定积分在实际问题中的应用

第二节 定积分在实际问题中的应用 Application of Definite Integral

教学目的: 熟练掌握求解平面图形的面积方法,并能灵活、恰当地选择积分变量;会求平行截

面面积已知的立体的体积,并能求解旋转体的体积;能够解决物理应用中变力作功、液体压力方面的问题.

内 容: 定积分几何应用;定积分在物理中的应用. 教学重点: 求解平面图形的面积;求旋转体的体积. 教学难点: 运用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积

教学方法: 精讲:定积分的几何应用;多练:用定积分求平面图形的面积和立体的体积 教学内容:

一、定积分的几何应用

1. 平面图形的面积

设函数12(),()y f x y f x ==均在区间[,]a b 上连续,且12()(),[,]f x f x x a b ≥∈,现计算由12(),(),,y f x y f x x a x b ====所围成的平面图形的面积.

分析求解如下:

(1) 如图6-3所示,该图形对应变量x 的变化区间为[,]a b ,且所求平面图形的面积S 对区间[,]a b 具有可加性.

(2) 在区间[,]a b 内任取一小区间[,]x x dx +,其所对应的小曲边梯形的面积,可用以

dx 为底,12()()f x f x -为高的小矩形的面积(图6-3)中阴影部分的面积)近似代替.即面积

微元为

12[()()]dS f x f x dx =-

(3) 所求图形的面积

22[()()]b

a

S f x f x dx =-?

图6-3

【例1】 求曲线x

y e =，直线0,1x x ==及0y =所围成的平面图形的面积. 解 对应变量x 的变化区间为[0,1],在[0,1]内任取一小区间[,]x x dx +,其所对应小窄条的面积用以dx 为底,以()()0x

x

f x

g x e e -=-=为高的矩形的面积近似代替,即面积微元

x dS e dx =

于是所求面积

1

1

1x x

S e dx e e ===-?

【例2】 求曲线2y x =及2

2y x =-所围成的平面图形的面积.

解 由22

2y x y x ?=?=-?

求出交点坐标为(1,1)-和(1,1),积分变量x 的变化区间为[1,1]-,面积微元

[()()]dS f x g x dx =-

即

222

(2)2(1)dS x x dx x dx

=--=-

于是所求面积

1

21

1

20

22(1)4(1)1140383

S x dx

x dx

x x -=-=-?

?=- ?

??=??

若平面图形是由连续曲线(),(),(()()),,x y x y y y y c y d ?ψψ?==≤==所围成的,

其面积应如何表达呢

分析求解如下:

(1) 对应变量y 的变化区间为[,]c d ,且所求面积S 对区间[,]c d 具有可加性. (2) 在y 的变化区间[,]c d 内任取一小区间[,]y y dy +,其所对应的小曲边梯形的面积可用以()()y y ?ψ-为长,以dy 为宽的矩形面积近似代替,即面积微元为

[()()]dS y y dy ?ψ=-

于是所求面积

[()()]d

c

S y y dy ?ψ=-?

【例3】 求曲线2

x y =,直线2y x =-所围成的平面图形的面积.

解 由22

x y y x ?=?=-?解得交点坐标为(1,1)-和(4,2),则对应变量y 的变化区间为[1,2]-,

此时2

()2,()y y y y ?ψ=+=,则面积微元

2[()()](2)dS y y dy y y dy

?ψ=-=+-

于是所求面积

2

2

21

1

23(2)21

1212

392

S dS y y dy

y y y --==+-??=+- ?-??=??

【例4】 求由2

y x =及y x =所围成的平面图形的面积.

解 为了确定积分变量的变化范围,首先求交点的坐标.

由2

y x y x ?=?=?

得交点(0,0),(1,1).

方法一

选x 为积分变量,则对应x 的变化区间为[0,1],此时(),f x x =2

()g x x =面积微元

2[()()]()dS f x g x dx x x dx =-=-

于是

1

20

23()11111102

3236S x x dx

x x =-??=-=-=

????

方法二

选y 为积分变量,对应y 的变化区间为[0,1]

,此时()y ?=

,()y y ψ=

则面积微元

[()()])dS y y dy y dy ?ψ=-=

于是

1

3

22)12103

2211326

S y dy

y y =??=- ???=-=?

注:由此例可知,积分变量的选取不是唯一的,但在有些问题中,积分变量选择的不同,求解问题的难易程度也会不同.

【例5】 求椭圆22

221x y a b

+=的面积.

解 椭圆关于x 轴,y 轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即

10

44a

S S ydx ==?

利用椭圆的参数方程

cos sin x a t

y b t =??

=?

