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.8

【答案】C．

考点：中位数；加权平均数；众数．

5．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

【答案】B．

【解析】

试题分析：连接OA，∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，∴AC=1

2

AB=

1

2

×6=3cm，∵⊙O的半径为5cm，

∴OC cm，故选B．

考点：垂径定理；勾股定理．

6．如图所示的几何体的俯视图是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D ． 【解析】

试题分析：从上面看是一个大正方形，大正方形内部的左下角是一个小正方形，故选D ． 考点：简单组合体的三视图．

7．不等式组226

0x x --???

<≤的解集，在数轴上表示正确的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C ． 【解析】

试题分析：2620x x --???

<①

②≤，由①得，x ＞﹣3，由②得，x ≤2，故不等式组的解集为：﹣3＜x ≤2．

在数轴上表示为：

．

故选C．

考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．

8．要将抛物线223

y x x

=++平移后得到抛物线2

y x

=，下列平移方法正确的是（）

A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位

B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位

D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位

【答案】D．

考点：二次函数图象与几何变换．

9．一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（）

A．1

6

B．

1

3

C．

1

2

D．

2

3

【答案】B．【解析】

试题分析：从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率=

2

321

++

=

1

3

．故选B．

考点：概率公式．

10．小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（）

A．

4628

2

x y

x y

+=

?

?

=+

?

B．

4628

2

y x

x y

+=

?

?

=+

?

C．

4628

2

x y

x y

+=

?

?

=-

?

D．

4628

2

y x

x y

+=

?

?

=-

?

【答案】A．

【解析】

试题分析：设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，由题意得

4628

2

x y

x y

+=

?

?

=+

?

．故选A．

考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．

11．如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）

A． B． C． D．

【答案】B．

【解析】

考点：动点问题的函数图象；分段函数；分类讨论；压轴题．

12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别

作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB②当点E与点B重合时，MH=1

2

；

③AF+BE=EF；④MG?MH=1

2

，其中正确结论为（）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④

【答案】C．

【解析】

试题分析：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB，故①正确；

②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，∴MB⊥BC，∠MBC=90°，∵MG⊥AC，∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，∴MH=MB=CG，∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=BF，

∴FG是△ACB的中位线，∴GC=1

2

AC=MH，故②正确；

③如图2所示，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE=∠2，在△ECF和△ECD 中，∵CF=CD，∠2=∠DCE，CE=CE，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF=DE，∵∠5=45°，∴∠BDE=90°，∴222

DE BD BE

=+，即222

EF AF BE

=+2，故③错误；

考点：相似形综合题；综合题；压轴题． 二、填空题

13．分解因式：2

2

()4a b b --= ． 【答案】()(3)a b a b +-． 【解析】

试题分析：2

2()4a b b --=(2)(2)a b b a b b -+--=()(3)a b a b +-．故答案为：()(3)a b a b +-． 考点：因式分解-运用公式法．

14．函数y x

=x 的取值范围是 ． 【答案】1

2

x ≤且0x ≠． 【解析】

试题分析：根据题意得x ≠0且1﹣2x ≥0，所以12x ≤且0x ≠．故答案为：1

2

x ≤且0x ≠． 考点：函数自变量的取值范围．

15的平方根是 ． 【答案】±2． 【解析】

考点：平方根；算术平方根．

16．如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数8y x =

（0x >）和k

y x

=（0x >）的图象交于P 、Q 两点，若ΔPOQ S =14，则k 的值为 ．

【答案】－20．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k 的几何意义；综合题．

17．一台电视机原价是2500元，现按原价的8折出售，则购买a 台这样的电视机需要 元． 【答案】2000a ． 【解析】

试题分析：2500a ×80%=2000a （元）．故答案为：2000a 元． 考点：列代数式．

18．如图，圆O 的直径AB =8，AC =3CB ，过C 作AB 的垂线交圆O 于M ，N 两点，连结MB ，则∠MBA 的余弦值为 ．

【答案】

1

2

． 【解析】

试题分析：如图，连接AM ；∵AB =8，AC =3CB ，∴BC =

1

4AB =2：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AMB =90°；由射影定理得：2

BM AB CB =?，∴BM =4，cos ∠MBA =BM AB =12

，故答案为：12．

考点：垂径定理；解直角三角形；综合题．

19．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =4，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△DEC ．若点F 是DE 的中点，连接AF ，则AF = ．