应用定积分的换元法,sin dx a tdt =-,且当0x =时,,2

t x a π

=

=时,0t =,于是

2

220

2

4sin (cos )4sin 1cos242

14sin 22240

S b t a t dt

ab tdt

t

ab dt t ab t ab

ππ

π

π

π=-=-=??

=-= ??????

2. 空间立体的体积

(1) 平行截面面积为已知的立体的体积

设某空间立体垂直于一定轴的各个截面面积已知,则这个立体的体积可用微元法求解.

不失一般性,不妨取定轴为x 轴,垂直于x 轴的各个截面面积为关于x 的连续函数

()S x ,x 的变化区间为[,]a b .

该立体体积V 对区间[,]a b 具有可加性.取x 为积分变量,在[,]a b 内任取一小区间

[,]x x dx +,其所对应的小薄片的体积用底面积为()S x ,高为dx 的柱体的体积近似代替,即

体积微元为

()dV S x dx =

于是所求立体的体积

()b

a

V S x =?

【例6】 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角α,计算这个平面

截圆柱体所得契形体的体积.

解 取该平面与底面圆的交线为x 轴建立直角坐标系,则底面圆的方程为2

2

2

x y R +=,

半圆的方程即为y =

在x 轴的变化区间[,]R R -内任取一点x ,过x 作垂直于x 轴的截面,截得一直角三角形,其底长为y ,高度为tan y α,故其面积

2221

()tan 21

tan 21

()tan 2

S x y y y R x ααα=

??==- 于是体积

2222233

()1

tan ()2

1

tan ()2

11

tan ()

232tan 3

R

R R

R R R V S x dx

R x dx R x dx R R x x R R αααα---==-=-=--=

???

(2) 旋转体的体积

类型1:求由连续曲线()y f x =,直线,x a x b ==及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转

一周而成立体的体积.

过任意一点[,]x a b ∈作垂直于x 轴的平面,截面是半径为()f x 的圆,其面积为

2()()S x f x π=,于是所求旋转体的体积

2()()b

a

b

a

V S x dx

f x dx

π==??

【例7】 求由2

y x =及1,0x y ==所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成立体的体

积.

解 积分变量x 轴的变化区间为[0,1],此处2

()f x x =,则体积

51

1

22

4

001()055

x V x dx x dx π

πππ====??

【例8】 连接坐标原点O 及点(,)P h r 的直线,直线x h =及x 轴围成一个直角三角形,

求将它绕x 轴旋转一周而成的圆锥体的体积.

解 积分变量x 的变化区间为[0,]h ,此处()y f x =为直线OP 的方程r

y x h

=

,于是体积

2

22

20

2322033

h

h r V x dx

h r x dx

h h r x r h

h ππππ??

= ???==?=??

类型2:求由连续曲线()x y ?=,直线,y c y d ==及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋

转一周而成的立体的体积()c d <.

过任意一点[,]y c d ∈,作垂直于y 轴的平面,截面是半径为()y ?的圆,其面积为

2()()S y y π?=,于是所求旋转体的体积

2()()d d

c

c

V S y dy y dy π?==??

【例9】 求由3

,8y x y ==及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体的体

积.

解 积分变量y 的变化区间为[0,8]

,此处()x y ?==

于是体积

8

28

3

583

3965

5

V dy

y dy

y ππππ====

??

【例10】求椭圆22

221x y a b

+=分别绕x 轴、y 轴旋转而成椭球体的体积.

解 若椭圆绕x 轴旋转,积分变量x 的变化区间为[,]a a -,此处

()y f x ==

于是体积

2

2

22222322()1433

a

x a

a a V dx

b a x dx

a

a b a x x ab a a ππππ--==-??=-=??-???? 若椭圆绕y 轴旋转,积分变量y 的变化区间为[,]b b -,

此处()x y ?==,于是体积

2

2

2222

2322()134

3

b

y b

b b V dy

a b y dy

b b a b y y b

b a b ππππ--==-??=- ?-??=??

二、定积分在物理中的应用

1. 变力所做的功

如果一个物体在恒力F 的作用下,沿力F 的方向移动距离s ,则力F 对物体所做的功是

W F S =?.

如果一个物体在变力()F x 的作用下作直线运动,不妨设其沿Ox 轴运动,那么当物体由

Ox 轴上的点a 移动到点b 时,变力()F x 对物体所做的功是多少

我们仍采用微元法,所做的功W 对区间[,]a b 具有可加性.设变力()F x 是连续变化的,

分割区间[,]a b ,任取一小区间[,]x x dx +,由()F x 的连续性,物体在dx 这一小段路径上移动时, ()F x 的变化很小,可近似看作不变的,则变力()F x 在小段路径上所做的功可近似看作恒力做功问题,于是得到功的微元为

()dW F x dx =

将微元从a 到b 积分,得到整个区间上力所做的功

()b

a

W F x dx =?