【答案】5． 【解析】

试题分析：作FG ⊥AC ，根据旋转的性质，EC =BC =4，DC =AC =6，∠ACD =∠ACB =90°，∵点F 是DE 的中点，∴

FG ∥CD ，∴GF =

12CD =12AC =3，EG =12EC =1

2

BC =2，∵AC =6，EC =BC =4，∴AE =2，∴AG =4，根据勾股定理，AF =5．

考点：旋转的性质． 20．方程

02

23=--x x 的解是 ． 【答案】x =6． 【解析】

试题分析：去分母得：3（x ﹣2）﹣2x =0，去括号得：3x ﹣6﹣2x =0，整理得：x =6，经检验得x =6是方程的根．故答案为：x =6． 考点：解分式方程．

21．已知二次函数2

(2)3y x =-+，当x 时，y 随x 的增大而减小．

【答案】＜2（或x ≤2）．

考点：二次函数的性质．

22．如图，直线22y x =-+与两坐标轴分别交于A 、B 两点，将线段OA 分成n 等份，分点分别为P 1，P 2，

P 3，…，P n ﹣1，过每个分点作x 轴的垂线分别交直线AB 于点T 1，T 2，T 3，…，T n ﹣1，用S 1，S 2，S 3，…，S n ﹣1

分别表示Rt △T 1OP 1，Rt △T 2P 1P 2，…，Rt △T n ﹣1P n ﹣2P n ﹣1的面积，则当n =2015时，S 1+S 2+S 3+…+S n ﹣1= ．

【答案】

1007

2015

． 【解析】

考点：一次函数图象上点的坐标特征；规律型；综合题． 三、解答题

23．（1）计算：8)2

1(45tan )20143(1

+-?-+--； （2）解方程：

311

12=-+-x

x x ．

【答案】（1）（2）x =2． 【解析】

考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解分式方程；特殊角的三角函数值．

24．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（项点是网格线的交点）．（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；

（3）线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为．

【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3）9

4π．

【解析】

试题分析：（1）根据图形平移的性质画出△A1B1C1；（2）根据旋转的性质画出△A2B1C2；

（3）利用扇形面积公式求出即可．

试题解析：（1）如图；

（2）如图；

（3）∵BC=3，∴线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为：

2

903

360

π?

=

9

4

π．故答案为：

9

4

π．

考点：作图-旋转变换；作图-平移变换．

25．随着我市社会经济的发展和交通状况的改善，我市的旅游业得到了高速发展，某旅游公司对我市一企业旅游年消费情况进行了问卷调查，随机抽取部分员工，记录每个人消费金额，并将调查数据适当调整，绘制成如图两幅尚不完整的表和图．

根据以上信息回答下列问题：

（1）a= ，b= ，c= ．并将条形统计图补充完整；

（2）这次调查中，个人年消费金额的中位数出现在组；

（3）若这个企业有3000多名员工，请你估计个人旅游年消费金额在6000元以上的人数．

【答案】（1）36，0.30，120，作图见试题解析；（2）C；（3）900．

试题解析：

（1）观察频数分布表知：A组有18人，频率为0.15，∴c=18÷0.15=120，∵a=36，∴b=36÷120=0.30；∴C组的频数为120﹣18﹣36﹣24﹣12=30，补全统计图为：

故答案为：36，0.30，120；

（2）∵共120人，∴中位数为第60和第61人的平均数，∴中位数应该落在C小组内；

（3）个人旅游年消费金额在6000元以上的人数3000×（0.10+0.20）=900人．

考点：频数（率）分布表；用样本估计总体；条形统计图；中位数．

26．为加强公民的节水意识，合理利用水资源．某市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于1：1.5：2．如图折线表示实行阶梯水价后每月水费y （元）与用水量xm3之间的函数关系．其中线段AB表示第二级阶梯时y与x之间的函数关系．

（1）写出点B的实际意义；

（2）求线段AB所在直线的表达式；

（3）某户5月份按照阶梯水价应缴水费102元，其相应用水量为多少立方米？

【答案】（1）图中B点的实际意义表示当用水25m3时，所交水费为90元；（2）

945

22

y x

=-；（3）27．

【解析】

试题分析：（1）根据图象的信息得出即可；

（2）首先求出第一、二阶梯单价，再设出解析式，代入求出即可；

（3）因为102＞90，求出第三阶梯的单价，得出方程，求出即可．

（3）设该户5月份用水量为xm3（x＞90），由第（2）知第二阶梯水的单价为4.5元/m3，第三阶梯水的单价为6元/m3，则根据题意得90+6（x﹣25）=102，解得，x=27．

答：该用户5月份用水量为27m3．

考点：一次函数的应用；分段函数；综合题．

27．一水果经销商购进了A，B两种水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表：

（1）如果甲、乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱，请你计算出经销商能盈利多少元？

（2）在甲、乙两店各配货10箱（按整箱配送），且保证乙店盈利不小于100元的条件下，请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少？

【答案】（1）250；（2）甲店配A种水果3箱，B种水果7箱．乙店配A种水果7箱，B种水果3箱．最大盈利：254（元）．

【解析】

试题分析：（1）经销商能盈利=水果箱数×每箱水果的盈利；

（2）设甲店配A种水果x箱，分别表示出配给乙店的A水果，B水果的箱数，根据盈利不小于110元，列不等式求解，再根据经销商盈利=A种水果甲店盈利×x+B种水果甲店盈利×（10﹣x）+A种水果乙店盈利×（10﹣x）+B种水果甲店盈利×x；列出函数解析式利用函数性质求得答案即可．

考点：一元一次不等式的应用；方案型；最值问题；综合题．

28．如图，△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E ，过点D 作

DF ⊥AC 于点F ．

（1）试说明DF 是⊙O 的切线； （2）若AC =3AE ，求tanC ．

【答案】（1）证明见试题解析；（2）

2

．

试题解析：（1）连接OD ，∵OB =OD ，∴∠B =∠ODB ，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∴∠ODB =∠C ，∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，∴DF 是⊙O 的切线；

（2）连接BE ，∵AB 是直径，∴∠AEB =90°，∵AB =AC ，AC =3AE ，∴AB =3AE ，CE =4AE ，∴BE =，

在RT △BEC 中，tanC =

4BE CE AE ==2

．

考点：切线的判定．

29．某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x 件时，该网店从中获利y 元． （1）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？

【答案】（1）y =2

100 (010)

3130 (1030)x x x x x x x ≤≤???-+<≤??

，且为整数，且为整数；（2）22． 【解析】

试题分析：（1）根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润，进而得出答案； （2）根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可． 试题解析：（1）y =2

300200100 (010)

[3003(10)200]3130 (1030)

x x x x x x x x x x x -=≤≤???

---=-+<≤??，且为整数，且为整数， （2）在0≤x ≤10时，y =100x ，当x =10时，y 有最大值1000；在10＜x ≤30时，2

3130y x x =-+，当2

21

3

x =时，y 取得最大值，∵x 为整数，根据抛物线的对称性得x =22时，y 有最大值1408，∵1408＞1000，∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多．

考点：二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题；分段函数；综合题．

30．已知二次函数n mx x y ++=2

的图象经过点P （﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y 轴的直线．

（1）求m 、n 的值；

（2）如图，一次函数b kx y +=的图象经过点P ，与x 轴相交于点A ，与二次函数的图象相交于另一点B ，点B 在点P 的右侧，PA ：PB =1：5，求一次函数的表达式．

【答案】（1）m =2，n =-2；（2）一次函数的表达式为4y x =+． 【解析】

试题分析：（1）利用对称轴公式求得m ，把P （﹣3，1）代入二次函数n mx x y ++=2

得出n =3m ﹣8，进而就可求得n ；

（2）根据（1）得出二次函数的解析式，根据已知条件，利用平行线分线段成比例定理求得B 的纵坐标，代入二次函数的解析式中求得B 的坐标，然后利用待定系数法就可求得一次函数的表达式． 试题解析：∵对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y 轴的直线，∴121

m -

=-?，

∴m =2，∵二次函数n mx x y ++=2

的图象经过点P （﹣3，1），∴9﹣3m +n =1，得出n =3m ﹣8．∴n =3m ﹣8=﹣2；

（2）∵m =2，n =﹣2，∴二次函数为2

22y x x =+-，作PC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则PC ∥BD ，∴PC PA

BD AB

=

，∵P （﹣3，1），∴PC =1，∵PA ：PB =1：5，∴

116

BD =，

∴BD =6，∴B 的纵坐标为6，代入二次函数为2

22y x x =+-得，2

622x x =+-，解得12x =，24x =-（舍去），∴B （2，6），∴3126k b k b ?-+?

+?＝＝，解得1

4

k b ???＝＝，∴一次

函数的表达式为4y x =+．

考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式．