【例11】将弹簧一段固定,令一段连一个小球,放在光滑面上,点O 为小球的平衡位置.

若将小球从点O 拉到点()M OM s =,求克服弹性力所做的功.

解 由物理学知道,弹性力的大小和弹簧伸长或压缩的长度成正比,方向指向平衡位置

O ,即

F kx =-

其中k 是比例常数.

若把小球从点O (0)x =拉到点()M x s =,克服弹性力F ,所用力f 的大小与F 相等,

但方向相反,即f kx =,它随小球位置x 的变化而变化.

在x 的变化区间[0,]s 上任取一小段[,]x x dx +,则力f 所做的功的微元

dW kxdx =

于是功

20

2

s

k W kxdx s ==

?

【例12】某空气压缩机,其活塞的面积为S ,在等温压缩的过程中,活塞由1x 处压缩到

2x 处,求压缩机在这段压缩过程中所消耗的功.

解 由物理学知道,一定量的气体在等温条件下,压强p 与体积V 的乘积为常数k ,即

pV k =

由已知,体积V 是活塞面积S 与任一点位置x 的乘积,即V Sx =,因此

k k p V Sx =

= 于是气体作用于活塞上的力

k k F pS S Sx x

==

?=

活塞作用力k

f F x

=-=-

,则力f 所做的功的微元

k

dW dx x

=-

于是所求功

2

1

12

1

2

ln ln x x x x k

W dx

x

x k x

k x =-==?

【例13】一圆柱形的贮水桶高为5米,底圆半径为3米,桶内盛满了水.试问要把桶内的

水全部吸出需做多少功.

解 取深度x 为积分变量,则所求功W 对区间[0,5]具有可加性.应用微元法,在[0,5]

上任取一小区间[,]x x dx +,则所对应的小薄层的质量2

39dx dx πρπρ==.

将这一薄层水吸出桶外时,需提升的距离近似为x ,因此需做功的近似值,即功的微元为

99dW x dx xdx πρπρ=?=

于是所求功

5

2952259022W xdx

x πρπρπρ

=??== ???

?

将33

9.810/N m ρ=?,得62259800 3.46102W J π=?≈?

2.液体压力

现有面积为S 的平板,水平置于密度为ρ,深度为h 的液体中,则平板一侧所受的压力

(F pS h S p ρ==为水深为h 处的压强值)

若将平板垂直放于该液体中,对应不同的液体深度,压强值也不同,那么平板所受压力应

如何求解呢

设平板边缘曲线方程为(),()y f x a x b =≤≤,则所求压力F 对区间具有可加性,现用

微元法来求解.

在[,]a b 上任取一小区间[,]x x dx +,其对应的小横条上各点液面深度均近似看成x ,且

液体对它的压力近似看成长为()f x 、宽为dx 的小矩形所受的压力,即压力微元为

()dF x f x dx ρ=?

于是所求压力

()b

a

F x f x dx ρ=??

【例14】有一底面半径为1米,高为2米的圆柱形贮水桶,里面盛满水.求水对桶壁的压

力.

解 积分变量x 的变化区间为[0,2],在其上任取一小区间[,]x x dx +,高为dx 的小圆

柱面所受压力的近似值,即压力微元为

212dF x dx xdx ρππρ=??=

于是所求压力为

22

2

2240

2x F xdx πρπρπρ??=== ????

将33

9.810/N m ρ=?代入

3449.810 3.9210F N ππ=??=?

【例15】有一半径3R =米的圆形溢水洞,试求水位为3米时作用在闸板上的压力.

解 如果水位为3米,积分变量x 的变化区间为[0,]R ,在其上任取一小区间[,]x x dx +,

所对应的小窄条上所受压力近似值,

即压力微元

22dW x ydx

x ρρρ=?=?= 于是所求压力

()0

220

3

2220

3212()

22323

R

R

R

F R x R x R ρρρρ=?=-- ?=--=?? 将33

9.810/,3N m R m ρ=?=代入得

51.76410F N =?

课堂练习:

1. 求由曲线y x =

与y =

.

2. 求由3

,1,0y x y x ===所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成立体的体积. 3. 有一截面积2

20S m =,深为5m 的水池盛满了水.用抽水泵把这水池中的水全部抽出需做多少功

小结:

学习了定积分的几何应用和物理应用,要求能熟练应用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积.

作业:P123-2(2),(6).4(3),11